武汉科技大学数值分析试题与答案

1、试题2009 年 2010 年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级:20XX级(研究生)考生学号：考生姓名：试卷类型：A卷，B卷口考试方式：开卷，闭卷口 一.填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)1 .设有节点Xo,Xi,X2,其对应的函数y=f(x)的值分别为y°,yi,y2,则二次拉 格朗日插值基函数1例为。2 .设f(x)=x2,则f(x )关于节点Xo =0,Xi =1,X2 =3的二阶向前差分为。一1 -10-23 .设 A =厂1 1 一1 , x = 3 ,则间=,|冈1 =。"-1 1 J?J4 .n十1个节点的高斯求积公式的代数精确度为。2 .

2、简答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)1 .哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2 .什么是不动点迭代法？ X (x )满足什么条件才能保证不动点存在和不动点 迭代序列收敛于X (x )的不动点？3 .设n阶矩阵A具有n个特征值且满足 同:> |%以 |训闺编，请简单说明 求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。3 .求一个次数不高于3的多项式F3(x),满足下列插值条件：X123V2412y3并估计误差。(10分)1 14 .试用n =1,2,4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分I=，dx0（10分） 01 x5 .用Newton法求f（x） =x co

3、sx =0的近似解。（10分）6 .试用Doolittle分解法求解方程组：-2 5 4 1不-101413 -19 x2 |= 19（10 分）- -6 -3 -6x3 _ 30 _20x1 2x2 3x3 = 247 .请写出雅可比迭代法求解线性方程组 | Xi+8x2 + x3 = 12的迭代格式，并判2x1 -3x2 15x3 =30断其是否收敛？ （ 10分）8 .就初值问题（ y='y考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）.y（0） = y°数值分析（A）卷标准答案（2009 2010 1）1 . 填空题（每小题3分，共12分）1. l0 （x ）= （x -x1）

4、（x -x2） ; 2.7 ; 3. 3 , 8; 4. 2n+1 。（ x0 - X1 ）（x0 - x2）2 .简答题（本大题共 3小题，每小题8分，共24分）1.解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。（4分）对于对称正定阵A,从aii =£ ' lik可知对任意k < i有|lik H 向。即L的元素不会 km增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。（4分）*.*2 .解：（1）若乂=中（乂 ），则称X为函数邛（X）的不动点。（2分）（2）邛（X ）必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于中（X）的不动点：1）中（X ）是在其定义域内是连

5、续函数；（2分）2）5（X ）的值域是定义域的子集；（2分）3）中（X城其定义域内满足李普希兹条件。（2分）3 .解：参照哥法求解主特征值的流程（8分）步1:输入矩阵A,初始向量v0,误差限段最大迭代次数 N;步 2:置 k:=1,:=0 , u0=v0/|v0|0°；步 3:计算 vk=Auk-1;步4T算小|淀川并置 mk:=vkr, uk:=vk/mk;步5:若|mk- |< &计算，输出 mk,uk;否则，转6;步6:若k<N,置k:=k+1, :=mk,转3;否则输出计算失败信息，停止三.解：（1）利用插值法加待定系数法：设 P2（x）满足 p2（1）

6、= 2,p2（2） = 4,p2（3）=12Up2（X）= 3X27X + 6, （3 分）再设 P3（x）=P2（x）十 K（x1x2%x3） （3 分）K =2 （1 分）_ 3- 2P3 x）=2x -9x 15x-6（1分）（2分） R3（x）=4!f（4Mx-nx-2Hx-3）四.解：应用梯形公式得1I -I1=-j（0rf（1）（2分）（1分）应用辛普森公式得:：I211=f 0 4f 626_（2分）应用科特斯公式得:= 0.69444444（1分）1 r/1 ） r一 17f （0）+32f I- +12f 90 1 ' J V43）+32f +47f 1（2分）= 0

7、.75（2分）五.解：由零点定理,x -cosx = 0在（0,）内有根。2（2分）由牛顿迭代格式xn 1 - xnxn - cos xn1 sin xnn =。,1,（4分）= 0.6931746取x0 =三得, 4x1 =0.73936133; x2= 0.739085178（3分）x3 =0.739085133 x4 = 0.739085133* _ _ _ _ _ _ _ _故取 x % x4 =0.739085133 （1 分） 六.解：对系数矩阵做三角分解:一24-6 1一10 0u11u12u13-19=1211 0U22 U23（2分）-6 -31I321U33 15136 3

8、5一12-6 I-7-LU（4分）4 1 JL若 Ly =b,则 y1 =10,y2 = 1,y3 =4；（2分）若 Ux = y,则 x = （3,2,1）T。（2 分）7 .解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为 00.5-0.5B=-10-1（2 分）0.50.50_2其特征多项式为det（川B）=*u（九+1.25）,且特征值为兀=0,% =125i,% = >/T25i（2分）故有P（B ）=1.25 >1,因而雅可比迭代法不收敛。（1分）（2）对于方程组，Gauss-Seidel迭代法迭代矩阵为00.5-0.5B=0-0.5-0.5（2 分）00-0.5-其特征值为册=0, % = % = 0.5（2分）故有P（B ）=0.5<1 ,因而雅可比迭代法收敛。（1分）8 .证明题（本大题共 2小题，每小题7分，共14分）1.证：该问题的精确解为 y（x） = y0e% （2分）欧拉公式为yi书=yi + h九yi = （1 + K h） y （2分）对任意固定的 x = xi =ih ,有 y =y0（1 +九h）x/h =丫0（1 +。）1/油&q