导数含全参数取值范围分类讨论题型的总结与方法归纳

1、实用标准文案导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1.求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论已知函数f(x)=1x3 _1(a+2)x2+2ax (a>0),求函数的单调区间32f (x) =x 一(a 2)x 2a =(x _a)(x -2)例1已知函数f (x) =x%-(a+2)in x (a>0)求函数的单调区间 x精彩文档2f (x)=-(a 2)x 2a2x(x 2)(x a)例 3 已知函数 f(x)=2axja &

2、#39;(xw R),其中 aw R。x 1(i)当a =1时，求曲线y = f (x /£点(2, f (2 )处的切线方程;(n)当a#0时，求函数f (x)的单调区间与极值。解：(I)当a =1时，曲线y = f (x )在点(2, f(2)处的切线方程为6x + 25y32 = 0。(n)由于 a #0,所以 f txu2a(x2+1)- x2 1,1、由f (x )= 0 ,得x = 一一，x2 = a。这两个头根都在tea_2_22a x 1 -2x 2ax-a 1f * x =；2x2 1c1-2a x -a I x . a2 2x2 1义域R内，但不知它们之间的大小。

3、因此，需对参数a的取值分a >0和a <0两种情况进行讨论。.11当a >0时，则为<x2O易得f (x )在区间I q, f, (a* )内为减函数,I ' a)1112在区间.-,a为增函数。故函数 f(x庵x=-一处取得极小值f .=-a ;.aa. a函数f (x )在x2 =a处取得极大值f (a)=1。(1)1当a <0时，则x1 >x2。易得f(x )在区间(-°0,a),(-,也)内为增函数，在区间 a1 .1 1 *2 -,(a,-)为减函数。故函数 f (x )在x1= 一一处取得极小值f . 一一 1= -a ;函数

4、aaV a Jx2 = a处取得极大值f (a )=1。以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点 的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。(区间确定零点不确定的典例)例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交 a元(3W aw 5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9wxwil)时，一年的销售量为(12-x) 2万件.(1)求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x的函数关系

5、式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q (a).解 (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x C 9,11 (2)L ，(x)=(12-x) 2-2(x-3-a)(12-x)L(x)=(12-x)(18+2a-3x).答若3wa< 2,则当每件售价为9元时,分公司一年的禾u润若2waW5,则当每件售价为(6+ 2a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4(3- - a) 3(万元). 3L最大，最大值 Q (a) =9(6-a)(万元)； (导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的

6、典例) 例 2、已知 f(x)=xln x, g(x)=x3 +ax2 -x +2(I ).求函数f(x )的单调区间；( n).求函数f(x比t,t+2t>0比的最小值；(出)对一切的xw (0,十厘)2f收把g'(x)+2恒成立，求实数a的取值范围.一 '.，、.一1, .、一 /1、斛：(I ) f (x) =ln x+1,令f (x )<0,解彳# 0 < x < -，二 f (x 的单倜递减区间是0,-；e< eJ. 一 1令f (x )>0,解得x >-，f (x)的单调递增是(e,+°°), e11 1

7、11(n )( i )0<t<t+2< - , t 无斛；(ii )0<t< 一 <t+2 ,即 0<t< 一 时，f (x)min = f (-)= 一一 ；eeeee1一 1 .(ill) 1 «t Ct +2 ,即 t 1 1 时，f(x)在t,t +2单调递增,f (x)min =f (t)=tlnt 9 分1-e , tint10 :二 t Jete(m)由题意：2xln2231可彳导a _lnx-x- 2 2x131则 h x J 3 x 2 2x23x 1(分离参数)，设h(x )= in x - 一 一 2 2xx -1

8、 3x 12x212分人,八一1.令 h 仅)=0，得 x =1,x =(舍)3当 0 Mx <1 时，h (x )>0 ;当 x a1时，h(x)<0，当x=1时，h(x期得最大值,h(x)max=-213分.-a >-2.二.求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实 根是否落在定义域内，从而引起讨论。(用导数解决函数问题若求导后研究函数的导数问题时能 转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按>0、 =0> < 0；在4> 0时,在在定

9、义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。求导函数的零点再根据零点是否 ) 1已知函数f(x) =ax3x2+(1-a)x ,求函数的单调区间32f (x) =ax2 -x (1 -a) =(1 一x)(ax-1 a)例2已知函数f(x) =(1+a)lnx+ax2 (a>0),求函数的单调区间 22一、f (X) = ax -x (1 -a) = (x -1)(ax 1 a)例3 已知a是实数，函数f(x) = Jx(x a)(I)求函数f(x )的单调区间;(n)设g(a/f(x旗区间10,2】上的最小值。(i )写出g(a )的表达式;(ii )求a的取值范围，使得

10、6 <g(a>-2。解：(I)函数的定义域为b,y), f'(x)=Jx+" = 3xqa2Tx 2 x3.'x-I 3 J(x>0),由 f (x) =0x <3x +2ax 1 +2 在 xw(0,+=c 让恒成立，即 2xlnxM3x +2ax+1 a a 一得x =。考虑一是否洛在导函数 f (x)的定义域(0,+资)内，需又参数a的取值分aM0及a>0两 33种情况进行讨论。(1) 当a<0时，则f'(x)A0在(0,+* )上恒成立，所以f(x )的单调递增区间为0,十厘卜a _a(2)当 a >0 时，由

11、 f (x) A0 ,得 x A ；由 f (x) < 0,得 0 < x < 。33因此，当a>0时，f(x)的单调递减区间为,|0，a L f(x)的单调递增区间为，*卜(n) ( i)由第(I)问的结论可知:(1) 当a E0时，f (x)在0,收)上单调递增，从而f (x)在10,2上单调递增，所以g (a )= f (0 ) = 0。 当a>0时，f(x、在0,”上单调递减，在1a，出c '上单调递增，所以:一 .aD 当一w 0,2 ,即 0 <a <6时,313h )f (x )在10,- I上单调递减，在1a ,2 I上单调递增

12、,一 3_3所以 g a = f i a = 32 a：/ 3a923a3,。:二 a :二 612,依“，即a*6时，f(x)在10,2】上单调递减，所以g(a产f (2 )= J2(2 a)。0, a <0综上所述，g (一日72(2 -a ),a > 6(ii )令-6<g(a )<-2o若a M0 ,无解；2a a若 0 <a <6,由6 Ma- M2解得 3<a <6；3 . 3 若 a26,由6宅 J2(2a)W2 解得 6a E2 + 3J2。综上所述，a的取值范围为3<a <2+372 o三.求导后，因导函数为零是否有

13、实根(或导函数的分子能否分解因式)不确定，而引起的讨论例1已知函数f (x) =1ax2 +x求函数的单调区间2f (x) =ax 7例2已知函数f (x) =ln x _ax求函数的单调区间f (x)-af (x)=3二xx例 3 设k w R,函数 f(x) = <1x,x ： 1,F(x) = f (x) -kx,xw R,T ：x -1, x -1试讨论函数F(x)的单调性。1斛：= f (x) = 1 -x,x 二 1,F (x) = f (x) -kx,x RI kx, x < 1,F (x) = f (x)kx = <1x,F'(x) = «-

14、Vx -1 -kx,x 至 121 -k 1-x-,x ：11-x1 2k x-1), x 12. x-1考虑导函数F'(x) =0是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。2(一)若x<1,则F'(x)=上出二9.。由于当k W0时，F'(x)=0无实根，而当k>0时，F'(x)=0 1-x有实根,因此,对参数k分kW0和k>0两种情况讨论。当k W0时，F '(x)之0在(*,1)上恒成立，所以函数 F(x)在(叼1)上为增函数;(2)21 -'k 1 -x当 k>0 时，F'(x)=1 -x-k x - 1

15、 - x - P 、fk).J' k21r由 F '(x) = 0,得 x1 = '11= (x2 = l L 因为 k >0 ,所以 x1 <1<x2。.、k . A11由 F (x) a0,得 1 一一 <x<1；由 F'(x)<0,得 x<1 .k. k因此，当k>0时，函数F(x)在(-«,1)上为减函数，在(1,1)上为增函数。若 x a1 ,贝U F'(x) =。由于当k之0时，F'(x) = 0无实根，而当k<0时,F'(x)=0有实根，因此，对参数 k分k20

16、和k c0两种情况讨论。(1)当k之0时，F'(x)<0在1,收)上恒成立，所以函数 F(x)在 比代)上为减函数;(2)当 k<0 时，F'(x) =1 2kvx -1-k i Jx -1 I 2k J o11由 F(x)>0,得 x>1+2；由 F '(x) <0,得 1<x<1+24k4k因此，当k<0时，函数F(x)在1,1+y 上为减函数，在一4k22 ,十无上为增函数。综上所述:当k a0时，函数F(x)在(血,1 一 1)上为减函数，在(1-疝=,1)上为增函数，在1,十、)上为减函数。(2)当k =0时，函

17、数F(x)在(，,1)上为增函数，在 1,一)上为减函数。(3)当k <0时，函数F (x)在(-叫1)上为增函数，在 1+y i上为减函数，在 1+ocIL 4k 1IL 4k '解：函数当上为增函数。19.设 a> 0,讨论函数 f (x) =lnx+a (1-a) x2-2 (1-a) x 的单调性。2f(x)的定义域为(0,收).f '(x) = 2a(1_a)x _2(1_a)x 11#1 时，万程2a(1-a)x 2 2(1a)x+1 =0 的判别式 A = 12(a-1), a - - I1一. 一. 一一 .0 <a <一时， >0

18、, f (x)有两个零点,3x22a 2a(1-a)2a 2a(1 - a)且当0 < x < K或x > x2时，f '(x) >0, f (x)在(0,x1)与(x2,)内为增函数;当 x1 < x < x2时，f '(x) < 0, f (x)在(x1，x2)内为减函数;一 1当-<a <1时，三0, f (x)之0,所以f(x)在(0, f)内为增函数;1，当a =1时，f (x) =A0(x >0), f (x)在(0,收)内为增函数; x当aAi时>o,X1i (3a -i)(a _i)一 2a2a(

19、1 _a)Xii . (3a _i)(a _i) 2a 2a(i _a)""iXi =2a(a i)(3a _i)2a(i -a)“(3a i)(a i) >02a(i -a)i4a2(3a -i)(a -i)224a (i -a)iXi 二一 2ai4a23a -i'24a (i - a).(3a i)(a i) <02a(i -a)i -a 3a-i4a2(i a)22a ：04a (i - a)> Xi 时，f '(x) < 0, f (x)在(“y)内所以在定义域(0 , +°°)内有唯一零点xi,且当0

20、MX时，f (x) a0, f(x)在(0,x)内为增函数；当X为减函数。f(x)的单调区间如下表:ia <i30 :二 a3(0, Xi)(Xi , X2 )(X2，二)(0,二)(0, Xi)(Xi，二)Xii2a(a 二 i)(3a 二 i)2a(i-a),X2i +7(a-i)(3a-n)2a2a(i- a)因函数的零点的个数不确定而引起的讨论。和y=g(X)的图象都相切，且l与y=f(X)i o例.已知函数f(x)=in x, g(x)= x2 +a(a为吊数)，右直线l与y=f(x) 2的图象相切于定点P (i, f (i).(i)求直线l的方程及a的值;(2)当kC R时，

21、讨论关于x的方程f(x 2+i)-g(x)=k的实数解的个数.解：(i)(x尸 i , .f (i) =i.ki=i，又切点为 P (i, f (i),即(i, 0)1 的解析式为 y=x-i ,xy=X-i-1 1 与 y=g(X)相切,.i O OO一 i由 y= X2 +a,消去 y 得 x-2x+2a+2=0,.= (-2) -4 (2a+2) =0, 4a a=- -22(2)令 h (x) =f(X 2+i)-g(X)=in(X 2+i) 一 h' (x)= 2x2-x=- x(x 1)(x+1)则 x< _1 或0 <x <1时,h(x) A 0,h(x

22、)为增利数， 1 +x1 + x-1 vxv0 或 x1 时，I .一 ,i一一一，一i一一一，一 1故*二±1时，h (x)取极大值1n2, x=0时，h (x)取极小值一。21因此当 kC (1n2, +8),原万程一解；当k=1n2时，原万程有两解；当-Vkv1n2时，原万程有四解；2,1 一 1 一 _当k= 一时，原万程有二解；当k< -时，原万程有两解225.求参数的范围时由于不能分离出参数而引起的对参数进行的讨论例1 ：(此为不能分离出参数 a的例题)已知f (x) = x3 6ax2 +9a2x ( aw R).当a > 0时，若对Vx= b,3有f (x

23、) E4恒成立，求实数 a的取值范围.解：因为 f(x)=x 3-6ax2+9a2x, x3-6ax 2+9a2x-4 < 0所以 f(x)=3x 2-12ax+9a 2= (3x-3a) (x 3a),在(-a J± f <x)>0f (x将增函数，在(a,3a )± f <x)<0f(x注减函数，在(3a,书c)上f (x/0 f(x将增 函数。所以函数在 x=a时，f (x设大=f (a ),所以函数在x=a时，f (x k小=f (3a )因对Vxw 10,3有f (x) <4恒成立，求实数a的取值范围.极值点 指定区间端点位置关

24、系不确定引起讨 论。讨论如下：a>0当两个极值点都在指定区间0,3小时。即0<3aW3,也就是0<a<1时，(当a>0时为什么分为0<a<3,与a>3两类。要讲清楚)在(0,a让f(x>>0f(x月增函数，在(a,3a让fx卜0f (x心减函数，在(3a,)上fx0f (x尼增函数。所以函数在x=a时，f (x长大=f(a ),所以函数在x=a时，f (x心小=f(3a)f x min =min V 0，f 3a ' f x max =max f a , f 3 ,Vx= 10,3有f (x) w4恒成立，等价于i(f(aaH

25、<0f 3 -4-00 <a <1a3 -6a3 +9a3 -4 <02.27 -54a - 27a -4 三00 :二 a 由解得a <1即0<aw 1243 1 2V31<a <199当a>0时当两个极值点有一个在指定区间0,3】内时。即0<aW3,且3a>3时，也就是1<aW3时,为什么分为0<a<3,与a>3两类。要讲清楚)在R,a )± f(x户0 f (x,增函数，在(a,3 ± L(x)<0 f (x用减函数， 所以函数在x=a时，f(x版大=f(a), f X m

26、ax =f a f x min =m If 0, f 3 ：,vxw 10,3有f (x) E4恒成立，等价于<1：a*3解得1<aM1+2""f (a )-4 <09当两个极值点都不在在指定区间0,3的时。即a>3时，(当a>0时为什么分为0<a<3,与a>3两类。要讲清楚)在 0,3上 f 穿)>0 f(x 在增函数， f 收 max =f(3)=4a3_4 A108_4>0 与 f(x*4W0 矛盾。综上：对-x三10,31有f (x) ,4恒成立时，实数a的取值范围是0<aM+2"3.9例4

27、设函数f (x ) = x2 +bln (x+1 ),其中b # 0 ,求函数f (x )的极值点。b2x2 2xb解：由题意可得 f(x )的定义域为(-1,y), f (x)=2x+-b-=£x父，f (x)的分母x+1在 x 1 x 1定义域(-1,收)上恒为正，方程 2x2 +2x + b = 0是否有实根，需要对参数 b的取值进行讨论。1 2 1-(1 )当 =4 % <0,即b之一时 方程2x +2x + b = 0无实根或只有唯一根x ,所以2 22g(x) = 2x +2x+b20,在(-1,收)上恒成立，则f (x户0在(1,")上恒成立，所以函数f

28、(x )在(-1,也 让单调递增，从而函数f (x )在(-1,-hc )上无极值点。1 2(2)当 =48b >0 ,即b < 时，方程2x2 +2x + b = 0 ,即f (x )= 0有两个不相等的实根：211 -2 b-：、"-'2bx =, x2 =o22这两个根是否都在定义域(-1,收)内呢？又需要对参数 b的取值分情况作如下讨论：1 - .1 - 2b-11 - 2b(1 )当 b <0 时，x1 =<-1,x2 => -1 ,所以 X 更(T,y ),x2 乏(1," )。2 2此时，f' (x )与f (x

29、)随x的变化情况如下表：x(T,x2 )x2MD,-f (x)0+f (x )递减极小值递增由此表可知：当b <0时，f (x )有唯一极小值点x2 = -1+-2b .1,) 当 0<b<一时 2-1. 1 -2bx2 二2f (x卢f (x )随x的变化情况如下表:x(-1,x1 )x1(X,x2 ：x2(乂2*-'.f (X)+00+f (X)递增极大值递减极小值递增x, W (一1，收),X2 W (-1,卜此时,1由此表可知：当0<b<一时，2f(x)有一个极大值点Xi-1 - 1 - 2b和一个极小值点-11 -2bx2 =O2综上所述:(1)

30、当b<0时，f(x)有唯一极小值点-1.1 -2bx 二和一个极小值点-1, 1 - 2b； .1 一(2) 当0 <b <3时，f (x而一个极大值点1一当ba时，f(x比极值点。从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就 有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。(19)( I )小问5分，(n )小问7分.)已知函数f (x) =ax3+x2+bx (其中常数a,b e R), g(x) = f (x)+f'(x)是奇函数.(I )求f (x)的表达式；(n)讨论g(x)

31、的单调性，并求 g(x)在区间1,2上的最大值和最小值.解乂 I)由愚宜将"(G =3+ +加*6.因此鼠幻=基)=«?4(3a + I)/出为函数£工)是奇函效所凌加-#)珅对任意实数工有-幻 + (3d + 1)( -m)j + (6 +2)(+ b *5 - (as5 + (3a 4 1)* + (b + 2)< +从而3a *【解你i吁:=仇刚。的解析勒式龙加)( 口)山(1 )知爪幻=-$。比所以3"¥ +2,令/(幻=0,解裾。一反 Zt =E.则当, <-8或# >。时./(#) < 0,从而力幻在区间(B

32、, £、 【转 *s)上必减雨虬当-息 < 常 <"时"(工)>0.从而飘#)在区间-71. &】上是增函数.”由前面讨论知国G)在区间口口上的最大值与最小值只能在用=L0,2时取得. 而式I) 51米A(点)*s(2) = 4* -因此g()在区同I .2上的魁大值为131J' 双戊华，城小值为况(2)-：.1 -a(21)已知函数 f(x)=lnxax+1(aw R)x1 .(I)当a = 1时，求曲线y = f (x)在点(2, f (2)处的切线万程；(II )当a W时，讨论f(x)的单调性.22 x2 - x 2解：(

33、I) 当 a=1时，f(x) =in x + x+1,xw (Q-),所以 f'(x)=2,x (0, +=c)xx因此，f (2) =1,即 曲线y = f (x)在点(2, f (2)处的切线斜率为1,.又f (2) = In 2+2,所以y = f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为 y-(ln2+2) = x-2,曲线即x- y ln 2 =0.2(n ) 因为 f (x) = In x ax + a -1 , 所以 f'(x) = a +-a2- = axxaxx xx，一 、/，、2,，一、x = (0,+=c),令 g(x)=ax x + 1a, x= (0,

34、1),(1)当 a = 0时，h(x) = x + 1, x w (0,十的)所以，当xW(0,1)W,h(x) >0,止匕时f'(x) <0,函数f(x)单调递减；当x1,")时，h(x)<0,此时f'(x) >0,函数f(x)单调递1(2)当 a #051 由f (x)=0 即 ax2 -x +1 a =0 ,解得 x1 =1,x2 = T a.1一 一当a = 一时，x1 = x2,h(x)之0恒成立，2此时f'(x) <0,函数f(x)在(0, +8)上单调递减；一1 一， 1当 0 <a时，1 >1 >

35、02 axw(0,1)时，h(x) >0,止匕时£'a)<0,函数£仪)单调递减；1x W (1, 1)时，h(x) <0,止匕时f '(x) > 0,函数f (x)单调递增； a1xW(1,F)时,h(x) A0,此时 f'(x)<0,函数 f(x)单调递减； a当a父0时，由于-1 <0axw(0,1)时，h(x)0,此时 f'(x)c0,函数 f(x)单调递减；xw(1,y)时，h(x)<0,此时 f'(x)>0,函数 f(x)单调递增。综上所述：当a w 0时，函数f (x)在(

36、o , 1)上单调递减；函数f(x)在(1 , 十°°)上单调递增；-1当a=一时，函数f (x)在(0, +8)上单倜递减；21.当0 <a父 时，函数f (x)在(0, 1)上单倜递减；21函数f(x)在(1,1)上单调递增；a1函数f (x)在(一-1,收)上单倜递减， a1 - a(22)已知函数 f(x)=lnx-ax+-1 (a e R).x1(i)当a E时，讨论f (x)的单调性；2(n)设g(x) =x2 2bx+4.当a=1时，若对任意 X w (0,2),存在x2w11,2，使4f(x1) >g(x2),求实数b取值范围.，2，1 - a、

37、1 a-1 ax -x1-a 斛：(I)因为 f (x) =ln x - ax +-1 ,所以 f (x) = a +=2x" (0,十大),xx xx/2令 h(x)=ax -x+1 -a,xc (0,+),(1)当 4 = 0 时，&(兀)=-五+1,耳 w (O,+oo),听以 当工£01)时，h(x)>0,此时/(幻<0,函数了单调递减孑当me(L+co)时，g)<0,此时/5)>0,函数/单调递增当"羊。时，由/(3=0,即 ax2 - x+1-t? = 0 ,解得 = l,z2 = -1a1. 当a=5时，xi =x2,

38、h(x)> 0恒成立，此时f (x)& 0,函数 f (x)在(0, +°0)上单倜递减；.1 一， 1当 0< a< 时，1>1>0 , 2 axw(0,1)时，h(x)> 0,此时f (x)<0,函数f(x)单调递减；1,x = (1, 1)时 h(x)<0 ,此时 f (x)>0,函数 f(x)单倜递增； a1,'x = ( 1,2)时，h(x)>0 ,此时 f (x)<0,函数 f(x)单倜递减； a当a<0时，由于1 -K 0, axw(0,1), h(x)>0,此时 f'

39、(x)<0 ,函数 f(x)单调递减；xW(1,)时，h(x)<0,此时f (x)>0,函数f(x)单调递增.综上所述：0(n)因为 a=1 W(0, 1),由(I)知，x1=1, x2=3 受(0,2),当 xJ0,1)时，f'(x)Y0,函数 f(x)单 421 -17_倜递减；g(x) 1min =g(2) =84b 20b 亡(2,2)E b 之 一， 当 x= (1,2)时，f (x)> 0,函数 f (x)2 18 J1单调递增，所以f(x)在(0, 2)上的最小值为f(1) = 1。2由于“对任意x, w (0,2)，存在x2乏1,2，使f区)至g

40、)”等价于“g(x)在1,2】上的最小值不大于 f(x)在(0,2)上的最小值 -1”(*)2又 g(x)=(xb)2+4b2 , 2乞1,2，所以当bY1时，因为b(x)】min = g(1) =52b>0,此时与(*)矛盾当bw 1,2】时，因为g(x)min =4 b2 >0,同样与(*)矛盾当b W (2,)时，因为Ig(x) lin = g(2) =8 4b ,解不等式_ .18-4b < 一 ,可得2b_17 8综上，b的取值范围是117,yl。 ,8 ,(21)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(I)讨论函数f(x)的单调性;(n)设 a <

41、-2,证明：对任意xi, x2w (0,收),| f(xi)- f(x2)巨 4| k 一x2|.a 一1 2ax - a -1解：(I) f(x)的定义域为(0,+ s) , f'(x) = a+2ax = -aaxx当a>0时，f '(x) >0,故f(x)在(0,+ g )单调增加； 当aw1时，f(x)0,故f(x)在(0,+ g)单调减少;当一1vav0 时，令 f (x) = 0，解得 x= J3口 .当 xC (0, J电口)时，f'(x)>0； 2a; 2ax ( ar+°°)时，f(x)0,故 f(x) 在(0,

42、J-ar")单调增加，在(J-a1，+°°)单调减少.(n )不妨假设x1 >x2.由于a< - 2,故f(x)在(0, +如i)单调减少.所以f (为)一 f (%)至4 x1x2等价于f (x1) - f (x2) > 4x1 4x2,即 f(x 2)+ 4x 2>f(x 1)+ 4x 1.令 g(x)=f(x)+4x, 则a 1g (x)=2ax+4x2ax2 4x a 1=.x224x 4x 一1 一(2x - 1)于g (x) &=& 0.xx从而g(x)在(0, +°0)单调减少，故 g(x 1) &l

43、t; g(x 2),即 f(x1)+4x1<f(x2)+4x 2,故对任意x1,x2C (0,+ 00 ) , f (斗)一 f (x2)2 4x1-x2.(21)已知函数 f(x) =(a+1)lnx+ax2 +1(I)讨论函数f(x)的单调性；(II )(II )设 a < 1.如果对任意 x1,x2 乏(0,依)，| f (x1) f (x2)之 4| x1 x2 |,求 a 的取值范围。a 1解：(I) f(x)的定义域为(0, +8). f'(x)=+2ax = x2,2ax a 1当a±0时，f'(x)>0,故f(x)在(0, +8)单调

44、增加;当a E1时，f'(x) <0,故f (x)在(0, +8)单调减少;,，人、a 1当-1 v a<0 时，令 f '(x)=0,解得 x = 4 2af '(x) v 0.则当 xw(0,J5)时，f'(x)>0； xw(J吧，)时, 2a. 2a故f(x)在(0, J-限)单调增加，在(J雷，依)单调减少(n)不妨假设 x1 2x2，而a v -1 ,由(I)知在(0, +8)单调减少，从而Vx1，x2 W (0,2) , f(x1) f 汽2) 之4 x1 x2等价于Vx1,x2 (0, +) , f (x2)+4x2 之 f (%

45、)+4x1a - 1令 g(x) = f (x) +4x ,则 g '(x) =+ 2ax + 4xa 1等价于g(x)在(0, +oo)单调减少，即a一+2ax+4E0.x222从而 a M二"二=(2x 1) j4x -2 =(2x -D 2 故 a 的取值范围为(-8, -2.2x2 1 2x2 12x2 1(18)已知函数 f(x)=In(1+ x)- x+ xx2( k >0) o2(i)当k=2时，求曲线y = f ( x)在点(1, f (1)处的切线方程；(n )求f ( x)的单调区间。2 1斛： 当 k=2 时，f (x) =ln(1+x)x+x ,

46、 f'(x) = T+2x 1 x3由于f(1) = ln2, f'(1) = 2，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为，-3，,、ry -ln2 =-(x-1)即 3x2y +21n 23=0(II) f '(x) =x(kx+k T), x%1,f).当 k=0 时，f'(x) = -L.所以，在区间(1,0)上，1 x1 xf'(x)A0；在区间(0,")上，f'(x) <0.故f(x)得单调递增区间是(1,0),单调递减区间是(0,).当 0ck <1 时，由 f'(x) = x(kx+kT)

47、=0,得 Xi=0, x2 = 1-k>01 x1k1-k1-k .所以，在区间(_1,0)和(*)上，f'(x) A0 ;在区间(0,)上，f'(x)<0 kk1-k 1 -k故f (x)得单倜递增区间是(1,0)和(,)，单调递减区间是(0, ). kk2当k=1时，f '(x)=-x故f(x)得单调递增区间是(1,收). 1 x当 k>1 时，f '(x) = x(kx+k =0 ,得 x1 =1kw (_1,0) , x2=0.1 xk1 k -1 -k所以没在区间(-1,)和(0,)上，f'(x)>0;在区间(,0)上，

48、f'(x)<0 kk1 -k1 - k故f (x)得单倜递增区间是(1,)和(0,七c),单调递减区间是 (,0) kk20、(本小题满分16分)设f(x)是定义在区间(1,收)上的函数，其导函数为 f'(x)。如果存在实数a和 函数 h(x),其中 h(x)对任意的 xe(1,+)fp<h(x) >0,使得 f'(x) = h(x)(x2 ax + 1),则称函数 f(x) 具有性质P(a)。b 2(1)设函数f (x) =lnx+(x >1),其中b为头数。x 1(i)求证：函数f (x)具有f质P(b) ; (ii) 求函数f(x)的单调区

49、间。(2)已知函数g(x)具有f质P(2)。给定x1,x2 (1+=c),x1 <x2，设m为实数,m = mx1 +(1 -m)x2, B =(1 -m)x1 +mx2，且 a >1, P a 1 ,若1 g一 g( P) |<| g(x)-g(x2) | ,求 m 的取值范围。解析本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论 的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16分。(1) (i),1f'(x)=一 xb 22(x 1)21-2x(x 1)2(x -bx 1)x>1 时,h(x)=12 x(x 1)&

50、gt;0恒成立,函数f(x)具有性质P(b)；be b2.(万法一)设M=x -? +17巴x)与f(x)的符号相同。.b2当 1 >0, 2<b <2 时，*(x)A0, f'(x)A0,故此时 f (x)在区间(1,0)上递增;4当b =攻时，对于xA1,有f'(x)>0,所以此时f(x)在区间(1,)上递增；当be2时，9(x)图像开口向上，对称轴 x = b <1 ,而中(0) =1 ,2对于x>1，总有中(x) >0, f'(x) >0,故此时f (x)在区间(1,Z)上递增；(方法二)当 b=2 时，对于 x&

51、gt;1,邛(x) =x2 bx+1 之 x2 2x+1 =(x1)2 a0所以f'（x） >0,故此时f （x）在区间（1,一）上递增;当b>2时，9（x）图像开口向上，对称轴x=b>1 ,方程穴x） = 0的两根为：b"b -4 22b二L (0,1)b : Jb2 -4( b - . b2 -4而1,-b b2 -4一上递减;当 xw(1,2)时，9(x)<0, f'(x)<0,故此时 f(x)在区间(1,曰 ， 一、b+Wb2 -4 一同理得：f（x）在区间匕卷，收）上递增。综上所述，当bW2时，f（x）在区间（1,十应）上递增;

52、当b>2时，f（x）在（1b+府=4）上递减；f（x）在b+.b24匕）上弟增。 ，22，(2)(方法一)由题意，得：g'(x) =h(x)(x2 2x+1) = h(x)(x1)2又h(x)对任意的x w (1, -He)都有h(x) >0, 所以对任意的xw(1,y)都有g'(x)>0, g(x)在(1,y)上递增。又 0(+吕=%+%，0(一日=(2m -1)(x1 -x2)。1当 m> ,m#1 时，a < B ,且 汽 _为=(m-1)x1+(1-m)x2, B-x2 = (1 - m)K+(m - 1)x2 , 2-* (口旧)&quo

53、t;-=l)3-电尸 < 0 T a <Xi < x2(.或 / < a <,二 g（&）-g（s）>ga）-g区）不合题意.解得 < 11 - 21»当脚=；时，3,口 =出（比）-且依）归耳（再）式。），符合题意，当加时.2且0：_勺=用（4 _毛=_网（4 _/）,同理有占“6<小即林叱飞十一,解得网口<愁， 加百+ (1 一期)演巧2综合以上讨论，得：所求m的取值范围是(0, Do(方法二)由题设知，g(x)的导函数g'(x) =h(x)(x2 2x+1),其中函数h(x) >0对于任意的xw(1,十

54、&)都成立。所以，当 x>1时，g '(x) = h(x)(x -1)2 > 0 ,从而g(x)在区间(1,十如)上单调递增。当 m w (0,1)时，有 口 =mx +(1 m)x2 Amx +(1 m)x1 =x1 ,口 =mk +(1 -m)x2 <m& +(1-m)x2 =x2,得口 w (K,x2),同理可得 P w (x1，x?),所以由 g(x)的单调性知 g(a)、g(B) w(g(x1),g(x2),从而有 | g(c() -g(P) |<| g(xj g(x2)| ,符合题设。当 mW0时，u =m%+(1 m)x2 im%+

55、(1 m)x2 =x2,P =(1m)x1 +m% E(1m)x1 +mK = x1 , 于是由 « > 1> 1 g(x)的单调性知g(口)Wg(x)<g(x2) <g(«),所以 | g(汽)-g(P) | 刁 g(x1)g(x2) | ,与题设不符。当m21时，同理可得a =为邛之x2,进而得| g(«) -g(P)|刁g(x1)g(x2)| ,与题设不符。因此综合、得所求的m的取值范围是(0, 1)。待研究的以下问题在求函数的单调区间时涉及的分类讨论问题；在求函数的极值与最值问题引出分类讨论问题；在涉及函数的零点时引起的分类讨论问题；参考资料：导数的应用与分类讨论【例 1 】 设函数 f (x) =2x3-3 (a+1) x2+6ax+8,其中 a R.(I)若f (x)在x=3处取得极值，求常数 a的值；(口)若f (x)在(-8, 0)上为增函数，求 a的取值范围.解： (I) f ' (x) =6x2-6 (a+1) x+6a=6 (x-a ) (x-1 ). f (x)在x=3处取得极值，f ' (3) =1 2 (3 -a) =0, a=3,