4_集合复习课

1、课题集合的复习课学情分析学生已经熟悉了集合的含义表示方法，集合间的基本关系以及集合的基本运算，但是 对集合的相关性质和应用没有充分掌握教学目标与考点分析能力目标：知识目标：情感目标教学重点难点八、教学方法讲授法、讲练结合教学过程知识网络本单元主要介绍了以下三个问题：1, 集合的含义与特征。2,集合的表示与转化。3,集合的基本运算集合的含义与表示（含分类）1, 具有共同特征的对象的全体，称一个集合2,集合按元素的个数分为:有限集和无穷集两类3,集合的表示列举法（含全部列举、中间省略列举、端省略列举） 描述法（含文字描述与属性描述两类）图示法（目前含数轴表示、直角坐标表示、Ve加图表示）符号表示法

2、（含数集符号简记与区间）二集合表示法间的转化列举法T具体化文字描述法悉化属性描述法 简单化-符号表示法I直观化图示法高中数学解题的关键也是这“四化”三集合的基本运算1, 子集：A GB定义为，对任意 xWA,有xeB,表现图为A在B中包含着2, 补集：CUA=xlxWU.且x EA,表现图为整体中去掉A余下的部分3, 交集：AC!B=xlxGA,且xWB,表现图示为 A与B的公共部分4, 并集：AUB=xlxe A,或xWB,表现图示为 A与B合加在一起部分说明：1,有限集合元素个数由容斥原理确定2,集合运算多数情况下是自定义的（自己人为规定）运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于 B的元

3、素所组成的集 合，叫做A,B的交集.记作ApB（读作'A交B，）,即 Ap|B=xlxwA, JL xeB.由所有属于集合 A或属 于集合B的元素所组成 的集合，叫做 A,B的并 集.记作：AUB （读作'A并B'）,即 AljB=xlxw A,或 xeB）.设S是一个集合，A是S 的一个子集，由 S中所 有不属于A的元素组成 的集合，叫做S中子集 A的补集（或余集）记作CsA,即CsA=xlxeS,JLxA A韦恩 图示i亀(1圖qcc氐性质Ap|A=A Ad “Ap|B=Bn A AflBcAACIB GBaUa=a aU o=a aUb=bU A AUBn A A

4、UbAb(CuA) n (C uB) = Cu( AUB) (CuA) U (C uB) = Cu( AAB)AU (CuA)=U AH(CuA)=.容斥原理有限集 A的元素个数记作card(A).对于两个有限集 A, B,有 card(A U B)= card(A)+card(B)- card(A Q B).练习题例1给岀下列说法：方程 Vx-2 +1 y+21 =0的解集为- 2, 2;集合(y ly=x 2-i, xe R与集合y|y=x-l,xWR的公共元组成的集合为0, -1;区间(一,1)与(a, +-)无公共元素。其中正确的个数为例 2:已知集合 M=xlx=3m+1 ,mZ,

5、N=yly=3n+2,n WZ, 若 x° WM,yoWN,贝U x°yo 与集合 M、N 的关系是 o例3:已知集合a=x|A 士 £_是单元素集，用列举法表示 a的取值集合B%2 -2例4,设M= z |z=x 2-y2, x> yGZ,试验证5和6是否属于M?关于集合 M,还能得到什么结论。例 5:全集 U=xx<Q, xAN +, AP, BcU, (C uB) CA=1, 9, ACB = 3, (0A4)0(2 昇)= 4, 6, 7,求 A、Bo例 6:已矢口 4= xl-2<x< 1 或 x> 1, AUB= xx +

6、 2>0, AAB= xl <x W 3,求集合 B。例7:满足关系1,2 eA £1, 2, 3, 4, 5的集合A共有 个。例8、已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为40、31人，两项均不及格的为4人，那么两项都及格的为 人。思、考题2:设M=1.2,3. ? ,1995, A是M的子集且满足条件：当xe A时，15xA4,则A屮兀素的个数最多是 。例 9:设 U=1,2, 3, 4, 5,且 ACB=2, (CuA) nB=4, (C uA) n(CvB)=l, 5,则下列结论正确的是()A. 3GA, 3GB B. 2G CuA, 3GBC. 3e

7、 CliB, 3eA D. 3e CuA, 3e CvB例 10：已知全集 11 =只，集合 A=xlx 2-x-6v0, B= X|X2+2X_8>0, C=xlx 2-4ax+3a2<0,试求a的取值范围，使 ACBgC ；试求a的取值范围，使CuAC'CuBAC例 11:已知集合 A=xlx?+4ax-4a+3=0, B= xlx2+(a-l)x+a 2=0, C=xb?+2ax-2a=0,其中至少有一个集合不是空集，求实数 a的取值范围.三、追踪训练1. 设 U=xl0<x<10, xWN+, 若 AAB=3,(导)门 4=1, 5, 7, (CAA)

8、A(CAB)=9,求集合A, B.2. 某校有A、B两项课外科技制作小组，50名学生中报名参加 A组的人数是全体学生人数的3/5,报名参 加B组的人数比报名参加 A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名的人数的1/3还多1人，求同时报名参加A、 B两组人数及两组都没有报名的人数.3. 设 A=xlx 2-x-2<0, B=x 収 匸y+l, yG A,求：CrB , AUB, A A CrB , Cs(Alj5)CrB n CrA4. 已知 A=xl-x 2+3x+10A0, B=xlmWxW2m-l, 若 BcA,求实数 m 的取值范围.四、归纳小结求集合的并、交、补是集合间的

9、基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼岀发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进 而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。习题答案例1,给岀下列说法：方程A/X-2 +1 y+21 =0的解集为- 2, 2;集合y |y=x 2-l, xeR与集合y|y=x-l,xeR的公共元组成的集合为0, -1;区间(一,1)与(a, + 无公共元素。其中正确的个数为解：对于，解集应为有序实数对，错；对于 yly=x?T,x ? R =:_ , +g)与集合y|y=x-l, x ? R=R,公共元素不只0与-1两个，错；

10、区间(-1)与(a, +8 )无公共元素取决于1与a的大小，错。故正确的个数是0。例 2、已知集合 M=xlx=3m+1 ,meZ, N=yly=3n+2,nWZ,若 xoAM,y °an,则 x() yo 与集合 M、 N 的关系是 o解：方法一(变为文字描述法)M=被3除余数为1的整数 ,N=被3除余数为2的整数,余 数为1 x余数为2 -余数为2,故x°yo ? N, x°yo电M方法二(变为列举法)M= ，2,1,4,7,10,13, N=-1, 2, 5, 8,11,中一个元素与 N中一个元素相乘一定在N中，故Xoyo ? N, xoyo电M方法三(直接

11、验证)设 xo=3m+l, y o=3n+2,贝U x°yo= 9mn+ 6m+ 3n+2=3 (3mn+2m+n) +2, 故 xoyo ? N,xoyo例3,已知集合A= X| T= 1是单元素集，用列举法表示a的取值集合B解：B表示方程-=1有等根或仅有一个实数根时a的取值集合。%2 - 2有等根时有：x2-x-2-a=0且X2-2*o；厶=1-4 (-a-2) =0, a=-9/4,此时x=l/2适合条件，故a 9/4满 足条件；仅有一个实数根时，x+a是x2-2的因式，而 ；+ ° =二十 亍,？ a= 翌.当a= A2才-2 (x-V2)(x + V2)时，x=

12、l+VA,满足条件；当 a=-、伍时，x=l 、任也满足条件总之，B= -9/4, - V2 , V2例4,设M=z|z=x 2-y2,x. yWZ,试验证5和6是否属于M?关于集合 M,还能得到什么结论。解：(1)5=32-2?M, 6=x 2-y2= (x-y) (x+y), x> y 不会是整数，故6 纟 M可以得到许多结论，如：因2n+l= (n+1) 2-n2,故一切奇数属于 M;M为无限集；因 4n= (n+l) 2-(n-l)2，故 4 的倍数属于 M;对于 a、b ? M,则 ab ? M (证明：设 a=xi2-x22, b=yi 2-y22,则 ab= (xiyi+x

13、 2y2)2-2(xiy 2+x2yi) ? Mo例 5:全集 U= :xx< 10, xAN+ , Aau, ByU, (CAB) PA = 1, 9, ACB= 3, (C ”)iAC(/B)= 4, 6, 7,求4、Bo学生分析方法f填写图中各块的元素 f小结：列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法解：因为(CuB'FA = , 9,所以 1、9&C vB因为(C/) ri(CuB) = 4, 6, 7所以 CuB = l, 4, 6, 7, 9,从而 8= 2, 3, 5, 8;又(人5)04 = 1,9, 4RB = 3, 所以 A = 1, 3, 9例

14、6 :已知 A = x-2<x < -1 或 x>l, A UB = x x + 2 > 0, A AB = .r 11= 3,求集合Bo解法：数轴上表示各集合后，分析得岀结果。分析：因为 ACB = .xll< x<3, 所以x 11 < x < 3 c B , 因为 AjB=xix>-2,(% i -i < % < i )ri A=0,AUB所以x I -1 < x < 1 c B ,所以=x I -1 < x < 1 U % 11 < % < 3=Hx I -1 < x <

15、3 o例7:满足关系1, 2cAcl, 2, 3,4, 5的集合A共有 -1 个分析：满足条件的集合 A可列举如下:1, 2, 1,2, 3, 1,2, 4, 1, 2, 5, 1,2, 3, 4, 1, 2, 3, 5, 1,2, 3, 4, 5共 8 个观察以上的集合，都含有元素1、2,若把1、2去掉，则剩下的集合恰为集合 3, 4, 5的子集，也是8个，因此，解题时，可把公共的元素删去，求剩下的集合的子集即可。例8、已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为40、31人，两项均不及格的为4人，那么两项都及格的为 人。分析：记参加跳远测验及格的同学组成的集合为A,参加铅球测验及枚

16、的同学组成的集合为B,则两项都及格的同学组成集合AHB,两项都不及格的同学组成集合(CvA) n(CvB),其中U表示全班同学组成的集合。40 + 317 + 4 = 50,解得 x =:50名同学中，只有跳远及格人100的具有下列性质的子设两项都及格的同学为 x人，则有 说明：本题解岀后，应代入验证：数为6人，4+ 15 + 25 + 6 = 50,符号题意。思考题1 :设S为集合1, 2, 3,不被7整除，那么S中元素最多可能有多少个余数不为0。我们把集合1, 2, 3,100按照其中兀素被 7除所得的余数相同与否进行归类，余数相同的组成一个集合，这样得到7个子集，然后从这7个子集中适当抽

17、取满足题意的元素组成集合So思考题2 :设M=1,2.3, - . 1995, A 是M的子集且满足条件：当xe A时，15" A ,则A中兀素的个数最多是。例 9:设 U=1, 2, 3, 4, 5,且 AnB=2,(人4)05=4, (QA) A(CAB) =b 5, 则下列 结论正确的是()A. 3GA, 3GB B. 2G CliA, 3GBC. 3 CliB , 3 A D. 3G CliA, 3 CuB分析：按题意画岀Venn图即可找岀选择的分支【解】画岀满题意足Venn图：34A2B由图可知：3WA且3gB,即3GA且3丘(7/，选C.点评：本题可用排除法来解，若选A,

18、则3GAAB,与已知AnB=2矛盾，显然这种方法没有Venn图形象直观，这也突岀数形集结合的思想在集合屮的运用例 10：已知全集 U=R,集合 A=xlx 2-x-6<0, B= X|X2+2X-8>0, C=xlx 2-4ax+3a2<0,(1)试求a的取值范围，使 AABcC ;(2)试求a的取值范围，使分析：U=R, A= (-2, 3), B= (-oo, -4) U (2, +oo),类似地，要使 CyAnCyBcC必有<3Q<4 解得 一2<a< a> 2故 APlB= (2, 3), CuA= (-oo, -2U 3, +oo),

19、CyB = -4, 2, (6A)H(Cl,B)=-4, -2,x2-4ax+3a2<0 即(x-3a)(x-a)<0, . ?.当 a < 0 时，C= (3a, a),当 a=0 时，C=0,当 a0 时，C= (a, 3a),t? > 0(1)要使AABcC，集合数轴知， <a<2解得1 WaW2 ；3a >3a<0【解】解答过程只需要将上面的分析整理一下即可点评：研究不等式的解集的包含关系或进行集合的运算时，充分利用数轴的直观性，便 于分析与转化.注意分类讨论的思想在解题屮的运用，在分类时要满足不重复、不遗漏的原则例 11:已知集合 A=xb?+4ax-4a+3=0, B=xlx 2+(a-l)x+a 2=O, C=xb?+2ax-2a=0,其中至少有 个集合不是空集，求实数 a的取值范围.种情问题反3/5, 报名的 1/3 还分析： 此题若从正面入手，要对七种可能情况逐一进行讨论，相当繁琐；若考虑其反面，则只有一 况，即三个集合全是空集 .【解】 当三个集合全是空集时，所以对应的三个方程都没有实数解，即i = 16a2 4(-4a + 3) < 0< A2 -(a-l)2-4o2 <0解此不等式组，得才 &l