必修一第二章函数知识点总结

1、必修一第二章函数一.函数1函数的概念：传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于某个范围内的任一个x的值，都有唯一的 y值与之对应，则称 y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。现代定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ,使对于集合A中 的任意一个 数x ,在集合B中都有唯一确定 的数f (x)和它对应，那么就称 f : A- B为从 集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x), x £ A.其中，x叫做自变量，x的取值范 围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f (x) | x C A 叫做函数的值域.函数的三要

2、素： 定义域、值域、对应法则相同函数的判断方法：表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)；定义域一致(两点必须同时具备)2定义域：(1)定义域定义：函数f(x)的自变量x的取值范围。(2)确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。(3)确定函数定义域的常见方法：若f(x)是整式，则定义域为全体实数若f(x)是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数例：求函数 1 的定义域。 y =r若f(x)是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数x 1 -2的定义域。例2.求函数y =$2x2 1十仪十1 0的定义域。对数函数的真数必须大于零指数、对数式的底必须大于零且不等于

3、1若f(x)为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定指数为零底不可以等于零，如x0 =1(x=0)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义(4)求抽象函数(复合函数)的定义域已知函数f(x)的定义域为0,1求f(x2)的定义域已知函数f(2x1)的定义域为0,1 )求f(13x)的定义域3值域:(1)值域的定义： 与x相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。(2)确定值域的原则：先求定义域(3)常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数(正余弦、正切)(4)确定函数值域的常见方法:直接法：从自变量x的范围出发，推

4、出y = f (x)的取值范围。例：求函数y=Jx + 1的值域。解：JX 之0, ，JX +1 之 1,函数y = Jx+1的值域为1,依)。配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。形如 F(x) = af2(x)+bf(x)+c的 函数的值域问题，均可使用配方法。例：求函数 y = x2+4x + 2 (xw -1,1)的值域。.22_解：y =x +4x+2 = (x 2) +6, - x-1,1, . x-2-3-1, . 1<(x-2)2<9-3<-(x-2)2 +6<5,-3<y <5函数 y = x2+4x+2(xW1,1)的值域为3,

5、5。分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法,此类问题一般也可以grassroots ca-es as, caos , " O"d* bg , ad s .Th “ob - sae 2利用反函数法。例:求函数解:y =上士的值域。2x 5171-x -2(2x 5) 21= -=2x 5 2x 527十二,2x 5722x 5函数y =1 x , ,1的值域为y|y¥_，。2x 52换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域，形如 y =ax +b ± Jcx +d (a、b、c、d 均为常数，且

6、a=0)的函数常用此法求解。例：求函数y = 2x + J1 -2x的值域。1 -12解：令 t = J1 2x (t 20),贝U x= ,221、25 - y - -t - t 1 - -(t) -24-1 _3 .5一 . .当t=,即x=一时，ymax =，无取小值。2845函数 y=2x + 7TT2X 的值域为(8,5。aixbixCi判别式法： 把函数转化成关于 x的二次方程F(x，y) = 0；通过方程有实数根，判别式y 二 2之0,从而求得原函数的值域，形如a2x +b2X+C2(a1、a2不同时为零)的函数的值域，常用此方法求解。. x - x 3 例：求函数y = x23

7、的值域。x - x 1x - x 32解：由 y=r变形得(y1)x -(y-1)x+y-3 = 0,x -x 1当y =1时，此方程无解;当 y=1 时，. xw R, i=(y-1)2-4(y-1)(y-3)>0,1111解得 1 My <，又 y#1 ,1 < y < 33一x2 x -3 , ,11 函数y=X2 x 3的值域为y |1父y,Ux -x 132x2 x 2 ,一练习：求函数 y =的值域x2 x 14 .函数的表示方法(1)解析法、列表法、图象法(2)求函数解析式的常见方法：换元法例：已知f (3x+1) =4x+3,求f(x)的解析式.1 x例

8、：右 f (-)=，求 f (x).例：已知 f (jx1)=2x3,求 f(x)解方程组法1例：设函数f (x)满足f (x) +2 f ( _ ) = x ( x W 0),求f (x)函数解析式.x一变：若f(x)是定义在 R上的函数，f (0) = 1 ,并且对于任意实数x,y,总有一 2、f (x+) = f (x) + y(2x+y+1),求 f (x)。(令 x=0 , y=2x) y待定系数法例：已知f(x)是一次函数，并且 f f(x) =4x + 3求f(x) 解：设 f (x) = kx +b ,则2_f f (x) = kf (x) b = k(kx b) b = k

9、x kb b = 4x 3k2 =4k 4 ,解得k= -2b=3故所求一次函数解析式配变量法f(x) =2x+1 或 f(x) = 2x 3kb b = 3g soos na_ as Caos as ti nklleds ig , ad s .Thee .ob sae 6一一，1例：已知f (x - 一)=x x21+,求f (x)的解析式. x例：若 f Qx+1) = x+2 Jx ,求 f (x).特殊值代入法(取特殊值法)例：若 f (x + y) = f (x) , f (y),且 f (1) = 2 ,求值四=汩+出+ f(2005) f (1) f (2) f (3) f (2

10、004)例：设f(x)是R上的函数，且满足 f(0)=1并且对任意实数 x,y有f (x -y) = f (x) - y(2x 一 y + 1)求 f (x)的表达式解：设 x = y 则 f (0) = f (x) x(2x x+1)=1即 f (x) = x2 x 1或设 x = 0则 f(y) = f (0) y(y + 1) =1-y(-y + 1)f (x) =1 x(x 1) = x2 x 1利用给定的特性(奇偶性周期性)求解析式例：对 x £ R, f(x)满足 f(x) = f(x + 1),且当 x £ - 1,0时，f (x) =x2 +2x求当 x e

11、 9,10时 f (x)的表达式.eght, deep un-sadigon on -eV ay m-bes ad cde sad bu,i ng a sWt high q- - , m-ning ad -ve ay's nau nfcanne .“racia l Iouggt and ntalad proVnC-s.Fr ays a -plomelAtac mporade y sine 8 the pat d ou la ourhe - ona ma -bes ad cade sA pree >I Ie iCie, s.lt reds ae lag . si nd, nulur

12、a exCa ngcm,a smepay解析：f(x) =_f(x+1),则 f (x1) = f (x)则 f(x1) = f (x +1), f(x) = f (x +2), T=25 .分段函数(1)定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数。(2)注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集；分段函数是一个函数，而不是几个函数；写分段函数定义域时，区间端点不重不漏。6 .复合函数如果 y = f (u),(uw M),u=g(x),(xw A)则 y= fg(x) = F(x),(xw A),称为 f、g 的复合函数。

13、7 .函数图象问题(1)熟悉各种基本初等函数的图象112如：y=0, y=c(c为吊数)，y = x, y=, y = ，y = xxx(2)图象变换平移：y = f(x)向右平移a(a a 0)个单位长度y = f(x a)y:f(x)向上平移b(b >0)个单 位长用=f(x)+b对称：y = f (x)关于x轴对称 y = - f (x)y = f(x)关于y轴对称y = f(-x)y = f (x)关于原点对称 y = - f (-x)翻折：y = f (x), y = f (x)注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法二.函数的性质1.函数的单调性(局部性

14、质)(1)增减函数和单调区间设函数y = f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个 自变量?2 ,当x1 < x2时，都有f (') < f (x2),那么就说f (x)在区间D上是增 函数.区间D称为y = f (x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1, x2当x1 < x2时，都有 f(x1)a f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y = f(x)的单调 减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；(2)图象的特点如果函数y = f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间

15、上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函 数的图象从左到右是下降的.(3)函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：Q 任取 x1 , x2 c D,且 x1 < x2;能作差 f(xj f(x2)；0变形(通常是因式分解和配方)；(4定号(即判断差f(xi) f(x2)的正负)；(5下结论(指出函数 f(x)在给定白区间 D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x), y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的

16、区间和在一起写成其并集.例：是否存在实数a使函数y = f (x) =log a(ax2x)在闭区间2,4上是增函数？如 果存在，说明a可取哪些值；如果不存在，说明理由。解：当a>i时，为使函数 y= f(x) = loga(ax2x)在闭区间2,4上是增函数只需g(x) =ax2 -x在闭区间2,4上是增函数，故x = -三£2 /日 1,口22a 倚 a a ，又由 a >1,得 a >1g(2) =4a-2 022当0<a <1时，为使函数 y= f(x)=loga(ax -x)在闭区间2,4上是增函数只需g(x) =ax2 -x在闭区间2,4上是

17、减函数，故-1无解x =-42ag(4) -16a -4 0综上，当aw(1,y)时，f (x) =loga(ax2-x)在闭区间2,4上是增函数(D)常用结论函数y = -f (x)与函数y = f (x)的单调性相反；函数f (x)与f (x)十c(c为常数)具有相同的单调性；当c>0时，函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性，c<0时，它们具有相反的单调性；1若f(x)#0则函数f (x)与具有相反的单倜性；f(x)公共区间，增函数+增函数=增函数、减函数+减函数=减函数、增函数-减函数=增函数、减函数-增函数=减函数若f(x) >0,g(x) >0,且f (x

18、)与g(x)都是增(或减)函数，则 f(x) ,g(x)也是 增(或减)函数；若f (x) <0, g(x) <0,且f (x)与g(x)都是增(或减)函数，则 f(x)q(x)也是 增(或减)函数；若f (x) A0 ,且在定义域上是增函数，则njfx)'也是增函数，f n (x)(n A 1)也是增函数。常见函数的单调性(一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数ky = x + (k A0)x(E)利用函数的单调性求函数的最值确定函数的定义域；将复合函数分解为基本的初等函数；分别判断其单调性；根据同增异减判断grassroots ca-es as, caos , &qu

19、ot; O"d* -bg , -. s .Th “ob - sae 9u.Ia2例：求函数f (x)=在区间2,6上的最大值和最小值-x -12.函数的奇偶性(整体性质)(1)(或(2)(3)函数奇偶性定义一般地，对于函数f(x)的定义域D内的任意一个x ,都有xw D ,且f(x) = f (x) f(_x)=f(x),那么f(x)就叫做奇(或偶)函数.图象的特征偶函数的图象关于 y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤：。首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；Q)确定 f (x) = f (x)与 f (x) = f (x)是否成立;作出相应结论

20、：若 f(_x)=f(x)或f (x) f (x) = 0 ,则f(x)是偶函数；g-soo- -des - * c-os as ”c fed* -tig,-d * .Th- “ob - s.e i-12若 f (-x) = f (x)或 f (x) + f (x) = 0 ,则 f (x)是奇函数.注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定；或由变式f(-x)±f(x) =0或七x) = ±1来判定；利用定理，或借助函数的图象判定.f(x)(4)函数奇偶性的重要结论具有奇

21、偶性的函数，其定义域关于原点对称；f(x)、g(x)是定义域分别为 D1Q2的奇函数，那么在DcD2上，f(x) + g(x)是奇 函数，f (x)?g(x)是偶函数。类似结论：奇 士奇=奇、奇x奇=偶、 偶土偶=偶、偶x偶=偶 奇x偶=奇若f(x)是具有奇偶性的单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同 (反)的。F(x)+G(x)若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)= f(x) + f(-x)是偶函数，G(x) = f(x) f(x)是奇函数。(f(x) =若f (x)既是奇函数又是偶函数，则 f (x) = 0复合函数的奇偶性：内层是偶函数，则 y= fg(x)是偶函数

22、(不用死记硬背)内层是奇函数，外层是奇函数，则 y= fg(x)是奇函数外层是偶函数，则 y= fg(x)是偶函数(5)函数奇偶性与单调性的关系 奇函数在a.b上是增函数，在 偶函数在a.b上是增函数，在例：函数y = f (x)(x = 0)f,-a上也是增函数；f,-a上是减函数。是奇函数，且当 xw (0,+比)时是增函数，若 f(1) = 0,求不等式1、fx(x-) <0的解集。 2解：已知 ,1f (1) = 0不等式可化为 fx(x-) < f (1),2一,， 八，1、，因为f(x)在xu(0,+g)上递增，所以0<x(x2)<1得-:二 x :二21.

23、171 - - 17-,或<x <0又由f(x)是奇函数，它在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，1. .1且 f (_1) =-f (1) =0,得 fx(x ) < f (-1),即有 x(x ) <-1 ,无解。22综上， 原不等式的解集是 x < x < -, 或 -_"I、< x < 0 244例：设奇函数f(x)在(0,收)上为增函数，且f(1)=0,则不等式f(x)f(x)M0 x的解集为？解：由 f(x)是奇函数得 f(x) = f (x),所以 f(x) - f( - x) =fx)<0 xx；f (x)<

24、;0；f(x)>0即3或3,、x >0、x <0由奇函数f(x)在(0,+oc)上为增函数，故f (x)在(*,0)上为增函数由 f(1) =0 知 f(1) =0尸)<0可化为S,得0X1,同理x >0x >0'f(x) A0-八斗 7(x)> f(-1)zB , 八可化为得-1 ex <0x <0x <0解集为 -1 ：二 x :二 0 一 0 :二 x ：二 13.函数的周期性(1)周期函数的定义若函数f(x)对于定义域中任意 x,存在不为零的常数 T,使得f(x+T)= f(x)恒成立，则f (x)为周期函数，T为f

25、(x)的周期(2)有关周期性的一些结论若f(x)的周期为T ,则nT(nW Z,n#0)也是f (x)的周期若周期函数的周期 T是所有正周期中最小的，则 T为f(x)的最小正周期1 ，右函数 f (x)满足 f (x+a) =f (x)(a #0), f (x+a) =(a#0),f(x)一1f(x+a) = -(a00),则f(x)比以2a为周期，反之不成立。f (x)证明提示：令 x = x -a ；令x =x + a ;令x = x + a。(3)函数的对称性a b满足条件f(x+a) = f(b-x)的函数的图象关于直线 x=a对称；2a b 一若满足f(x + a) =f (b x)

26、的函数的图象关于点(,0)对称2点(x, y)关于y轴的对称点为(-x, y),函数y = f (x)关于y轴的对称曲线方程为y = f(-x)点(x, y)关于x轴的对称点为(x,-y),函数y=f(x)关于x轴的对称曲线方程为y = -f (x)(x, y)关于原点的对称点为(-x,-y),函数y = f (x)关于y轴的对称曲线方程为y = -f (一x)a b , 函数y = f (x + a)与函数y = f (b x)关于直线x =对称。2注意：f(x+a) = f(bx),对称轴求法：x= a + x+b-xa +x =b-x,y = f (x +a)与y = f (b -x)的

27、对称轴求法:三、一次函数(略)与二次函数1、二次函数的定义及表达式(1)定义：函数 y=ax2 +bx+c(a¥0)叫做二次函数，它的定义域是R(2)表达式：一般式、顶点式、两根式2、二次函数的图象与性质(1)图象：抛物线：开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、最大值最小值。3、二次函数在闭区间上的最值(分情况讨论对称轴与闭区间的位置关系)4、一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式b =b2 4ac >0 =0 <0二次函数y = ax2 + bx + c(a a 0)的图象,兀一次方程2ax + bx + c = 0(a

28、=0)的根有两不等实根-b ± Jb2 -4acxi, x2 =2a(xi ex?)后两相等实根rb、 x = x1 = x2 = - 2a没有 实根兀 二次 不等 式的 解集2 一】八ax +bx +c >0(a >0) xx < x1 或x > x2 xxW R,且x ¥ -b 2a实数集R2ax + bx + c < 0(a>0) xx1 < x < x2空集空集5、一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a >0,b2-4ac A0)的实根分布比较标准,兀一次方程2,八ax + bx + c = 0(a>0

29、)的实根x1, x2的分布充要条件二次函数y = ax2 + bx + c(a >0)的图象方程两根与实数K比较x1 < x2 < K >0-B<K 2af(K) >0K <x1 <x2 > 0 b>K2a f(K) >0xi <K <x2f(K) <0方程两根与 区间(Ki,K2) 比较Ki <xi 3 <K2A >0 bKi <-<K22af (Ki)>0f(K2)>0xi < Ki < K2 < x2f (Ki) <0f (K2) <

30、0xiWiK) 或x2 w(Ki,K2)f (Ki) f(K2) <06、函数的零点与二分法(1)函数零点的定义如果y = f (x)在实数a处的值等于零，即 f (a) = 0 ,则a叫做这个函数的零点。一般地，函数 y = f (x)的零点就是方程 f(x)=0的实数根，也就是函数 y=f(x)的 图象与x轴的交点的横坐标。所以，方程f(x)=0有实数根 二函数y= f(x)的图象与x轴 有交点u函数y = f (x)有零点。注意：并不是每个函数都有零点(2)函数零点的判断(零点存在性定理)如果函数y= f(x)在区间a,b上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)

31、f(b) <0 ,则这个函数在区间(a,b)上至少有一个零点，即存在一点x0 w (a,b) 使得f(x0)=0,这样的零点叫做变号零点，有时曲线通过零点时不变号，这样的零点叫做 不变号零点。(3)二分法的概念对于区间a,b上连续且满足f (a)f(b)父0的函数y = f (x)通过不断地把函数 y = f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近 似值的方法叫做二分法。(4)用二分法求函数零点近似值的一般步骤(略)grassroots ca-es as, caos , " O"d* bg , ad s .Th “ob - sae

32、 14课上练习1 .求下列函数的定义域：-2x 15 y = q_(Jxzl)2y x 3 一3X 12 .设函数f(x)的定义域为0, 1,则函数f(x2)的定义域为3 .若函数f(x+1)的定义域为2，3,则函数f(2x1)的定义域是 ,若 f(x)=3,贝U x=x 2(x <_1)4 .函数f /、2 2/ d 明f (x) = x ( 1 ：:x ：:2)2x(x _2)5 .求下列函数的值域： y =x2 2x-3 (x 三 R) y =x2 -2x -3 x 三1,2grssoots -rs a s caos a. thi cklred. eaing , ad s . n. T he. ,rob-s ae 16(4)y = . _x2 4x 56 .已知函数f (x -1)=x2 -4x ,求函数f(x , f (2x+1)的解析式7 .已知函数f (x)满足2f(x1 +f (应 344,则f (x) =8 .设f(x)是R上的奇函数，且当x W0,书c)时,f (x) =x(1 +<x)，则当x乏(-,0)时f (x) =f(x)在R上的解析式为9 .求下列函数的单调区间： y