3二次根式小结与复习

1、二次根式小结与复习【主要内容】内容本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“石”.主要有：(1) 二次根式的有关概念口：二次根式定义、最简二次根式、同类二次根式等(2) 二次根式的性质；(3) 二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等.【要点归纳】1. 二次根式的定义：形如石 (。乏°)的式子叫二次根式，其中。叫被开方数，只有当白是一个非负数时，石才有意义EX: 10.若代数式1才1 一 3有意义，则x的取值范围是()q x必A. 3 且在 3 B. 3 c.I必I必3 且 x*3 D. 3 且才。一 32. 二次根式的性质: (4)2 =a(a

2、>0)a (a >0) = k | = < 0(a = 0) -a (a <0)=ya Ab(a > 0, b>0)>0, 3 > 0)Ex :1化简：712 =；瑚 5-7)2 x J(2-6 沪=3. 等式aG希=a而成立的条件是4. 当x <0 ,化简V =.5. 比较-2占与一 3据的大小：.6分母有理化（2）面： 2A5(2 - x) - J(2 + x)29如果xv-4,那么、的值为.10.若x-6有意义，则x的取值范围是选择题：1. 下式中不是二次根式的为（）A. J 疽 +1 ； B.石（a<0） ； c. VO ；

3、D. J （。-"）29.（一正侄沪的值为（）A. a B.a C. &d3. 二次根式的运算二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减（1）二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.（2）二次根式的乘法：-4ab（a > 0,2 0半= 足心0, b>0）（3）二次根式的除法：泌V的注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运

4、算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式EX : 7.已知 X = 3, V = 4, Z = 5,那么扳向=.8.计算必辰屁.（4）二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便 .二次根式运算结果应尽可能化简.另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数*.例如28人72不能写成2EX: 2.计算 J （一 7） F6X2 得（）

5、A. 7-4A2 ； B.而 C. 土面 D. 173.若J2x-l + J_y-3 = 0 ,则化简4&x而*而等于（） 史A. 2 B. 2 很 C. 72 D. 15.计算13V3V5的结果是22A. 7B. EC. 736.化简决:的结果是（）1顼A. 2B. 2 C. 2D4.化简V2J2的结果是（）7V2D.善9/i=r）V2D. 7&与而; 越-vJb kj-Ja A/b ； a + -Jb 与 a -A/b ； tnA/a +n-Jb 与 mA/a -n-Jb .说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化.以上答案都不对【难点指导】（5）有理化因式：一般常见的互

6、为有理化因式有如下几类:1、如果石是二次根式，则一定有a 20；当a 2 0时，必有石20；2、 当白20时，石表示a的算术平方根，因此有（宓 ）2 = a;反过来，也可以将一个 负数a写成（扃沪的形式；3、 妒表示a?的算术平方根，因此有J/=k|, a可以是任意实数；4、区别=a和& =|a|的不同:妒中的a可以取任意实数，（、沈尸中的a只能是一个非负数，否则石无意义5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若林<0,则将负号留在根号外.即：=（2） 因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论.艮口:8.等式Va+2 Ja + 2

7、成立的条件是（）-A >0A. a20 B. a >-2 c. ao-2 D. a+26、二次根式的比较：（1）若a>b>0 ,则有石 > 由；（2）若石>0 ,则有a >b .说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小 强化训练【时间 60分钟满分100分】计算与化简：（每小题 2分，共16 分）（1）用顽扃 C3 印* 之应W1 + y/x +1 求值题：（每小题 4分，共16分）1.已知：1<众 <2,求 a-2Act_+_4 * _2 口_+ 1的值.2.X =已知24-1A1, + X +15,求x的值。(齐

8、-*)2 +4杯3已知：/+朋一 4一 28 + 5 = 0 ,求a + Aab的值.4求J6-在+J6 +妨的值.J x" -9 +9 . 2U = 5已知工、V是实数，且一 x+3+6_y的值五、解答题：（每小题4分，共16分）正+抵二 i+JA = : 3+v+z）1.解方程：z2 2,a + b + c = >/2 a +bA +C =2. 在AABC中，三边分别 为a，' c ,且满足22試探求的形状.3. 有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为右：1,现用直径为3应cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？答案与提示：

9、一、填空题：1. 2 上 8；2. <2 <0 ；3. <2 <0 , & < 0; 4.-二肝 +人；5. -2人 >-3>/2 .吏吏史宓6. (1) 6(2) 6(3) 27. 3 ；8. V2 ；9. 4；10. x> 6 ；二、选择题：1. B ； 2. B ； 3. C； 4. A ； 5. A ； 6. C； 7. C； 8. A ； 9. B ； 10. C；三、计算与化简: 96 (2) 2X7X( 3) 2a (5) 2 尹廊(6) A时（8厂2 2(9) 0 + 8)庙（io）思路点拨：由于=因此对代数式的化简，可先

10、将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到的值，代入化简得结果即可解:原式以 x + 1+&JX + x_+y/x W)(x + l-&)(JX +J岳)+以 X + - yfA(J.+ l + =+(x + l)-x(x + l)-x=(x +1) + x- 2 Jx(x + 1) + (x + l)+x + 2jx(x + l)=4x + 2.四、求值题:Ja? 4a +4 + J a, - 2a +1 a - 2 a -1.由于l<a <2,所以.解：.4-122x 1 = aj §.? .(2x-1)a 2a-1 a 2a-12x = A

11、/5 +1=面/. x2 = x 4-1x3 + x2 x + 1 x2V5 + 1= j= = x =.?.原式 x X X23 .提示：由 a2 +b2-4a-2b+5 = 0 ,得：3-4a + 4) +&-28 + 1) = 0 , 即:(齐-* 沪 +4yab0 - 2 沪+0 -1)2 =，所以=2, 8 = 1 ;再化简 a + y/ab , 即:+4y/ab _ a + -Jab a + 人/ab+ 3+ 2 Jal+-A-y/b 十 y/b yA2+妪）有石24提示：由于（J6-+ A6 + >/35) 2 = 6 >,/35 + 6 + J 初 + 2人

12、6_y( 35yfc"35=14 ,而6-+> 0 ,所以6-y/35 4-76 + 7人5 = 714Jx' - 9 + J9 - / 2y =5.提示由x + 35x4-6A = 13，可知x的取值范围：才=3,则1武史3;则 5x + 6_y五、解答题:X .z=3i.原方程可化为：(VTy+QjHi-DWGA-iEo,y/x 1=0r r<A/?7iT=O <y = 2Jz-2T = 039a + b + c = y/2<22 4- Z?2 4- c2 4- 2ab + 2bc + 2ac =/ +8? + 决C 22. v2,2 ,:.2ab

13、 4- 2bc + 2ac = 3 ,. ? .2ab + 2bc + 2ac = 2a 2 + 2b2 + 2c2,(a-b)2 + (b-c)2 +(a-c)2 = 0.?(a2>o, (S c)?>o,(a-)2 20 ,.白一入=0,B c= 0, c a = O .a = Z> = c , .?. abC是等边三角形3.设：矩形房梁的宽 为xc* ,则长为A3xcm，依题意,得：诚 x)2 + J = (3 如)2, 4/= 9x15, x =戸,=竺彳所以-X = A3x24答：加工后的房梁的最大截面积是4挤.回家作业：一、填空题（每小题 2分，共20分）1.在s

14、a、la2b、Jx + 1、VI + x 2、 V3中是二次根式的个数有个.2. 当工=时，二次根式取最小值，其最小值为。3. 化简有 -扼的结果是4. 计算： A/2,V3 =5.实数a在数轴上的位置如图所示：化简: |a -1| + J(a - 2)2 =.6.已知三角形底边的边长是V6cm,ffi积是712 cm2JiJ此边的高线长7. 若 |a-2| + JZ?-3+(c-4) =0,贝 UaZ? + c=.8. 计算： (J1 2)对 1°(右 + 2)2°1°=9. 已矢 n %2 3x + 1 = 0,则X。一- 2 -10.=4AA ,（ N 1）

15、的代数式表示出来是 二、选择题（每小题 3分，共 24 分） 11.下列式子一定是二次根式的是（）观察下列各式： Jl + a = 2AA A3+ g，请你将猜 想到的规律用含自然数A. V x 2B. -fx C.x + 2 D. x 212.下列二次根式中 ,x 的取值范围是 x>2 的是A.寸 2 xB. x+2 C. yjx2D. 土的位置如图所示，式子在数轴上的对应点 b + c > Q? a + b > a + c ? be > ac ab > ac 确的有（）A. 1 个 B. 2 个 C. 3个14. 下列根式中，是最简二次根式的是13. 实数a,

16、由c中正A. J0.2Z?D. 4 个 :( )-2-1 1 1 ? II -1 0 12 3B. J12Q - 12Z? C. yjD. yl5ab215.下列各式中，一定能成立的是（A. J(-2.5)2 =(VWB. ylaA =(VA)2C. 7x2 -2x + l = x-1D. V% 2+ 3 x 3A. 1- B. V2 C. 1 + D. -V2)D. J m17把mJ-根号外的因式移到根号内，得（V mA. -JmB. -C.18.若代数式J（2 a）2+J（a 4尸的值是常数 2则a的取值范围是（A. a34 B . aW2 C . 2W 定 4 D. a = 2 或 a

17、= 4 三、解答题（76分）19. （12分）计算：(2-V5 3)-(1) ； = - Vis' 4A/72-12 V45+V108+Al|-V125如（！）-顷八）20. （8分）先化简，再求值：其中 x = y/3-2.2 . Q . 121x+ 2 x+ 2 x 121. （ 8 分）已知：y = Jx-2+j2 - x-3,求：（x + y），的值22. （ 8分）如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺面成.求一块方砖的边长.23.（ 8分）如图所示的 RtAABC中，ZB=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的 速度向点A害9；居

18、y，点 Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点 C移动.问： 几秒后 APBQ的面积为35平方厘米？ PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）24. （10分）阅读下面问题:11x(扼一1)& 1 + V2 - (V2+1)(V2-1)-1，V3+V2( V3+V2XV3-V2 )=V3 - V21V5-2 jVT72 -(75+2)(75-2)'试求：(1)的值；Vv+V6(2)r （ n为正整数）的值。J" +1 +（3）根据你发现的规律，请计算 ：)(1 +2011)(-+ 厂 1 厂 + T= +? ? ? + /' /+ /141 + V2 V3+V2 V5 + 2J2010+J2009 J2011 +J201025.x+ y(10分)已知M =va - vy2xyxAy-y4x甲、乙两个同学在a = 77人8+78人+ 18的条件下分别计算了M和N的值.甲说M的值比N大，乙 说N的值比M大.请你判断他们谁的结论是正确的，并说明理由26. （12分）如图：面积为 48C ?2的正方形四个角是面积为3C ?2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少？(精确到 0. 1cm,后 r 1.732)参考答案、填空题1.2 2. -1,0 3