基本不等式教案

1、3.4基本不等式宿州市泗县第二中学 周树三维目标知识与技能：1.掌握基本不等式，（a>0,b>0）； 2.能利用基本不等式，（a>0,b>0）求简单的最大值与最小值。方法与过程：1.通过多种途径得到基本不等式，（a>0,b>0）提高学生的数形结合能力和分析推理能力。 2.通过利用基本不等式，（a>0,b>0）求最大值与最小值提高学生数学知识的应用能力。情感态度与价值观： 1.在数形结合过程中，由“形”的不等关系，抽象出“数”的不等关系，引导学生用联系、变化的眼光观察事物； 2.通过引例对学生进行爱国主义教育，增强学生民族自豪感。教学重点：用数形结

2、合思想理解基本不等式，（a>0,b>0），并用分析法证明。教学难点：利用基本不等式，（a>0,b>0）求最值。课型：新授课教具准备：多媒体。教学过程一、新课引入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”是诗人苏轼的名句。所写的是庐山的景色。庐山未变而从不同的角度观察可以得到不同的感受。今天，我们就用苏轼看庐山的方法，多角度来研究基本不等式，下面请大家讨论导学案的内容，发现其中的问题。设计意图：从诗句所反映的景色入手，让学生明白本节课研究问题的方法。师生互动： 学生讨论导学案的内容，老师巡视，发现学生导学案中存在的问题，便于点评。二、探究新课问题1 如图1是在北京召开的第24届数

3、学家大会的会标。你能从中找出一些相等或不等关系吗？图中4个直角三角形面积相等，且其和不大于大正方形的面积，当直角三角形变成等腰直角三角形时，它们相等。由图2知：.设计意图：本问题让学生从图形中抽象出不等关系，提高学生抽象概括能力和数形结合能力。师生互动：学生展示，老师给予引导，如图中4个直角三角形面积和与大正方形面积之间大小关系是怎样的？在老师引导下由学生总结出不等式.并由国际数学家大会在我国召开，说明我国国力强盛对学生进行爱国主义教育。问题2.说说问题1中不等式所含字母的取值范围，等号何时成立？设计意图：本问题加深学生对不等式的理解，强调等号成立的条件。师生互动：学生展示，老师点拨。问题3.

4、证明 证: 设计意图：“有数无形不直观，有形无数难入微”，通过证明让学生对这个不等式的理解由感性上升到理性。师生互动：学生展示，老师引导学生使用多种方法证明。问题4.不等式中，当a>0,b>o时把式中的a换成，b换成你可以得到什么结果？并给出证明过程。 又可以写成，（a>0,b>0） 证：要证即证即证即证又显然成立当且仅当a=b时取等号。设计意图：由不等式得出基本不等式，（a>0,b>0），提高学生归纳类比能力。师生互动：学生展示，老师强调本问题是从数的角度对基本不等式，（a>0,b>0）进行了探讨，其实式中a=0或b=0时不等式也成立，但我们不

5、研究。问题5.如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD.DC和圆的半径能用a,b表示吗？你能利用本图形得出式的几何解释吗？可使用相似形ACDBCD,而CD=，由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为，（a>0,b>0）当且仅当a=b时取等号，此时圆心与C点重合。设计意图：学生再次从图形角度认识不等式，通过“形”中的不等关系转化成“数”间的不等关系，引导学生以联系、变化的眼光看待事物。师生互动：学生展示，老师强调叫正数a、b的几何平均数，叫做正数a、b的算术平均数，可叙述为：两正数的几何平均数不大于它们的算术平均数或两正数

6、的算术平均数不小于它们的几何平均数。在此老师进一步强调a>0,b>0,等号成立的条件是a=b.设计问题，当正数a、b满足什么条件时有最大值？正数a、b满足什么条件时有最小值？同时加上三个例子：1、求的最小值，2、求的最小值3、求的最小值。通过三个例子引导学生理解用基本不等式求最值时的注意事项。三、例题分析：例1（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短、最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大、最大面积是多少？解：（1）设矩形菜园的长为xm,宽为ym，则xy=100,篱笆长

7、为2（x+y）m. 由可得等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长和宽都是10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m。设计意图：老师指出本题可设为二元，也可以设为一元，并借助本问引导学生总结：x,y为正数，xy为定值，x+y有最小值，当且仅当x=y时取等号。 （2）设矩形菜园长为xm,宽为ym,则2（x+y）=36,x+y=18,矩形菜园面积为xy.由 可得当且仅当x=y，即x=y=9时等号成立。所以矩形长、宽都是9m时面积最大，最大面积是81.设计意图：本题也可设成一元，用配方法求最值，引导学生总结：x,y为正数，x+y为定值，xy有最大值，当且仅当x=y时等号成立。师生互动：老师引导学生分析第（1）问，第（2）问分析留给学生。老师强调解题步骤。四、课堂练习1.x>0,当x取什么值时，的值最小？最小值是多少？2.已知直角三角形面积等于50，两条直角边各为多少时，两直角边和最小？最小值是多少？3.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？4.做一个体积为32，高为2m的长方体纸盒，底面长、宽取什么值时用纸最少？五、课时小结本节课我们主要学习了基本不等式及该基本