课堂导学（2.3数学归纳法）

1、.课堂导学三点剖析一,证明与自然数n有关的等式.【例1】 an=1+nN*,是否存在n的整式qn,使得等式a1+a2+an-1=qnan-1对于大于1的一切自然数n都成立?证明你的结论.解：假设存在qn,去探究qn等于多少.当n=2时,由a1=q2a2-1,即1=q21+-1,解得q2=2.当n=3时,由a1+a2=q3a3-1,即1+1+=q31+-1,解得q3=3.当n=4时,由a1+a2+a3=q4a4-1,即1+1+1+=q41+-1,解得q4=4.由此猜测qn=nn2,nN*.下面用数学归纳法证明,当n2,nN*时,等式a1+a2+an-1=nan-1成立.当n=2时,由以上验证可知

2、等式成立.假设当n=kk2,kN*时等式成立,即a1+a2+ak-1=kak-1,那么当n=k+1时,a1+a2+ak-1+ak=kak-1+ak=k+1ak-k=k+1ak-k+1+1=k+1ak+-1=k+1ak+1-1.当n=k+1时,等式亦成立. 由知,对于大于1的自然数n,存在整式qn=n,使得等式a1+a2+an-1=qnan-1总成立.温馨提示 这是一个探究性问题,整式qn需要用不完全归纳法来探求和发现,通过观察,归纳,猜测的思维途径去概括,然后用数学归纳法给出严密的证明.二、证明与数列有关的问题【例2】 Sn=1+n>1,nN*,求证：>1+n2，nN*.证明：1当

3、n=2时，=1+=>1+,即n=2时命题成立.2设n=k时命题成立,即=1+>1+,当n=k+1时,=1+故当n=k+1时,命题成立.由12知,对nN*,n2, >1+不等式都成立.温馨提示 此题容易犯两个错误,一是由n=k到n=k+1项数变化弄错,认为的后一项为,实际上应为；二是+共有多少项,实际上2k+1到2k+1是自然数递增,项数为2k+1-2k+1+1=2k.三、综合题型【例3】 某地区原有森林木材存量为a,且每年的增长率为25%,因消费建立的需要，每年年底要砍伐的木材量为b,设an表示n年后该地区森林木材的存量.1求an的表达式;2为保护生态环境,防止水土流失,该地

4、区每年的森林木材量应不少于a,假如b=a,那么该地区今后会发生水土流失吗?假设会,需要经过几年？取lg2=0.30思路分析： 此题依题意先计算出第一年、第二年、第三年后的森林木材的存量,归纳猜测第n年后该地区森林木材的存量,并用数学归纳法加以证明，该地区假设发生水土流失,那么森林木材存量必须小于a,建立起an<va的不等式,解之就可求得相应的n值.解:1设第一年的森林木材存量为a1,第n年后的森林木材存量为an,a1=a1+-b=a-b,a2=a1-b=va-b-b=2a-+1b,a3=a2-b=3a-2+1b,由上面的a1,a2,a3推测an=na-n-1+n-2+1b=na-4n-1

5、bnN*.证明:当n=1时,a1=a-b,已证推测成立.假设n=k时,ak=ka-4k-1b成立.那么当n=k+1时,ak+1=ak-b=ka-4k-1b-b=k+1a-4k+1-1b.也就是说当n=k+1时,公式也成立.由可知,对nN*公式成立.2当b=a时,假设该地区今后发生水土流失时,那么森林木材存量必须小于a,na-4n-1a<a,即n>5.两边取对数得nlg>lg5,n>=7.2经过8年后该地区就开场水土流失.各个击破类题演练 1 用数学归纳法证明:证明:1当n=1时,左边=,右边=,等式成立.2假设当n=k时,+=成立.当n=k+1时,n=k+1时，等式成立

6、.由12可知对一切正整数nN*，等式成立.变式提升 1 证明12-22+32-42+2n-12-2n2=-n2n+1.证明:1n=1时，左边=12-22=-3，右边=-1×2×1+1=-3等式成立.n=1时等式成立.2假设当n=k时，等式成立，就是12-22+32-42+2k-12-2k2=-k2k+1成立.当n=k+1，12-22+32-42+2k-12-2k2+2k+12-2k+22=-k2k+1+2k+12-2k+12=-k2k+1-4k+3=-2k2+5k+3=-k+12k+1+1,所以n=k+1时等式也成立.根据1和2可知,等式对任何nN*都成立.类题演练2 数列

7、an的通项公式为an=,数列bn的通项满足bn=1-a11-a21-an,用数学归纳法证明bn=.证明:1当n=1时，a1=4,b1=1-a1=1-4=-3,b1=2×1+11-2=-3成立.2假设当n=k时等式成立，即bK=2k+11-2k,那么bK+1=1-a11-a21-aK1-aK+1=bK1-aK+1=2k+11-2k1-42k+12=2k+1+11-2k+1.这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由12可以断定，对任何正整数n，bn=2n+11-2n都成立.变式提升2 函数列fnx满足f1x=x>0,且fn+1x=f1fnx，求f2x、f3x.解:f1x=f2x=

8、f3x= .类题演练3 平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于同一点，求证：这n个圆将平面分成n2-n+2个部分.证明：1n=1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立.2假设n=k时，k个圆将平面分成k2-k+2个部分.当n=k+1时，第k+1个圆CK+1交前面k个圆于2k个点，这2k个点将圆CK+1分成2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k+1个圆将平面分成k2-k+2+2k个部分，即k+12-k+1+2个部分.故n=k+1时，命题成立.由12可知，对nN*命题成立.变式提升3 证明凸n边形的对角线的条数fn=nn-3n4.证明:1n=4时，f4

9、=×4×4-3=2，四边形有两条对角线，命题成立.“师之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生而来。其中“师傅更早那么意指春秋时国君的老师。?说文解字?中有注曰：“师教人以道者之称也。“师之含义，如今泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师的原意并非由“老而形容“师。“老在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老“师连用最初见于?史记?，有“荀卿最为老师之说法。渐渐“老师之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师当然不是今日意义上的“老师，其只是“老和“师的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身

10、上学以“道，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“老师的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。2假设n=k时命题成立，即凸k边形的对角线的条数fk=kk-3k4当n=k+1时，凸k+1边形是在k边形根底上增加了一边，增加了一个顶点AK+1，增加的对角线条数是顶点AK+1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1AK，共增加了对角线条数k+1-3+1=k-1.fk+1=kk-3+k-1=k2-k-2=k+1k-2=k+1k+1-3,故n=k+1时，命题成立.要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察才能，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、开展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察才能和语言表达才能的进步。由12可知,对于n4，nN*命题成立.唐宋或更早之前，针对“经学“律学“算学和“书学各科目，其相应传授者称为“博士，这与当今“博士含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事或讲解“经籍者，又称“讲师。“教授和“助教均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学“律学“医学“武学等科目的讲授者；而