612勾股定理及复习导学案

1、6. 勾股定理(1)学习目标：1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2. 培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3. 介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。 重点：勾股定理的内容及证明。难点：勾股定理的证明。学习过程：一?预习新知(阅读教材第9至11页，并完成预习内容。)1正方形A、B、C的面积有什么数量关系？之间2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积 有什么关系？归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。(1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢?(2) 组织学生小组学习，在方

2、格纸上画岀一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。(3) 通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？(4) 对于更一般的情形将如何验证呢一 ？pn * * ri .课堂展乔方法 如图，让学生剪 4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明S正方形=方法.已知：在 AABC 中，ZC=90 , ZA、ZB、ZC 的对边为 a、b、c。求证：a2+b2=c2o的面积相等。a分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形左边S= 右边S= 左边和右边面积相等，即化简可得方法三：ab. 2以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角

3、三角形，则每个直角三角形的面积等于丄 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.；? RtAEAD 9 RtACBE,CA b E a B? ZADE = ZBEC.? ZAED + ZADE = 90 °? ZAED + ZBEC = 90 °.? ZDEC= 180 -90 =90 °. ? ADEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于非又？ ？ ZDAE = 90° , ZEBC = 90? ? AD BC.? ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 _归纳：勾股定理的具体内容是1. 如图，直角 AABC的主要性质是：ZC=90

4、° ,（用几何语言表示）两锐角之间的关系： ；若ZB=30 ,则ZB的对边和斜边： C（3）三边之间的关系： 2. 完成书上P11练习四. 课堂检测1. 在RtAABC 中，ZC=90° 若a=5, b=12,贝 0 c= ； 若a=15, c=25,则 b= ； 若c=61, b=60,则 a= ； 若 a : b 3 : 4, c=io 贝0 Sriaabc = 2.已知在RtAABC 中,ZB=90° , a、b、c 是 ZXABC 的三边，贝 U(1)c=o (已矢 n a> b,求c)(2)a=o （已矢口 b、c,求a)(3)b=o （已矢口 a

5、、c,求b)3. 直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为 4. 已知一个Rt的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7 或 255. 等腰三角形底边上的高为8,周长为32，则三角形的面积为（）A、56B、48C、40D、32五. 小结与反思六?教学反思7. 勾股定理（2）学习目标：1. 会用勾股定理解决简单的实际问题。2. 树立数形结合的思想。3. 经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。4. 培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学问题的转化。一?预习新知（阅读教材第66

6、至67页，并完成预习内容。）1. 在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？直角三角形中哪条边最长？2. 在长方形ABCD中，宽AB为 如,长BC为2力，求AC长.问题（1 ）在长方形 ABCD中 AB、BC AC大小关系？（2）一个门框的尺寸如图 1所示. 若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ 若薄木板长3米，宽1.5米呢？ 若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？二?课堂展示例：如图2,个3米长的梯子斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米. 求梯子的底端 B距墙角O多少米？ 如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）图2

7、1. 书上P16习题1、22. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了 500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。3. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4的米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是 来.四？课堂检测1. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是2. 如图，原计划从 A地必C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工 程费用是多少？3. 如图，欲测量松花江的宽

8、度，沿江岸取B、C两点，在江对 岸取一点A,使AC垂直江岸，测得 BC=50米，ZB=60° ,则江面的宽度为 -4. 有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。5. 一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且 RPXPQ,则RQ= 厘米。6. 如图3,分别以Rt AABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用込、 S3表示，容易得岀 S、S2. S3之间有的关系式 五.小结 六?教学反思8. 勾股定理 （3）学习目标：1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数。2、体会数与

9、形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。3、培养数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。 重点：利用勾股定理在数轴上表示无理数。难点：确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。一?预习新知（阅读教材第12 至 13 页，并完成预习内容。）1. 探究 : 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示価 的点吗？2. 分析：如果能画出长为 的线段，就能在数轴上画出表示尼的点。容易知道，长为厲的线段是两条直角边都为 的直角边的斜边。长为屁的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？利用勾股定理，可以发现，长为尼的线段是直角边为正整数 、

10、 的直角三角形的斜边。3. 作法：在数轴上找到点 A,使0A= ，作直线 / 垂直于 0A, 在 Z 上取点 B, 使 AB= 以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 即为表示的点。4. 在数轴上画出表示佰的点？（尺规作图）二?课堂展示例 1 已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12, 求第三边。例 2 已知：如图，等边 AABC 的边长是 6cm求等边ZXABC的高。求Saabco三.随堂练习1. 完成书上P13第1,2题2. 填空题(1) 在 RtZXABC, ZC=90, a=8, b=15,贝! J c=。在 RtAABC, ZB=90, a=3, b=4,贝U

11、c=。在 RtAABC, ZC=90, c=10, a : b=3 : 4厕 a= , b= 。(4)已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,则第三边长为 3. 已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形面积。四？课堂检测1. 已知直角三角形中30。角所对的直角边长是2侖cm,则另一条直角边的长是（）A. 4cmB. 4-V3 cmC. 6cmD. 6A3 cm2. ZsABC 中，AB=15, AC=13,高 AD=12贝U AABC 的周长为()A.42B. 32C. 42 或 32D. 37 或 337分米.如果梯子的D. 8分米AC3. 一架25分米长的梯子，斜立在一

12、竖直的墙上，这时梯足距离墙底端顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（）A. 9分米B. 15分米C. 5分米4. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.5. 等腰/XABC的腰长AB=10cm,底BC为16cm,则底边上的高为,面积为 ?6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为已知：如图，四边形 ABCD中，AD/7BC, AD 丄DC,ABXAC, ZB=60 ° , CD=lcm,求 BC 的长。五.小结六. 教学反思9勾股定理的逆定理(1)学习目标1. 体会勾

13、股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2. 探究勾股定理的逆定理的证明方法。3. 理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。难点：勾股定理的逆定理的证明。一.预习新知(阅读教材P14 15 ,完成课前预习)1. 三边长度分别为 3 cm、4 cm、5 cm的三角形与以 3 cm> 4 cm为直角边的直角三角形之间 有什么关系？你是怎样得到的？2. 你能证明以6cm、8cm、10cm为三边长的三角形是直角三角形吗？2 23. 如图1&2-2,若AABC的三边长a、b、C满足/ +b = c ,试证明KABC是直角二图 18.2-2角形，请

14、简要地写岀证明过程4. 此定理与勾股定理之间有怎样的关系?(1)什么叫互为逆命题(2) 什么叫互为逆定理未必都有任何一个命题都有 ，但任何一个定理5. 说岀下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？(1)两直线平行，内错角相等；如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等二角形的对应角相等；角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。课堂展示 例1 ：判断由线段“、c组成的三角形是不是直角三角形: pH1. 完成书上P16练习1、222. 如果三条线段长a,b,c满足0$ =c2-b，这三条线段组成的二角形是不是直角三角形 为什么？3. A,B ,C三地的两两距离如图所不,A地在B地的

15、正东方、 n向，C地在B地的什么方向？5kmB12kmA4. 思考：我们知道 3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（ k是正整数）也是一组勾股数吗？ 一般地，如果 a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck （ k是正整数）也是一组勾股数吗？四？课堂检测1. 若 ZABC 的三边 a, b, c 满足条件 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判定 ZiABC 的形状.2. 根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？3. 已知：如图，在 AABC中，CD是AB边上的高，且 CD2=AD - BD,求证：AABC 是直角三角 形

16、。五.小结 六?教学反思10. 勾股定理逆定理(2)学习目标：1. 进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围2. 培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。3. 在不同条件、不同环境中反复运用定理，达到熟练使用，灵活运用的程度。4. 培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。重点：勾股定理的逆定理难点：勾股定理的逆定理的应用一 ？预习新知已知：如图，四边形 ABCD, AD/7BC, AB=4, BC=6, CD=5, AD=3 。 AD求：四边形ABCD的面积。、归纳：求

17、不规则图形的面积时，要把不规则图形.课堂展示例1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?P18.2-3例2.如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米,DA=12米，又已知 ZB=90三.随堂练习1. 完成书上P16习题第3题2. 个三角形三边之比为3： 4 : 5,则这个三角形三边上的高

18、值比为 A 3:4:5B 5:4:3C 20:15:12D 10:8:23. 如果 ABC 的三边 a,b,c 满足关系式 |a + 2b 18| + (b-18) 2+|c-30|=0 贝U ZABC 是三角形四？课堂检测1.若厶ABC 的三边 a、b、c,满足(a-b) (a2+b2-c2) =0,则厶 ABC 是()A.等腰三角形；B.直角三角形；C.等腰三角形或直角三角形；D.等腰直角三角形。2.若厶ABC的三边a、b、c,满足a： b： c=l:1： JI,试判断ZABC的形状3133. 已知：如图，四边形 ABCD, AB=1, BC=- , CD= , AD=3,且AB丄BCo求

19、：四边形ABCD的面积4. 小强在操场上向东走 80m后，又走了 60m,再走100m回到原地。小强在 操场上向东走了 80m 后,又走 60m 的方向是 。5. 根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比 较 长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。6. 已知 ABC的三边为 a、b、c,且a+b=4, ab=l, c=,试判定 ABC的形状。7. 如图，在正万形 A B C D中，F为DC的中点，E为BC上一点且 E C=- B C,求证.ZE F A=90 .五?小结六.教学反思11. 勾股定理复习(1)学习目标1?理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两

20、边，会运用勾股定理求第三边2. 勾股定理的应用.3. 会运用勾股定理的逆定理，判断直角二角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理 .难点：理解勾股定理及其逆定理的应用一.复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用.其知识结构如下：ff角：I -勾股定理的逆定理7-定理的应争1?勾股定理：直角三角形两直角边的和等于_ 的平方.就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别另 a b,斜边亦c,朮么一定有： 这就是勾股定理.(2)勾股定理揭示了直角三角形一之间的

21、数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据.a2 =2 2 2c b ,b = c a ,c = y/a +b a = Vc2 b ,b = y/c a勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法通过构造几何图形，并计算图形面积得岀一个等式，从而得岀或验证勾股定理.2. 勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为一”这一命题是勾股定理的逆定理？它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边 a, b；c(a2+b2=c2),先构 造一个直角边为a, b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通

22、过“SSS证明两 个三角形全等，证明定理成立.3. 勾股定理的作用：(1) 已知直角二角形的两边，求第二边；(2) 在数轴上作岀表示侖 (n为正整数)的点.勾股定理的逆定理是用来判定一个二角形是否是直角二角形的.勾股定理的逆定理也可 用来证明两直线是否垂直，勾股定理是直角二角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想.三角形的三边分别为 a、b、c,其中c为最大边，若 a2 +b2 = c 2 ,则三角形是直角三 角形；若

23、？ 2 +b2 >c2 ,则三角形是锐角三角形；若a2 +b2 <c2,则三角形是钝角三角形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边.二.课堂展示例1 :如果一个直角二角形的两条边长分别是6cm和8cm,那么这个二角形的周长和面积分另惺多少？例 2:如图，在四边形 ABCD 中，ZC=90 , AB=13, BC=4,ADF 趴求 iih AD LBD.ztiB三？随堂练习1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）11111A. 7, 24, 25 B. 3- , 4- , 5- C. 3, 4, 5 D. 4, 7- , 8222222.

24、 如果把直角二角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍643.三个正方形的面积如图1,正方形A的面积为（)/A. 6B. 36C. 64D.8 /A4.直角三角形的两直角边分别为5cm,12cm,其中斜边上的高为（)<100 /A. 6cmB. 8. 5cm C.cmD.cm图 11313995. 在 AABC中，二条边的长分别为a, b, c, a=fz 1, b=2n, c= +1 （n > 1,且“为整数）这个二角形是直角二角形吗？若是，哪个角是直角四？课堂检测8cm,另一只朝左挖，每分钟挖6cm,1. 两只小嚴鼠

25、在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖10分钟之后两只小嚴鼠相距（）2.A. 50cmB. 100cmC. 140cmD. 80cm小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多lm,当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 14cm3. 在 AABC中，ZC=90°，若 a = 5,0=12,贝! <?=4. 等腰AABC的面积为12cm2,底上的高AD = 3cm,则它的周长为 5. 等边AABC勺高为3cm,以AB为边的正方形面积为 .6. 一个二角形的二边的比为5 : 12 : 13,它的周长为60c

26、m,则它的面积是 7. 有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高岀1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺.求竹竿高与门高.8. 如图3,台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m,你能求岀旗杆在离底部什么位置断裂的吗？五?小结六?教学反思12. 勾股定理复习(2)学习目标1?掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题.2. 经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理3. 熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培养良好

27、的学习态度.重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用难点：应用勾股定理以及逆定理 考点一、已知两边求第三边1. 在直角二角形中，若两直角边的长分别为lcm, 2cm ,则斜边长为 2. 已知直角二角形的两边长为3、2,则另一条边长是 .3. 在数轴上作岀表 TFVH）的点.4. 已知，如图在 A ABC中，AB=BC=CA=2cm, AD 是边BC上的高.求AD的长；A ABC的面积.考点二、利用列方程求线段的长1. 如图，铁路上 A, B两点相距 25km, C, D为两村庄，DAXAB 于A, CB丄AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站E,使得C

28、, D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？。人2. 如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离 为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校 A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离.考点三、判别一个三角形是否是直角三角形131. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2） 5、 12、（3）8、 15、1（4） 4、 5、 6,其中能够成直角三角形的有 考点四、灵活变通1. 在Rt AABC中，a, b, c分别是三条边，ZB=90° ,已知 沪6, b二10,则边长c二2.直角三角形中，以直角边

29、为边长的两个正方形的面积为7cm2, 8cm2,则以斜边为边长的正方形的面积为 cm.3. 如图一个圆柱，底圆周长 6cm,高4cm,只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A点爬到B点，则最少要爬行cm4. 如图：带阴影部分的半圆的面积是5取3）/B5.都是3,高是8的长方体纸箱的 A点沿纸箱 爬到B点，那么它所爬彳丁的最短路线的长是只蚂蚁从长、宽/I /rLf6. 若一个三角形的周长 12cm,边长为3cm,其他两边之差为这个三角形是 ?7.高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米考点五、能力提升1. 已知：如图，ZXABC中，AB>AC, AD 是BC边上的高.cm,则如图：在一个iJ I求证：AB 2-AC 2=BC (BD-DC).2. 如图，四边形 ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，ACE丄