(巩继强)等差等比数列性质的应用

1、等差数列、等比数列的性质及应用一、 填空题1在等差数列a中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于= 2已知数列的通项，则其前项和 3首项为24的等差数列，从第10项开始为正，则公差的取值范围是 4在等比数列中， 和 是二次方程 的两个根，则的值为 5等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n= 6等差数列an的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_ 7已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，= 8已知数列对于任意，有，若，则9记数列所有项的和为，第二项及以后各项的和为，第三项及以后各项的和为 ，第项及以后各项的和为，若 ， ，则等于

2、 10等差数列共有项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_11等差数列中，若且，则的值为 12设为等差数列的前项和已知,则等于 13已知函数定义在正整数集上，且对于任意的正整数，都有，且，则_14三个数成等比数列，且，则的取值范围是 二、解答题：15已知数列满足（1）求；（2）证明：16数列的前项和记为（）求的通项公式；（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求 17已知等比数列的前项和为，且（1）求,的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和18数列是首项为1000，公比为的等比数列，数列满足 ，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和19数

3、列中，且满足()求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20已知数列和满足：，（），且是以为公比的等比数列（I）证明：；（II）若，证明：数列是等比数列；（III）求和：等差数列、等比数列的性质及应用(答案)一、填空题1在等差数列a中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于= 42 2已知数列的通项，则其前项和 33首项为24的等差数列，从第10项开始为正，则公差的取值范围是4在等比数列中， 和 是二次方程 的两个根，则的值为 变1：已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则 1/2 变2：如果-1，a, b,c,-

4、9成等比数列，那么b= -3 解析：由等比数列的性质可得ac（1）×（9）9，b×b9且b与奇数项的符号相同，故b3点评及反思：求等比中项时，要看清条件，从而正确确定等比中项的符号 5等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n= 10 6等差数列an的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_210_ 7已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，= 8.5 解法一：点拨 利用等差数列的求和公式及等差数列的性质“若，则”解析：=解法2： 点拨 利用“若 为等差数列，那么”这个结论，根据条件 找出和的通项解析：可设，则， ，则=

5、点评：两种解法想比较，显然解法一比较快捷，但适用范围则不如解法二.变1：已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则 41/6 变2：已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是 5个 解：由上面的解法2可知=，显然只需使为正整数即可，故，共5个点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用反思：解法二中，若是填空题，比例常数k可以直接设为18已知数列对于任意，有，若，则49记数列所有项的和为，第二项及以后各项的和为，第三项及以后各项的和为 ，第项及以后各项的和为，若 ， ，则等于 21-n 解： 10等差数列共有项，其中奇数项之和为319

6、，偶数项之和为290，则其中间项为_29_.解:依题意,中间项为,于是有 解得. 11等差数列中，若且，则的值为 10 .解：由题设得，而，又， 12设为等差数列的前项和已知,则等于 324 . 解：， ， 13已知函数定义在正整数集上，且对于任意的正整数，都有，且，则_4010_解：由知函数当从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，形成一个首项为2，公差为4的等差数列， 14三个数成等比数列，且，则b的取值范围是 解：设，则有当时，而，；当时，即，而，则，故 二、 解答题：15已知数列满足（1）求；（2）证明：.解：（1）（2）证明：由已知，故, 所以证得16数列的前项和记为（

7、）求的通项公式；（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求点拨：本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力解：（）由可得，两式相减得：，又 故是首项为1，公比为3得等比数列 （）设的公比为，由得，可得，可得故可设，又，由题意可得，解得等差数列的各项为正， 点评：证明一个数列是等差数列或等比数列的几种方法要熟练掌握，在求通项时往往该数列自身就是一个等差或等比数列，或者以该数列为基础构建的新数列为等差或等比数列，要有向此方向转化的意识.变题：已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且对任意的都成立，数列是等差数列求数列与的通项公式；是否存在，使得，请说明理由点

8、拨：（1）左边相当是数列前n项和的形式，可以联想到已知求的方法，当时， （2）把看作一个函数，利用函数的思想方法来研究的取值情况（1）已知N*) 时，N*) -得，求得，在中令，可得得，所以N*) 由题意，所以，数列的公差为,，N*) （2），当时，单调递增，且，所以时， 又，所以，不存在N*，使得点评：数列实际上就是一种特殊的函数，结合具体的情况要有用函数思想处理问题的意识反思：在证明与数列相关的一些不等式的时候，往往会利用函数的单调性来研究17已知等比数列的前项和为，且（1）求、的值及数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.解：（1）时，.而为等比数列，得，又，得，从而.又.（2）， )

9、 ,得，.18数列是首项为1000，公比为的等比数列，数列满足 ，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和解：（1）由题意：，数列是首项为3，公差为的等差数列，由，得，数列的前项和的最大值为（2）由（1）当时，当时，当时，当时， 19数列中，且满足,.求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）由题意，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若，时，故 （3）,若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7即存在最大整数使对任意，均有点评：本题考查数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的知识的综合运用.变题：若条件变为“已知数列的前项和”，求解以上问题.点评：利用前项和与通项的关系求通项公式时，要注意分和两种情况.20已知数列和满足：，（），且是以为公比的等比数列（I）证明：；（II）若，证明：数列是等比数列；（III）求和：点拨：本题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力解法1：（I）证：由，有， （II）证：，是首项为5，以为公比的等比数列（III）由（II）得，于是当时，当时，故解法2：（I）同解法1（I）（II）证： ，又，是首项为5，以为公比的等比数列（III）由（II）的类似方法得，下同解法1