求数列通项公式的十种方法(2)

1、、迭代法、对数变总述：求数列通项的方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法)换法、倒数变换法、累加法适用于：an 1 = an f(n)转换成an：-an = f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项an.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；.； . 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例1已知数列aj满足an+ =an +2n +1, a1 =1 ,求数歹U an的通项公式。解：由 an书=an +2n

2、+1 得 an+ -an =2n +1 贝U例2已知数歹Ian满足an#=an+2>3n+1, a1=3,求数列an的通项公式。 l解；由 an噂=an +2父3n +1 得 an书an =2 父3n +1 则an =(an -an)(an-an) W (a3 -a2) (a? -a1) a1=(2 3n11) (2 3n'1)(2321) (2 311) 3二2(3n13n° III 3231)(n -1)33(1 -3n、)=2 () (n -1) 31 -3=3n -3 n -1 3=3n n -1练习1 .已知数列GJ的首项为1,且an4=an+2n(n三N)写

3、出数列Ian)的通项公式.答案：2)n -n . 11, 八、a"an-(n -2)练习2.已知数列an满足a1=3,n(n-1),求此数列的通项公式.答案：裂a =2a n 2项求和n二、累乘法1 .适用于：an+ = f (n)an这是广义的等比数列2 .若± = f(n),则也=f曳=f(2)川川,anaia2手f(n)两边分别相乘得，亘=4aif(k)例4例4.已知数列配满足a1，求 an。解：由条件知亘土 =,分别令n =1,2,3,“n1),代入上式得(n-1)个等式累乘之，即an23n.公式法：已知Sn(即ai+a2+IM+ an = f (n)求 an ,用

4、作差法：an,(n = 1)一 Sn,g2)°例2.已知数列的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n,n21.求数列 以的通项公式。 解：由 a1 = S1 =2a1 1= a1 =1当 n 至 2 时 有 an =Sn "n=2(an - an)+ 2 父(一1)” ,n 2anj_2an_2 +2x(-1) , a2 = 2al -2.经验证a1点评:利用公式an=1也满足上式，所以an =22修+(-1)n3S n=1.=产求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时E Snn>2 一定要合并.练一练：已知an的前n项和满足log2(Sn+1) = n+1 ,求a

5、n ;5数列an酒足 a =4, Sn +Sn书=-an + ,求 an ；3四、待定系数法适用于an 1 =qan f (n)基本思路是转化为等差数列或等比数列， 而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一 个函数。1,形如 an* =can +d,(c =0,其中 a1 =a)型(1)若c=1时，数列 an为等差数列；(2)若d=0时,数列an为等比数列；（3）若c#1且d #0时，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设an.1 一 =c（an D,得如书=can +9-1也与题设an+ =can +d,比较系数得d, (c 0)an(c-1丛=

6、d,所以c-1所以有：因此数列en+a构成以a1+三为首项,以c为公比的等比数歹I,仅供个人学习参考d / d 、 n/ d n dan(ai ') C ,an =(ai ) C所以 c 1c 1 即：c1 C 1.T -JI |z m 'id / d 、, an H , c(an)规律：将递推关系an+=can d化为 c-1c-1 ,构造成公比为c的等比数列andc-1从而求得通项公式an 1d nJ- 一cd(a1c-1)逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系an/=can +d中把n换成n-1有an =can+d 两式相减有an书an =c（an -an）从而化为公比

7、为 c的等比数列an书_an，进而求得通项公 式.an+-an =cn（a2 -a1）,再利用类型（1）即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列an中，a1 =1,an =2an工+1（n ±2）,求数列劣的通项公式。解法一：Van =2an4 1(n -2), . an 1=2(an4 1)1 n 1an =(二)12又；a| +1 =2,J. an +1)是首项为2,公比为2的等比数列an+1 =2n ,即an =2n Tc 11a1 = 2, an .1 = an '一，练习.已知数列an中，22求通项an2.形如：anp 'an +qn（其中q是

8、常数，且n=0,1）_. n若p=1时，即：anlan q ,累加即可.n若P"时，即：an小p，an+q ,n -1an 1 ann-；1 - n即：p q求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以p .目的是把所求数列构造成等差数列1 ,P、nan1 ,P、n1,累加求通项.,一 () bn = bn 1 - bn = ()P 4 ，令 P ，则P q ，然后类型an d P an 1n 1n 1 -nii.两边同除以q .目的是把所求数列构造成等差数列。即：q q q q,anp1bnnbn 1bn 7 一令 q，则可化为qq .然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：目的是把

9、所求数列构造成等差数列I"JI yn 1n设an书九'q =p（an九'P ）.通过比较系数，求出九，转化为等比数列求通项注意：应用待定系数法时，要求 p#q,否则待定系数法会失效。例7已知数列an满足an¥ =2an +4 3n，a1 =1 ,求数列an的通项公式。 «I"-解法一（待定系数法）：设前十-3与一式第十九才二乙比较系数得%="4,%"2n 11 J则数列an 3是首项为a1 一4 3 二一5 ,公比为2的等比数列,n_' n J'n 1'ndan 1 _ 2 an 4 43n由-

10、 3 3n 32 ,下面解法略所以 an-43=一52，即 an =4 3 一5'2n 1n 1解法二（两边同除以q ）:两边同时除以3得n 11解法三（两边同除以p ）:两边同时除以2 得an 1 _ _a_n_4 (_3)n2" - 2n 3 '(2),下面解法略练习.（ 2003天津理）设a0为常数，n 1且 an=3-2an_,(n-N).证明对任意 n>1,an3n (-1)n4 2n (-1)n 2nao 53,形如an + =Pan +kn+b（其中k,b是常数，且k#0）方法1：逐项相减法（阶差法）方法2:待定系数法通过凑配可转化为（an Xn

11、y） = P（anX（n -1） y） ；解题基本步骤：1、确定f（n）=kn+b2、设等比数列bn =（an+xn + y） ,公比为p3、列出关系式（an +Xn+y） = P（an- +X（n -1）+y）,gpbn =曲/4、比较系数求 X,y5、解得数列（an + xn + y） 的通项 公式6、解得数列an ）的通项公式例8在数歹U an中，a1 =1,an书=3为+2n,求通项an.（逐项相减法）解：:， an 由= 3an + 2n，n 之2 时，an = 3an+2（n 1）,lz'" 两式相减得an平一m =3（an an）* 2 .令bn =an由一 a

12、n ,则bn = 3bn+ 2，I- i,匚j ： 'J j j利用类型5的方法知bn =5-+ 2即% - an =5 了1一一 an 再由累加法可得5 3n-n212 .亦可联立解出an=5 3nj - n- 1例9.在数列 an中,3 ca1 = 一 ,2an - an=6n - 32,求通项an（待定系数法）解：原递推式可化为2(an xn y);an.x(n -1) - -y比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为2bn=bnVb1 = a1 - 6n + 9 =9是一个等比数列，首项2，公比为2 .9 / 1 n / bn -( )2 2 即：1 nan - 6n 9=9

13、2-1 n . 一an = 9 ()6n - 9故 22.4.形如 an + =Pan a" b" C（其中 a,b,c 是常数，且 a=0）基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数例10已知数列an满足an+=2an+3n2+4n+5, a1 =1 ,求数列an的通项公式。解： 设 an$ +x(n +1)2 + y(n +1) + z =2(an +xn2 + yn +z)比较系数得x=3,y =10,z=18 ,所以 an 1 - 3(n 1)2 - 10(n 1) 18 =2(an 3n2 10n 18)由 a1 +3x12 +

14、10 x1 +18 =1 +31 =32#0 ,得 an +3n2 +10n +18 #02贝U a1(n-2(n-)=2 ,故数歹U an +3n2 +10n+18为以 a1 +3父12 +10x1 + 18=1+31 = 32an 3n2 10n 18为首项，以2为公比的等比数列，因止匕an+3n2+10n+18 = 32父22，则an = 2卅3n2-10n-18。5.形如an = pan.+qan时将an作为f(n)求解1"j|jTI | /,' -y.Z /分析：原递推式 可化为an拒十九an书=(p十九)(an书十九an)的形式，比较系数 可求得九，数列an书十九

15、an 为等比数列。«I-例11已知数列an满足an也=5an书-6an，a1 = -1，a2 =2 ,求数列an的通项公式。 I解：设an七+闻书=(5+九)(an书+电)比较系数得九=-3或九=-2,不妨取儿=-2,(取-3结果 形式可能不同，但本质相同)则an±-2an4=3(an书-2an),则an书-2an是首项为4,公比为3的 等比数列痔、k ,二工in 1n 1n , an 书2an =4 3 所以 an =4 3-5 2练习.数列纵中，若a1 =8色=2,且满足anL4an由"an =0,求an答案：an = 11 一 3n ._ r四、迭代法an由

16、"pan (其中p,r为常数)型3(n 1)2 n例12已知数列an满足an+ 一 an ，a1 -5 ,求数歹【an的通项公式。_3(n 1)2n解：因为4+二4,所以n(n 1) 3nXn!2 2 又a1 一 5 ,所以数列an的通项公式为an 一5。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。例13. (2005江西卷)1已知数列an的各项都是正数，且满足：a0 M,an/MQanG-ajnw N ,(1)证明an <an斗<2,n匚N ; (2)求数列an的通项公式an.1,、1 r , 2,an 1 =-an(4 -an) = -(an -2)422

17、22解：(1)略(2)22所以2(af-2) -(an-2)121122令bn = an -2,则 bn = -二 bn 1 = - 二(一二 bn 2 ) 2一22 一11 22211 2 .292n-(-)bn 1 = = -(-)bn2 2-2又 bn= 1,所以1 on，即 an=2g=2 i- -'_ 12ncn方法2:本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3:设cn = -bn,则c 2，转化为I I上面类型(1)来解7/ / / ! ; / /r五、对数变换法适用于an* pan(其中p,r为常数)型p>0, an>0例14.设正项数列 配)满足为=

18、1 , an=2a" (n>2).求数列Ian，的通项公式.解：两边取对数得：10g2n " 210£log2n+1 = 2(loga+ 1)设bn = 0gan2 1 ,则=2bn_iLn)是以2为公比的等比数歹I,blq log； 1=1 bn =1M2n/=2n/logan + 1 =On -1an2 log 2=2n/1练习数列(an )中，a1=1, an=2an4(n>2),求数列(an)的通项公式.2_22-_n答案：an =2a1 = 7 ,求数歹U an的通项公式。例15已知数列a。满足an.=2M3nMa5, 解：因为 an* =2父3” Ma；, a=7,所以 anA0, an+ >0两边取常用对数得lg an 1 =5lg annlg3 1g 2(同类型四)设1gan1x(n1) y =5(lgan xn y) 比较系数得，*=/，丫=丝一监4164, ig3 ig3 ig 2 ig3 ig3 ig 2 /日 ig3 ig3 ig 2由 iga1 + X1 += ig7 +"x1 +"+"#0 ,得 ig an n+ +"#0 ,416441644164所以数列ig an +1g3n+1g3+旦2是以ig7 4164.Ig3,ig3,ig2igan3n幽叱=(ig7