三角形、四边形中的动点问题

1、§ 1.三角形、四边形中的动点问题【解题思路与方法】1 .关注变化因素和不变因素以及图形的特殊性，寻找常量和变量；2 .化动为静(由一般到特殊)，以静制动；3 .数学建模：确定图形运动中的变量关系时常常建立函数模型，确定图形运动中的特殊位置关系时常常建立方程模型；4 .关注运动问题的三个要素：运动方向、速度、范围(直线、射线、线段、折线)；5 .注重分类讨论，通过分别画图与分离图形使问题简单化；6 .根据运动元素的不同分为动点问题、动线问题、动图问题三大类型(包括点、线、图同时运动).典例解析一、三角形中的动点问题例1.已知，如图 ABC是边长3cm的等边三角形.动点P以1cm/s的

2、速度从点A出发，沿线段 AB 向点B运动.设运动时间为t (s),(1)如图1,当t为何值时， PBC是直角三角形？(2)如图2,若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动.连接PQ交AC于D.如果动点P、Q 都以1cm/s的速度同时出发.那么 当t为何值时， DCCg等腰三角形？(3)如图3,若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动.连接PQ交AC于D,连接PC.如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发.请探究：在点P、Q的运动过程中 PCDffi QCD勺面积是否相等?变式题：已知：如图， ABC是边长3cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 AR BC方向匀速移动

3、，它们的速度都是 1cm/s,当点P到达点B时，P、Q两点停止运动.设点 P的运动 时间为t (s),解答下列问题：(1)当t为何值时， PBQ是直角三角形？(2)设四边形APQC勺面积为y (cm2),求y与t的关系式；是否存在某一时刻 t,使四边形APQC 的面积是 ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由。例2.如图，已知 ABC中，AB=AC=101米，BC=8厘米，点D为AB的中点.(1)若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A 点运动.若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时， BPM4CQ觉否全等，请说

4、明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 BP® ACPQ (2)若点Q以(1)中的运动速度从点 C出发，点P以原来的运动速度从点 B同时出发，都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点 P与点Q第一次在 ABC的哪条边上相遇?cB变式题：如图(1) 4ABC为等边三角形，动点 D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从 C B点同时 出发，以相同的速度由 C向A和由B向C运动，连接AP, BD交于点Q两点运动过程中 AP=BD 可通过证明 得到这个结论；(2)如果把原题中“动点 D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D, P在射线C

5、A和射线BC 上运动”，其他条件不变，如图(2)所示，两点运动过程中/ BQP勺大小保持不变.利用图(2) 的情形，求证：/ BQP=60 ;(3)如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”， 其他条件不变，如图(3),则动点D, P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程.二、特殊四边形中的动点问题例 3.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB II DC , AD =BC =5cm ,AB=12 cm,CD=6cm ,点 P 从 A开始沿AB边向B以每秒3cm的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C

6、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t秒3 . 一_ (1)求证：当t=3时，四边形APQD是平行四边形；(2) PQ是否可能平分对角线 BD?若能，求出当t为何值时P分BD;若不能，请说明理由；变式题：如图，在四边形ABCD中，AD/BC,/B=90°,AB= 6j3cm,AD = 18cm,BC= 24cm。点 p 从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定 其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t s.(1) t为何值时，四边形 ABQP为矩形？(2) t为何值时，四边形 PQCD为平

7、行四边形？(3)在其它条件不变的情况下，能否通过改变点Q的运动速度，使得四边形 PQCD为菱形？例4.如图， ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点 O作直线MIN/ BC设MNK/ BCA的外角 平分线CF于点F,交/ ACB内角平分线CE于E.(1)试说明EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形 AEC*矩形并证明你的结论；(3)若AC边上存在点O,使四边形AEC*正方形，猜想 ABC的形状并证明你的结论.FEDACB变式题：1.如图所示，有四个动点 P、。E、F分别从正方形ABCD勺四个顶点出发，沿着 AB BC CD DA 以同样的速度向B、C Dk A各点移动。(1)试判断四边形

8、PQE鬼正方形并证明。(2) PE是否总过某一定点，并说明理由。(3)四边形PQEF勺顶点位于何处时，其面积最小，最大？各是多少？2.如图所示，在 ABC,分别以AB AC BC为边在BC的同侧作等边 ABD等边八ACE等边 BCF(1)求证：四边形 DAE比平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)当ABCW足条件时，四边形 DAE甩矩形；当ABCW足条件时，四边形 DAE甩菱形；当ABCW足条件时，以 H A E、F为顶点的四边形不存在延伸课堂1 .如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB，BD,ED± BD,连接AC、EC,已知AB=5,DE=1, B

9、D=8,设 CD=x(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式雇%+1瓶a的最小值.2 .直线y=- 3/4x+6与坐标轴分别交于 A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达 A点，运 动停止.点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O? B? A运动.(1)直接写出A B两点的坐标；(2)设点Q的运动时间为t (秒)，OPQ勺面积为S,求出S与t之间的函数关系式；(3)当S=48/5时，求出点P的坐标，并直接写出以点 Q P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.上3 .梯形

10、 ABCB, AD/ BC /B=90° , AD=24cm AB=8cm BC=26cm 动点 P 从点 A 开始，沿 AD边以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边以3厘米/秒的速度向B点运动 已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运 动时间为t秒，问：(1) t为何值时，四边形 PQCD1平行四边形？(2) t为何值时，线段 AB与线段PQ相等？(3)在某个时刻，四边形 PQCD!能是菱形吗？为什么？(4)是否存在t值，使PQ把直角梯形分成周长相等的两部分？若存在， 求出t的值；若不存在, 请你说明理由.4.如图，直角梯形 ABC前，AD/ BC /ABC=90 ,已知 AD=AB=3 BC=4,动点P从B点出发，沿 线段BC向点C作匀速运动；动点 Q从点D出发,沿线段DA向点A