变量与函数公开课

1、 世界是不断变化发展的，世界是不断变化发展的，生活中也充满着许许多多生活中也充满着许许多多变化的量，而这些变化的变化的量，而这些变化的量之间往往存在着这样或量之间往往存在着这样或那样的关系，请看那样的关系，请看汽车行驶的路程随行驶的时间而变化汽车行驶的路程随行驶的时间而变化气温随海拔而变化气温随海拔而变化行星在宇宙中的位置随时间而变化行星在宇宙中的位置随时间而变化 为了更深刻地认识千变为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里我万化的世界，在这一章里我们将学习有关一种量随另一们将学习有关一种量随另一种量变化的一些基本知识，种量变化的一些基本知识，其中包括如何用式子和图、其中包括如何用式子和图、

2、表来描述、刻画这种变化的表来描述、刻画这种变化的内容内容 问题问题1: 汽车以汽车以6060千米千米/ /时的速度时的速度匀速行驶匀速行驶, ,行驶里程为行驶里程为s s千米千米, ,行驶行驶时间为时间为t t小时小时, ,请先填写下表请先填写下表: :t/时时123456s/千米千米用含用含t t的式子表示的式子表示s s, ,则则s=_.60 12018024030036060t问题探讨问题探讨: : 每张电影票的售价为每张电影票的售价为10元元,如如果早场售出票果早场售出票150张张,日场售出票日场售出票205张张,晚场售出票晚场售出票310张张.三场电影的票房三场电影的票房收入分别为收

3、入分别为 元元, 元元, 元元;15002050310010 x问题问题2:设一场电影售出票设一场电影售出票x张张, 票房收入票房收入为为y元元,用含用含x的的 式子表示式子表示 y,则则y=_.问题问题3:在一根弹簧的下端悬挂重物在一根弹簧的下端悬挂重物, ,改变并记录重物的质量改变并记录重物的质量, ,观察并记录观察并记录弹簧长度的变化弹簧长度的变化, ,探索它们的变化探索它们的变化规律规律, ,如果如果 弹簧原弹簧原长长10cm,10cm,每每 1kg1kg重物重物使弹簧伸使弹簧伸 长长0.5cm,0.5cm,请用含重请用含重 物质量物质量m m(kg)(kg)的式子表示受力后的弹簧的式

4、子表示受力后的弹簧长度长度L L(cm),(cm),则则L L= =10+0.5m探讨探讨: :根据上述问题根据上述问题, ,你发现了什么你发现了什么? ? 这些问题反映了在某一变化过程这些问题反映了在某一变化过程中中, ,有些量有些量( (如时间如时间t,t,路程路程s,s,售出票售出票数数x,x,票房收入票房收入y y) )的值是按照某种的值是按照某种规律变化的规律变化的. .有些量的值始终不变有些量的值始终不变, ,如速度如速度6060千米千米/ /时时, ,票价票价1010元元, , ,绳绳长长10m10m等等. . 变量和常量变量和常量 在一个变化过程中，在一个变化过程中，数值发生数

5、值发生变化变化的量叫的量叫变量，变量，数值始终保持数值始终保持不变不变的量叫的量叫常量常量.1.1.变量和常量是相对的变量和常量是相对的, ,对不对不同的过程而言同的过程而言, ,其中的变量和其中的变量和常量是不相同的常量是不相同的. .2.2.圆周率圆周率是常量是常量. .注意：注意： 每个问题中的两个变量互相联每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就另一个变量就有唯一确定的对应值有唯一确定的对应值.S=60tt/时时12345S/千米千米60120180240300t/时时12345s/千米千米问题探讨问题探讨: :问题问题1

6、1：汽车离开汽车离开A A站站5千米以后，以千米以后，以40千千米米/时的平均速度行驶了时的平均速度行驶了t小时小时, ,汽车离开汽车离开A A站所走的路程为站所走的路程为s千米千米, ,请先填写下表请先填写下表: :所以所以, ,s=_. 观察填出的表格观察填出的表格, ,会发现会发现: :每当行驶时每当行驶时间间t t取定一个值取定一个值, ,汽车离开汽车离开A A站所走的路程站所走的路程s s就就_. .4585 1251652055+40t随之确定一个值随之确定一个值问题问题2：李老师用李老师用100100元购买元购买7 7元元/ /件件的某种商品，观察他剩余的钱的某种商品，观察他剩余

7、的钱y(y(元元) )与购买这种商品的数量与购买这种商品的数量x(x14)x(x14)之间之间的关系的关系: :当当x=5时时,y=_；当当x=12时时,y=_. 从中可以看出：每当李老师从中可以看出：每当李老师购买这种购买这种商品数量商品数量x x(x(x14)14)取定一个值时取定一个值时，他，他剩余的钱剩余的钱y y( (元元) )就就_._.问题问题3:每张电影票的售价为每张电影票的售价为1010元元, ,当早场当早场售出票售出票x=150(x=150(张张) )时时, ,票房收入票房收入y=_(y=_(元元););150020503100 我们发现我们发现,每当售票数量每当售票数量x

8、取定一个值取定一个值时时,票房收入票房收入y y就就_._.随之确定一个值随之确定一个值则则:y=_.10 x当日场售出票当日场售出票x=205(x=205(张张) )时时, ,票房收入票房收入y=_(y=_(元元);); 当晚场售出票当晚场售出票x=310(x=310(张张) )时时, ,票房收票房收入入y=y= ( (元元).). 思考归纳思考归纳: 请同学们分组讨论。请同学们分组讨论。 1.前面我们研究的前面我们研究的每个问题中都有几个每个问题中都有几个变量？变量？2.同一个问题中的两个变量之间有什么联系？同一个问题中的两个变量之间有什么联系？ 两个变量两个变量 每个问题中的两个变量互相

9、联系，每个问题中的两个变量互相联系，其中一个变量其中一个变量取定一个值取定一个值时时,另一个变另一个变量就量就随之确定一个值随之确定一个值. 即：一个变量的值随另一个变量的即：一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化值的变化而变化.函数函数: 一般地一般地, ,在一个变化过程中在一个变化过程中, ,如如果有两个变量果有两个变量x x和和y,y,并且并且对于对于x x的的每一个确定每一个确定的值的值,y,y都有都有唯一唯一确定确定的值与其对应的值与其对应, ,那么我们就说那么我们就说x x是是自变量自变量,y,y是是x x的的函数函数. . 理解：理解：1. 函数谈的是变量间的关系。函数谈的是变

10、量间的关系。 2. 对于对于x的每一个确定的值，的每一个确定的值， y都有唯一被确定的值与其对应，都有唯一被确定的值与其对应， y才是才是x的函数的函数.自变量、函数、函数值：自变量、函数、函数值：指出前面四个问题中的自变量与函数指出前面四个问题中的自变量与函数.1.“票房收入问题票房收入问题”中中y=10 x，对于，对于x的每一个值，的每一个值，y都有都有 的值与之对应，所以的值与之对应，所以 是自变量，是自变量，y是是x的函数的函数.2.“行程问题行程问题”中中s=60t，对于，对于t的每一个值，的每一个值，s都有都有 的的值与之对应，所以值与之对应，所以 是自变量，是自变量， 是是 的函

11、数的函数.3.“气温变化问题气温变化问题”，对于时间，对于时间t的每一个值，气温的每一个值，气温T都都有有 的值与之对应，所以的值与之对应，所以 是自变量，是自变量， 是是 的函的函数数.归纳：如果有两个变量，对于归纳：如果有两个变量，对于x的每一个值，的每一个值，y都有都有 的值与之对应，称的值与之对应，称x是是 ，y是是x的的 唯一唯一x唯一唯一tsttTt唯一唯一自变量自变量函数函数唯一唯一 思考题：思考题：填表并回答问题：填表并回答问题：（1）对于）对于x的每一个值，的每一个值，y都有唯一的值与之都有唯一的值与之对应吗？答：对应吗？答： 。 （2）y是是x的函数吗？为什么？的函数吗？为

12、什么？2和28和818和1832和32不是不是答：不是，因为答：不是，因为y的值不是唯一的。的值不是唯一的。x14916y=+2x练一练练一练:下列问题中的变量下列问题中的变量y是不是是不是x的函数的函数？是是（1） y = 2x（2） y+2x=3是是（3） y= 不是不是xy（6）是是xy （7） 不是不是x（4） y=x2（5） y2=x（8） y=x+5 （9） y=x2+3z是是是是不是不是不是不是(x0) 下图是体检时的心电图下图是体检时的心电图, ,其中横坐标其中横坐标x x表示表示时间时间, ,纵坐标纵坐标y y表示心脏部位的生物电流表示心脏部位的生物电流, ,它们是两个它们是

13、两个变量变量. .在心电图中在心电图中, ,对于对于x x的每一个确定的值的每一个确定的值,y,y都有唯都有唯一确定的对应值吗一确定的对应值吗? ?心电图是医学检查中用仪器记录心脏跳动状况的曲心电图是医学检查中用仪器记录心脏跳动状况的曲线，其中每个点的横、纵坐标是有线，其中每个点的横、纵坐标是有单值对应关系单值对应关系的的两个变量两个变量. .即即: :对于对于x x的每一个确定的值的每一个确定的值,y,y都有唯一都有唯一确定的对应值确定的对应值. .观察观察1观察观察2 在下面的我国人口数统计表中在下面的我国人口数统计表中, ,年份与人口年份与人口数可以记作两个变量数可以记作两个变量x x与

14、与y,y,对于表中每一个确定的年对于表中每一个确定的年份份(x),(x),都对应着一个确定的人口数都对应着一个确定的人口数(y)(y)吗吗? ? 对于表中每一个确定的年份对于表中每一个确定的年份x x, ,人口数人口数y y都有唯都有唯一确定的值与其对应一确定的值与其对应. .17.1.1 练一练练一练 (1)下图是黄陂某日温度变化图下图是黄陂某日温度变化图,横坐标横坐标 t 表示时间，表示时间，纵坐标纵坐标 T 表示温度，它们是两个变量表示温度，它们是两个变量。8时时,10时时,14时时的温度分别为多少的温度分别为多少? 思考：思考：对于图中每一个确定的对于图中每一个确定的时间时间t,都对应

15、着一个确定的温度都对应着一个确定的温度T吗吗?温度温度T是时间是时间t的函的函数吗？数吗？ (2) 由于金融危机的影响由于金融危机的影响,很多公司股价大幅下跌很多公司股价大幅下跌,下图是美国通用汽车公司的一周股价走势图下图是美国通用汽车公司的一周股价走势图,请问请问:股股价是时间的函数吗价是时间的函数吗? 08北京奥运会北京奥运会,中国取得了辉煌的成绩中国取得了辉煌的成绩,让每个中国让每个中国人都为之骄傲人都为之骄傲,观察北京奥运金牌榜观察北京奥运金牌榜,表中的变量是否表中的变量是否存在函数关系存在函数关系?如果存在如果存在,谁是谁的函数谁是谁的函数?国家国家金牌数金牌数中国中国51美国美国3

16、6俄罗斯俄罗斯23英国英国19德国德国16法国法国7荷兰荷兰7乌克兰乌克兰7练一练练一练:试一试v变量变量y与与x的关系如图，的关系如图，y是是x的函数吗？的函数吗？是是不是不是例如例如y=2xy=2x，变量，变量y y是变量是变量x x的函数的函数. .当当x=1x=1时，函数时，函数y y的函数值等于的函数值等于2 2二、如果当二、如果当x=a时时,y=b,那么那么b叫做叫做当自变量的值为当自变量的值为a时的时的函数值函数值.例例1 1 下列问题中哪些量是自变量？哪下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？并写出用自变些量是自变量的函数？并写出用自变量表示函数的式子量表示函数的式子.

17、 .（1 1）多边形的内角和）多边形的内角和随边数随边数n n的变的变化而变化；化而变化；解：解： （1 1） =（n n2 2）180180例例1 1 下列问题中哪些量是自变量？哪下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？并写出用自变些量是自变量的函数？并写出用自变量表示函数的式子量表示函数的式子. . （2 2）计划花）计划花500500元购买篮球，所能购元购买篮球，所能购买篮球的总数买篮球的总数n n（个）随单价（个）随单价a a（元）（元）的变化而变化的变化而变化. .解：解：500(2)na例例2 2 下列式子中的下列式子中的y y是是x x的函数吗？如的函数吗？如果是，请分别

18、求出在果是，请分别求出在x=6x=6时对应的函数时对应的函数值值. .1(1)53;(2);(3)3;21xyxyyxx 3、 写出下列关系式写出下列关系式 (1)每个同学购一本单价每个同学购一本单价3元的练习册，元的练习册，写出总金额写出总金额y(元元)与学生数与学生数n(个个)之间的关之间的关系式；系式； (2)已知水池的容量已知水池的容量200 ，每小时的，每小时的注水量为注水量为a ，注满水池所需时间为，注满水池所需时间为t小时，小时，写出写出a与与t之间的关系式之间的关系式2 0 03ynat3cm3cm 4 4、出租车收费按路程计算，、出租车收费按路程计算，3 3千千米米( (含含

19、3 3千米千米) )以内收费以内收费8 8元，超过元，超过3 3千千米时，每米时，每1 1千米加收千米加收1.801.80元，写出车元，写出车费费y(y(元元) )与路程与路程x(x(千米千米) )之间的关系之间的关系式式8(03)1.80(3)8(3)yxyxx（1）在计算器上按照下面的程序进行操作：）在计算器上按照下面的程序进行操作：输入输入x（任意一个数）（任意一个数）按键按键2 + 5=显示显示y（计算结果）（计算结果）71135207问题：显示的数问题：显示的数y是是x的函数吗？为什么的函数吗？为什么?y是是x的函数，因为的函数，因为x取定一个值时，取定一个值时，y都有唯都有唯一确定

20、的值与其对应。一确定的值与其对应。x 1 3 4 0101y上面操作程序中所按的第三个键和第四个键上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是应是 . 2、在计算器上按照下面的程序进行操作：在计算器上按照下面的程序进行操作： 下表中的下表中的x与与y分别是输入的分别是输入的6个数及相应的计算个数及相应的计算结果：结果：x-2-10123y-5-214710 + 1y是是X的函数吗？若是，写出它的表达式（用含的函数吗？若是，写出它的表达式（用含X的式子表示的式子表示y).是。是。y=3x+1 一辆汽车的油箱中现有汽油一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不，如果不再加油，那么油箱中的油量再加油，那么油箱中的油量y（单位：（单位：L）随行）随行驶里程驶里程x（单位：单位：km）的增加而减少，平均耗）的增加而减少，平均耗油量为油量为0.1L/km。（1）写出表示y与x的函数关系的式子。（2）指出自变量x的取值范围（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？解解:(1) 函数关系式为函数关系式为: y = 500.1x(2) 由由x0及及500.1x 0