专题探究课六

1、.高考导航1.概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法表达了较高的思维含量.该类问题以应用题为载体，注重考察学生的应用意识及阅读理解才能、分类讨论与化归转化才能；2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立是概率计算的核心.统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征.统计与概率内容互相浸透，背景新颖.热点一统计与统计案例教材VS高考以统计图表或文字表达的实际问题为载体，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断.常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考察，考察学生的数据处理才能与运算才能及应用意识.【例1

2、】 2019·全国卷如图是我国2019年至2019年生活垃圾无害化处理量单位：亿吨的折线图.注：年份代码17分别对应年份20192019.1由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；2建立y关于t的回归方程系数准确到0.01，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：yi9.32，tiyi40.17，0.55，2.646.参考公式：相关系数r，回归方程t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.解1由折线图中数据和附注中参考数据得4， ti228，0.55.tiyitiyiyi40.174×9.322.89，r0.99.因为y与t的

3、相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.2由1.331及1得0.103，1.3310.103×40.92.所以y关于t的回归方程为0.920.10t.将2019年对应的t9代入回归方程得0.920.10×91.82.所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.教材探源1.此题源于教材必修3P90例有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的比照表：摄氏温度/504712151923273136热饮杯数156150132128130116104

4、899376541画出散点图；2从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；3求回归方程；4假如某天的气温是2 ，预测这天卖出的热饮杯数.2.1考题以形求数，教材是由数到形再到数；2考题与教材都是“看图说话，回归分析预测，但考题中以详细数字相关系数说明拟合效果，突显数学直观性与推理论证的巧妙交融，进一步考察考生的数据处理才能与运算才能及应用意识，源于教材，高于教材.【训练1】 2019·全国卷为了监控某种零件的一条消费线的消费过程，检验员每隔30 min从该消费线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸单位：cm.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序1234567

5、8零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得xi9.97，s0.212，18.439， xii8.52.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1，2，16.1求xi，ii1，2，16的相关系数r，并答复是否可以认为这一天消费的零件尺寸不随消费过程的进展而系统地变大或变小假设|r|<0.25，那么可以认为零件的尺寸不随消费过程的进展而系统地变大或变小.2一天内抽检零件中，假如出现了尺寸在3s，3s之外的零件，就认为这条消费线

6、在这一天的消费过程可能出现了异常情况，需对当天的消费过程进展检查.从这一天抽检的结果看，是否需对当天的消费过程进展检查？在3s，3s之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条消费线当天消费的零件尺寸的均值与标准差准确到0.01.附：样本xi，yii1，2，n的相关系数r，0.09.解1由样本数据得xi，ii1，2，16的相关系数r0.18.由于|r|<0.25，因此可以认为这一天消费的零件尺寸不随消费过程的进展而系统地变大或变小.2由于9.97，s0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在3s，3s以外.因此需对当天的消费过程进展检查.剔除离群值，即第13个数据，剩下数据

7、的平均数为16×9.979.2210.02，这条消费线当天消费的零件尺寸的均值的估计值为10.02.x16×0.212216×9.9721 591.134，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为1 591.1349.22215×10.0220.008，这条消费线当天消费的零件尺寸的标准差的估计值为0.09.热点二实际问题中的概率计算概率应用题侧重于古典概型，主要考察随机事件、等可能事件、互斥事件、对立事件的概率.解决简单的古典概型试题可用直接法定义法，对于较为复杂的事件的概率，可以利用所求事件的性质将其转化为互斥事件或其对立事件的概率求解.【例2】 20

8、19·石家庄调研某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购置了140辆纯电动汽车作为运营车辆.目前我国主流纯电动汽车按续航里程数R单位：千米分为3类，即A类：80R150，B类：150R250，C类：R250.该公司对这140辆车的行驶总里程进展统计，结果如下表：类型A类B类C类已行驶总里程不超过10万千米的车辆数104030已行驶总里程超过10万千米的车辆数2020201从这140辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过10万千米的概率；2公司为了理解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进展车况分析，按表中描绘的六种情况进展分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车.求n的值；假如从这n辆车

9、中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过10万千米的概率.解1从这140辆汽车中任取一辆，那么该车行驶总里程超过10万千米的概率为P1.2依题意n×145.5辆车中已行驶总里程不超过10万千米的车有3辆，记为a，b，c；5辆车中已行驶总里程超过10万千米的车有2辆，记为m，n.“从5辆车中随机选取两辆车的所有选法共10种：ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn.“从5辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过10万千米的选法共6种：am，an，bm，bn，cm，cn，那么选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过10万千米的概率P2.探究进步1.准确区分古典概型与几

10、何概型，其本质区别在于试验结果是有限还是无限.2.对于较复杂的古典概型的根本领件空间，最易出现“重和“漏，要防止这类错误，首先要正确理解题意，明确一些常见的关键词，如“至多“至少“只有等；其次，要按一定的规律列举.【训练2】 某校为了理解A，B两班学生寒假期间观看?中国诗词大会?的时长，分别从这两个班中随机抽取5名学生进展调查，将他们观看的时长单位：小时作为样本，绘制成茎叶图如下图图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字.1分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计哪个班的学生平均观看的时间较长；2从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21

11、的数据记为b，求a>b的概率.解1A班样本数据的平均值为91114203117.由此估计A班学生平均观看时间大约为17小时；B班数据的平均值为111221252619.由此估计B班学生平均观看时间大约为19小时；那么19>17.由此估计B班学生平均观看时间较长.2A班的样本数据不超过19的数据a有3个，分别为9，11，14.B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个，分别为11，12，21，从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况，分别为9，11，9，12，9，21，11，11，11，12，11，21，14，11，14，12，14，21，其中a>b的情况有14，

12、11，14，12两种，故a>b的概率P.热点三概率与统计的综合问题标准解答统计和概率知识相结合命制概率统计解答题已经是一个新的命题趋向，概率和统计初步综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，在此根底上掌握好样本数字特征及各类概率的计算.【例3】 总分值12分2019·豫北名校调研某企业为理解下属某部门对本企业职工的效劳情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图如下图，其中样本数据分组区间为40，50，50，60，80，90，90，100.1求频率分布直方图中a的值；2估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率

13、；3从评分在40，60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在40，50的概率.总分值解答1因为0.004a0.0180.022×20.028×101，所以a0.006.3分得分点12由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为0.0220.018×100.4.所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.5分得分点23受访职工中评分在50，60的有：50×0.006×103人，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在40，50的有：50×0.004×102人，记为B1，B2，8分得分点3从

14、这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2.11分得分点4又因为所抽取2人的评分都在40，50的结果有1种，即B1，B2，故所求的概率为P.12分得分点5得步骤分：步骤标准，求解完好，解题步骤常见的失分点，第2问中，不能用频率估计概率，第3问中步骤不完好，没有指出“根本领件总数与“事件M包含的根本领件个数，或者只指出事件个数，没有一一列举10个根本领件及事件M包含的根本领件，导致扣3分或2分.得关键分：如第1问中，正确求得a0.006；第3问中列出10个根本

15、领件，错写或多写，少写均不得分.得计算分：如第1、2问中，要理清频率直方图的意义，计算正确，否那么导致后续皆错大量失分，第3问中利用“频数、样本容量、频率之间的关系求得各区间的人数，准确列出根本领件，正确计算概率.第一步：由各矩形的面积之和等于1，求a的值.第二步：由样本频率分布估计概率.第三步：设出字母，列出根本领件总数及所求事件M所包含的根本领件.第四步：利用古典概型概率公式计算.第五步：反思回忆，查看关键点，易错点和答题标准.【训练3】 2019·江西九校联考某校为理解学生对正在进展的一项教学改革的态度，从500名高一学生和400名高二学生中按分层抽样的方式抽取了45名学生进展

16、问卷调查，结果可以分成以下三类：支持、反对、无所谓，调查结果统计如下：支持无所谓反对高一年级18x2高二年级106y1求出表中的x，y的值；从反对的同学中随机选取2人进一步理解情况，求恰好高一、高二各1人的概率；2根据表格统计的数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为持支持态度与就读年级有关不支持包括无所谓和反对.高一年级高二年级总计支持不支持总计附：K2，其中nabcd.PK2k00.100.050.01k02.7063.8416.635解1由题意x×5001825，y×4001064.假设高一反对的同学编号为A1，A2，高二反对的同学编号为B

17、1，B2，B3，B4，那么选取两人的所有结果为A1，A2，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A1，B4，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A2，B4，B1，B2，B1，B3，B1，B4，B2，B3，B2，B4，B3，B4，共15种情况.可得恰好高一、高二各一人包含A1，B1，A1，B2，A1，B3，A1，B4，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A2，B4共8种情况.所以所求概率P.2如图2×2列联表：高一年级高二年级总计支持181028不支持71017总计252045K2的观测值为k2.288<2.706，所以没有90%的把握认为持支持态度与就读年级有关.1.2019&#

18、183;安徽江南十校联考为了对某校高三1班9月调考成绩进展分析，在全班同学中随机抽出5位，他们的数学分数、物理分数、化学分数均已折算为百分制对应如下表：学生编号12345数学分数x7580859095物理分数y7377808788化学分数z78858789911求这5位同学数学和物理分数都不小于85分的概率；2从散点图分析，y与x，x与z之间都有较好的线性相关关系，分别求y与x，z与x的线性回归方程，并用相关指数比较所求回归模型的拟合效果.参考数据：85，81，86， xiyi200，xi2250， xizi150.解1这5位同学中数学和物理分数都不小于85分，共有2人，故概率为P.2设y与x

19、，z与x的线性回归方程分别是x，x，根据所得数据，可以计算出0.8.810.8×8513，0.6，860.6×8535，0.8x13，0.6x35.yii202021222126，yi28242126272166；zii2222212021210，zi28212123252100.又y与x，z与x的相关指数分别是R210.964，R210.90，故回归模型0.8x13比回归模型0.6x35的拟合效果好.2.2019·贵阳调研微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风行全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人被称

20、为微商.为了调查每天微信誉户使用微信的时间，某经销化装品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组：0，2，2，4，4，6，6，8，8，10分别加以统计，得到如下图的频率分布直方图.1根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间；2假设每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控，否那么称其为“非微信控，请你根据条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控与“性别有关？解1女性平均使用微信的时间为：0.16×10.24×30.28×50.2×70.12×94.76小时.2由得：20.

21、04a0.142×0.121，解得a0.08.由题设条件得列联表微信控非微信控总计男性381250女性302050总计6832100K2的观测值为k2.941>2.706.所以有90%的把握认为“微信控与“性别有关.3.2019·北京东城区质检某单位附近只有甲、乙两个临时停车场，它们各有50个车位，为了方便市民停车，某互联网停车公司对这两个停车场在某些固定时刻的剩余停车位进展记录，如下表： 时间停车场8时10时12时14时16时18时甲停车场1031261217乙停车场13432619假如表中某一时刻剩余停车位数低于该停车场总车位数的10%，那么当车主驱车抵达单位附近

22、时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报.1假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性一样，求他收到甲停车场饱和警报的概率；2从这六个时刻中任选一个时刻，求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率；3当乙停车场发出饱和警报时，求甲停车场也发出饱和警报的概率.解1事件“该车主收到甲停车场饱和警报只有10时这一种情况，该车主抵达单位的时刻共有六种情况，所以该车主收到甲停车场饱和警报的概率为P.2事件 “甲停车场比乙停车场剩余车位数少有8时、10时、18时三种情况，一共有六个时刻，所以甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率为P.3事件“乙停车场发出饱和警报有10时、12时、14时三种情况，事件“甲停车场也

23、发出饱和警报只有10时一种情况，所以当乙停车场发出饱和警报时，甲停车场也发出饱和警报的概率为P.4.2019·全国卷某公司方案购置1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购置这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，假如备件缺乏再购置，那么每个500元.现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购置易损零件上所需的费用单位：元，n表示购机的同时购置的易损零件数.1假设n19，求y与x的函数解析式；

24、2假设要求“需更换的易损零件数不大于n的频率不小于0.5，求n的最小值；3假设这100台机器在购机的同时每台都购置19个易损零件，或每台都购置20个易损零件，分别计算这100台机器在购置易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策根据，购置1台机器的同时应购置19个还是20个易损零件？解1当x19时，y3 800；当x>19时，y3 800500x19500x5 700.所以y与x的函数解析式为yxN.2由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.3假设每台机器在购机同时都购置19个易损零件，那么这100台机器中有70台在购置易损零件上

25、的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购置易损零件上所需费用的平均数为3 800×704 300×204 800×104 000，假设每台机器在购机同时都购置20个易损零件，那么这100台机器中有90台在购置易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购置易损零件上所需费用的平均数为4 000×904 500×104 050.比较两个平均数可知，购置1台机器的同时应购置19个易损零件.5.向量a2，1，bx，y.1假设x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子六个面的点数分别为1，2，