2018年天津市和平区高考数学二模试卷(理科)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2018年天津市和平区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集UR，Ax|x1B.x|x2C.x|1x2D.x|1x2【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求出A与B的并集，根据全集UR，求出并集的补集即可【解答】 全集UR，Ax|x1，Bx|x2， ABx|x1或x2，则U(AB)x|1x2，2. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z2x+y1的最大值为（ ） A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】简单线性规划【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线z3x+

2、y的最大值即可【解答】作出变量x，y满足约束条件可行域如图，由z2x+y1知，y2x+z+1，所以动直线y2x+z+1的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值由得A(2,1)结合可行域可知当动直线经过点A(2,1)时，目标函数取得最大值z（2）3. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输出的S55，则判断框内可填入（ ）A.k6？B.k7？C.k8？D.k9？【答案】B【考点】程序框图【解析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出S55，确定跳出循环的k的值，从而得判断框的条件【解答】模拟程序的运行，可得k1，S1执行循环体，k2，S5不满足判断框内的条件，执行循环体，k3，S11

3、不满足判断框内的条件，执行循环体，k4，19不满足判断框内的条件，执行循环体，k5S29不满足判断框内的条件，执行循环体，k6，S41不满足判断框内的条件，执行循环体，k7，S55由题意，此时应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为55，可得判断框内的条件应该为k7？4. 设xR，则“x0”是“xsinx0”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】构造函数f(x)xsinx，求出函数的导数判断函数的单调性，结合函数充分条件和必要条件的定义判断即可【解答】设f(x)xsinx，则f(x)1cos

4、x0，则f(x)是增函数，当x0时，f(x)f(0)0sin00，此时xsinx成立，即“x0”是“xsinx0,b0)的左、右支分别交于B，C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若BOC4AOC，则双曲线的渐近线方程为（ ） A.yxB.yC.yD.y【答案】C【考点】圆锥曲线的综合问题【解析】先求出抛物线的准线方程，再代入双曲线的方程，可得B，C的坐标，再得到AOC30，根据斜率公式得到，再根据渐近线方程，即可得到结论【解答】抛物线x24by的准线为yb，代入双曲线1可得xa，即有B(a,b)，C(a,b)，由BOC4AOC，可得BOC2AOC，由BOC+AOC90，可得AOC30，t

5、anAOC，即有，则双曲线的渐近线方程为yx，即为yx，6. 已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P(x0,y0)处的切线方程为y(x02x02)x+(y0x03+x02+2x0)，那么函数f(x)的单调递减区间为（ ） A.(1,2)B.(2,1)C.(,1)D.(2,+)【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】由切线方程，可知任一点的导数为f(x)x2x2(x2)(x+1)，然后由f(x)0，可求单调递减区间【解答】因为函数f(x)，(xR)上任一点(x0,y0)的切线方程为y(x02x02)x+(y0x03+x02+2x0)，即函数在

6、任一点(x0,y0)的切线斜率为kx02x02，即知任一点的导数为f(x)x2x2(x2)(x+1)，由f(x)0，得1x0时，f(x)，则关于x的方程6f(x)2+f(x)1的实根的个数为（ ） A.6B.7C.8D.9【答案】B【考点】函数与方程的综合运用【解析】先设tf(x)，求出方程6f(x)2+f(x)10的解，利用函数的奇偶性作出函数在x0时的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】设tf(x)，则关于x的方程6f(x)2+f(x)10，等价6t2+t10，解得t或t，当x0时，f(0)0，此时不满足方程若1x2，则0x11，即f(x)f(x1)4(x1)24(x1)+1，若2x3，

7、则10时，f(x)的图象如图：当t时，f(x)对应4个交点 函数f(x)是奇函数， 当x0时，f(x)，此时函数图象对应3个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上. 设_是虚数单位，则复数的虚部为_ 【答案】i,2【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】 复数的虚部为(2) 在ABC中，AB=3，cosA=23，ABC的面积S=352，则BC边长为_ 【答案】6【考点】余弦定理正弦定理【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式可求AC的值，进而根据余弦定理可求B

8、C的值【解答】解： AB=3，cosA=23，ABC的面积S=352，可得：sinA=1cos2A=53， ABC的面积S=352=12ABACsinA=123AC53，解得：AC=3， 由余弦定理可得：BC=AB2+AC22ABACcosA=9+923323=6.故答案为：6. 在极坐标系中，直线_：(cos+sin)6，_为圆24cos3上的任意一点，设点_到直线_的距离为_，则_的最大值为_ 【答案】l,M,M,l,d,d,21【考点】圆的极坐标方程【解析】直线l:(cos+sin)6，化为：x+y6（0）由24cos3可得：x2+y24x3，配方为：(x2)2+y2（1）设M(2+co

9、s,sin)再利用点到直线的距离公式、三角函数的单调性即可得出【解答】直线l:(cos+sin)6，化为：x+y6（0）由24cos3可得：x2+y24x3，配方为：(x2)2+y2（1）设M(2+cos,sin)设点M到直线l的距离为d，则d2(1)当且仅当1时取等号 如图，已知正四面体_-_的棱长为6，则它的内切球的体积为_【答案】A,BCD,【考点】球的体积和表面积【解析】由正四面体的棱长，求出正四面体的高，设内接球半径为x，利用勾股定理求出x的值，可求内接球的体积【解答】设正四面体为PABC，内接和外接球的两球球心重合，设为O设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PAB

10、C的高，PD底面ABC，且POR，ODr，OD正四面体PABC内切球的高设正四面体PABC底面面积为S将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面每个正三棱锥体积V1Sr而正四面体PABC体积V2S(R+r)根据前面的分析，4V1V2，所以，4SrS(R+r)，所以，R3r，由题意，正四面体ABCD的棱长为6，带入以上推论：所以AD2，所以PD2，即内切球半径r内接球的体积V 已知_0，_+_3，则的最小值为_ 【答案】ab,a,b,【考点】基本不等式及其应用【解析】ab0，a+b3，可得a+2+b+1（6）代入(a+2)+(b+1)，

11、再利用基本不等式的性质即可得出【解答】 ab0，a+b3， a+2+b+1（6）则(a+2)+(b+1)a2+b2+2ab，当且仅当b(b+1)a(a+2)，a+b3，即，a时取等号 从0，1，2，3，4，5，6，7这八个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，则可组成的四位数中奇数的个数为_（用数学作答） 【答案】360【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分2种情况讨论：，选出的2个偶数中不含有0，选出的2个偶数中不含有0，利用分步计数原理分别求出每一种情况的四位奇数的个数，由加法原理计算可得答案【解答】根据题意，分2种情况讨论：，选出的2个偶数中不含有0，在2

12、、4、6中任选2个数，有C323种选法，在1、3、5、7中任选2个数字，有C426种选法，选出的2个奇数中任选1个，作为个位数字，有2种情况，将选出的3个数字全排列，安排在前3个数位，有A336种排法，则此时有3626216种取法，选出的2个偶数中含有0，在2、4、6中任选1个数，有C313种选法，在1、3、5、7中任选2个数字，有C426种选法，选出的2个奇数中任选1个，作为个位数字，有2种情况，0不能在首位，则0有2种安排方法，将剩下的2个数字全排列，安排在剩下的2个数位，有A222种排法，则此时有36222144种取法，则一共有216+144360种不同的情况，即可以组成360个四位奇数

13、；三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 已知函数f(x)sin(x)sinxsin（）cos（)()求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；()将函数yf(x)的图象向左平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，若g()，且（），求sin（）的值 【答案】函数f(x)sin(x)sinxsin（）cos（)化简f(x)cosxsinx(sincosxcossinx)(coscosx+sinsinx)sin2x(cosx)2sin2xcos2xsin2xsin2x(cos2x)sin2xcos2xsi

14、n(2x)（1）函数f(x)的最小正周期T；令2x，kZ得：xk 函数f(x)的单调递减区间为,，kZ（2）函数yf(x)的图象向左平移个单位，可得ysin(2x)；再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到ysin(x)，即g(x)sin(x)，可得g()sin()， （）， (,)则cos()，那么：sin（）sin()sin()coscos()sin【考点】三角函数的周期性正弦函数的单调性函数y=Asin（x+）的图象变换【解析】()利用诱导公式，二倍角、辅助角公式化简即可求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；()根据三角函数的平移变化规律求解g(x)，通过g()，且

15、（），利用三角恒等式公式化简即可求sin（）的值【解答】函数f(x)sin(x)sinxsin（）cos（)化简f(x)cosxsinx(sincosxcossinx)(coscosx+sinsinx)sin2x(cosx)2sin2xcos2xsin2xsin2x(cos2x)sin2xcos2xsin(2x)（1）函数f(x)的最小正周期T；令2x，kZ得：xk 函数f(x)的单调递减区间为,，kZ（2）函数yf(x)的图象向左平移个单位，可得ysin(2x)；再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到ysin(x)，即g(x)sin(x)，可得g()sin()， （），

16、(,)则cos()，那么：sin（）sin()sin()coscos()sin 甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为、甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为()设A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，

17、C为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，分别求出事件A、事件B、事件C发生的概率；()设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X，求X的分布列与数学期望 【答案】（1）甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为、甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的

18、概率为设A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，事件A发生的概率P(A)(1)，B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，事件B发生的概率P(B)，C为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，事件C发生的概率P(C)（2）设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，P(X0)P（），P(X1)P（），P(X2)P（），P(X3)P(ABC)， X的分布列为：X0123P数学期望E(X)(2)【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】()利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出结果()设甲、乙、

19、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E(X)【解答】（1）甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为、甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为设A为事件“甲的英语高考最终成绩

20、不低于130分”，事件A发生的概率P(A)(1)，B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，事件B发生的概率P(B)，C为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，事件C发生的概率P(C)（2）设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，P(X0)P（），P(X1)P（），P(X2)P（），P(X3)P(ABC)， X的分布列为：X0123P数学期望E(X)(2) 如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB2CD2，DAB60，M为AB的中点，CD1平面ABCD，且CD1()求证：C1M/平面A1ADD1；()求平

21、面C1D1M与平面A1D1M所成角的正弦值；()若N为CC1的中点，求直线D1M与平面A1D1N所成角的正弦值【答案】证明：()连接AD1， ABCDA1B1C1D1为四棱柱， CDC1D1，又M为AB的中点， AM1 CD/AM，CDAM， AMC1D1， AMC1D1为平行四边形， AD1/MC1，又MC1平面A1ADD1，AD1平面A1ADD1， C1M/平面A1ADD1；（2）作CPAB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，则C1(1,0,)，D1，(0,0,)，M(,0)，A1(,)， (1,0,0)，(,)，(,0)，设平面C1D1M的法向量(x1,

22、y1,z1)，则，取y2，得(0,2,1)设平面A1D1M的法向量(x,y,z)，则，取x，得(,1,0)，设平面C1D1M与平面A1D1M所成角为，则cos，sin 平面C1D1M与平面A1D1M所成角的正弦值为() N为CC1的中点， N(,0,)，(,)，(,0)，(,0,)，设平面A1D1N的法向量(a,b,c)，则，取a，得(,1,1)，设直线D1M与平面A1D1N所成角为，则sin 直线D1M与平面A1D1N所成角的正弦值为【考点】直线与平面平行直线与平面所成的角二面角的平面角及求法【解析】()连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M/平面A1

23、ADD1；()作CPAB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，利用向量法能求出平面C1D1M与平面A1D1M所成角的正弦值()求出(,)和平面A1D1N的法向量，利用向量法能求出直线D1M与平面A1D1N所成角的正弦值【解答】证明：()连接AD1， ABCDA1B1C1D1为四棱柱， CDC1D1，又M为AB的中点， AM1 CD/AM，CDAM， AMC1D1， AMC1D1为平行四边形， AD1/MC1，又MC1平面A1ADD1，AD1平面A1ADD1， C1M/平面A1ADD1；（2）作CPAB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间

24、坐标系，则C1(1,0,)，D1，(0,0,)，M(,0)，A1(,)， (1,0,0)，(,)，(,0)，设平面C1D1M的法向量(x1,y1,z1)，则，取y2，得(0,2,1)设平面A1D1M的法向量(x,y,z)，则，取x，得(,1,0)，设平面C1D1M与平面A1D1M所成角为，则cos，sin 平面C1D1M与平面A1D1M所成角的正弦值为() N为CC1的中点， N(,0,)，(,)，(,0)，(,0,)，设平面A1D1N的法向量(a,b,c)，则，取a，得(,1,1)，设直线D1M与平面A1D1N所成角为，则sin 直线D1M与平面A1D1N所成角的正弦值为 已知数列an满足条

25、件a11，a23，且an+2(1)n(an1)+2an+1，nN*()求数列an的通项公式；()设bn，Sn为数列bn的前n项和，求证：Sn 【答案】（1）根据题意，数列an满足an+2(1)n(an1)+2an+1，nN*当n为奇数时，an+2(an1)+2an+1an+2，又由a11，则ann，当n为偶数时，an+2(an1)+2an+13an，又由a23，则an（）n，则an，（2）证明：设bn，则bn；则Sn，则有Sn，-可得：Sn2（），变形可得：Sn1，若证明Sn则需要证明1，即证明3n2n+1，(n1)即证明3n2n1，显然成立；故有Sn【考点】数列的求和数列递推式【解析】()根

26、据题意，由数列的递推公式，分n为奇数、n为偶数2种情况讨论，分析an+2与an的关系，综合即可得答案；()根据题意，由()的结论，分析可得bn，利用错位相减法分析可得Sn1，据此用分析法证明Sn即可得结论【解答】（1）根据题意，数列an满足an+2(1)n(an1)+2an+1，nN*当n为奇数时，an+2(an1)+2an+1an+2，又由a11，则ann，当n为偶数时，an+2(an1)+2an+13an，又由a23，则an（）n，则an，（2）证明：设bn，则bn；则Sn，则有Sn，-可得：Sn2（），变形可得：Sn1，若证明Sn则需要证明1，即证明3n2n+1，(n1)即证明3n2n1

27、，显然成立；故有Sn 已知椭圆1(ab0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为，过椭圆的右焦点的动直线l与椭圆交于A、B两点(I)求椭圆的方程；()若线段AB的垂直平分线与x轴相交于点D，与直线l交于N，当时，求直线l的斜率的取值范围；()在椭圆上是否存在定点M，使得对任意斜率等于且与椭圆交于P、Q两点的直线（P、Q两点均不在x轴上），都满足kPM+kQM0（其中kPM为直线PM的斜率，kQM为直线QM的斜率）？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（I）椭圆1(ab0)的离心率为，可得e，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为，可得b2c，又a2

28、b2c2，解得a2，b，c1，则椭圆方程为1；（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点N(x0,y0)，设直线AB:yk(x1)，代入椭圆方程3x2+4y212，可得(3+4k2)x28k2x+4k2120，即有x1+x2，x1x2，可得中点N(,)，AB的垂直平分线的方程为y(x)，可得D(,0)，弦长|AB|x1x2|，|DN|，由，可得，解得直线l的斜率范围是k1或1b0)的离心率为，可得e，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为，可得b2c，又a2b2c2，解得a2，b，c1，则椭圆方程为1；（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点N(x0,y0)，设直线AB:

29、yk(x1)，代入椭圆方程3x2+4y212，可得(3+4k2)x28k2x+4k2120，即有x1+x2，x1x2，可得中点N(,)，AB的垂直平分线的方程为y(x)，可得D(,0)，弦长|AB|x1x2|，|DN|，由，可得，解得直线l的斜率范围是k1或1k；()在椭圆上假设存在定点M，满足题意，可取直线PQ的方程为yx，代入椭圆方程3x2+4y212，可得P(,)，Q(,)，设M(s,t)，可得kPM+kQM0，化简可得2st3，又1，解得M(1,)或M(1,)，下面证明任意斜率为的直线与椭圆交于P(x3,y3)，Q(x4,y4)，设直线方程为yx+m，代入椭圆方程可得x2+mx+m230，可得x3+x4m，x3x4m23，先考虑M(1,)，可得kPM+kQM11+(m1)1+(m1)10，同理可得M(1,)，也有kPM+kQM0成立综上可得，椭圆上存在定点M(1,)或M(1,)，使得kPM+kQM0成立 已知函数f(x)ln(x+a)，其中aR，且a0()求f(x)的单调区间；()若f(x)0恒成立，求a的取值范围；()若存在ax10，使得f(x1)f(x2)0，求证：x1+x20 【答案】（1）f(x)定义域为(a,+)，其导数f(x)，当a0