勾股定理（1）

1、 在中国古代大约是战国时期西汉的在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作数学著作周髀算经周髀算经中记录着中记录着商高商高同同周公的一段对话。商高说：周公的一段对话。商高说：“故折矩，故折矩，勾广三，股修四，经隅五。勾广三，股修四，经隅五。”即：当直即：当直角三角形的两条直角边分别为角三角形的两条直角边分别为3 3（短边）（短边）和和4 4（长边）时，径隅（弦）则为（长边）时，径隅（弦）则为5 5。以。以后人们就简单地把这个事实说成后人们就简单地把这个事实说成“勾三勾三股四弦五股四弦五”。故称之为。故称之为“勾股定理勾股定理”或或“商高定理商高定理”勾股定理勾股定理勾勾股股弦弦毕达哥拉斯毕达哥拉斯

2、( (公元前公元前572-572-前前492492年年),),古希腊著名的哲学家、古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。数学家、天文学家。相传在相传在25002500年前，年前，毕达哥拉斯毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系，角三角形三边的某种数量关系，我们一起来观察图中的地面，看我们一起来观察图中的地面，看看能发现什么。看能发现什么。A A、B B、C C的面积有的面积有什么关系？什么关系？直角三角形三边有什么关系？直角三角形三边有什么关系？ABCABC图11（1）观察图）观察图1

3、1：正方形正方形A中含有中含有 个小个小方格，即方格，即A的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；正方形正方形B中含有中含有 个小个小方格，即方格，即B的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；正方形正方形C中含有中含有 个小个小方格，即方格，即C的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；99991818A A的面积的面积+ B+ B的面积的面积= C= C的面积的面积图12ABC（2）观察图）观察图12：正方形正方形A中含有中含有 个小个小方格，即方格，即A的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；正方形正方形B中含有中含有 个小个小方格，即方格，即B的面积是的面积是 个单位面积；个单位面

4、积；正方形正方形C中含有中含有 个小个小方格，即方格，即C的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；444488A的面积的面积+ B的面积的面积= C的面积的面积 因此可知等腰直角三角形有因此可知等腰直角三角形有这样的性质：这样的性质：对于任意直角三角形都有这样的对于任意直角三角形都有这样的性质吗？性质吗？两直边的平方和等于斜边的平方两直边的平方和等于斜边的平方看下图看下图ABCA A的面的面积积( (单单位长位长度度) )B B的面的面积积( (单单位长位长度度) )C C的面的面积积( (单单位长位长度度) )图图1 1图图2 2A A、B B、C C面积面积关系关系直角直角三角三角形三形

5、三边关边关系系图图1图图2491392534sA+sB=sC 两直角边的两直角边的平方和等于斜平方和等于斜边的平方边的平方ABCabc 如果直角三角形两如果直角三角形两直角边分别为直角边分别为a，b，斜边为斜边为c，那么，那么a2 + b2 = c2(1)(2)(3)(4)(4)(3)(2)(1)cccc(a-b)2(a-b)2C2421ab=a2 + b2 = c2可得：a2+b22ab = c22abbCa想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？证明一证明一a bababbacccc大正方形的面积该怎样表示大正方形的面积该怎样表示?(a+b)2=a2 + b

6、2 + 2ab = c2+2ab可得可得: a2 + b2 = c2ab2142c证明证明二二abcc2=a2 + b2 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜，斜边为边为c，那么，那么a2 + b2 = c2勾股定理勾股定理结论变形结论变形815A49B21.求下列图中字母所代表的正方形的面积：求下列图中字母所代表的正方形的面积：y=0学以致用，做一做2.2.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z625625576576144144169169S1S2S3S4S5S6S7已知S1=

7、1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值结论结论: :S S1 1+S+S2 2+S+S3 3+S+S4 4=S=S5 5+S+S6 6=S=S7 7y=0学海无涯EDCBA 如图，所有的四边形都是正方形，所有的如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E E的边长为的边长为7cm7cm，求正方形，求正方形A A，B B，C C，D D的面积的面积的和的和S1S2解：解： SE= 49S1=SA+SBS2=SC+SD SA+SB+SC+SD = S1+S2 = SE = 4911美丽的勾股树1.1.在在ABC

8、ABC中中, C=90, C=90，a=6,b=8, a=6,b=8, 则则c=c=2.2.在在Rt ABCABC中中, a=6,b=8, a=6,b=8,则第三边则第三边c c的值的值 。10y=0练一练1010或或2 27y=02.2.求出下列直角三角形中未知边的长度求出下列直角三角形中未知边的长度6 68 8x x5 5x x1313学以致用，做一做解：（解：（1）在）在RtABC中中,由由勾股定理得：勾股定理得：AB2=AC2+BC2X X2 2 =36+64=36+64x x2 2 =100 =100 x x2 2=6=62 2+8+82 2 x=10 x=10 x0 x0 x x2

9、 2+5+52 2=13=132 2 x x2 2=13=132 2-5-52 2x x2 2=144=144 x=12x=12（2）在在RtABC中中,由由勾股定理勾股定理:AB2+AC2=BC2x0 x0A AC CB BA AC CB B比比一一比比看看看看谁谁算算得得快！快！3.3.求下列直角三角形求下列直角三角形中未知边的长中未知边的长: :可用勾股定理建可用勾股定理建立方程立方程.方法方法小结小结:8 8x x171716162020 x x12125 5x x 勾股定理是几何中最重要的定理之勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系数量关系. .勾