奥数新讲义分式1学

1、分式 1一、分式基本概念及性质分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式一般地，如果 A ， B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式B整式与分式统称为有理式在理解分式的概念时，注意以下两点：分式的分母中必然含有字母；分式的分母的值不为 0；分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为 0，故分式有意义的条件是分母不为 0，当分母为 0 时，分式无意义如：分式 1 ，当 x ¹ 0 时，分式有意义；当 x = 0 时，分式无意义x分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的为

2、零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”分式的基本性质：分式的基本性质：分式的与分母同时乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变上述性质用公式可表示为： a = am ， a = a ¸ m （ m ¹ 0 ）bbmbb ¸ m注意：在运用分式的基本性质时，基于的前提是 m ¹ 0 ；强调“同时”，分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；分式的基本性质是约分和通分的理论依据【例 1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？x2 - 2x + 12x + 4x + 13 - xa3 + a21x5a， (x + 2) ，t3， 2m ，2

3、3x2 - 2x - 1，x -1x3a1 x 为何值时，分式【例 2】有意义？11 + x1 +a2 - 4 要使分式1 + 3a 没有意义，求 a 的值1 +2a【例 3】当 x 为何值时，下列分式的值为 0？x + 1xx2 - 1x2 + 3x2 + 2x - 3x2 - 4x + 1x - 3x + 7x - 1x2 + 2xx- 3【例 4】 若 x ， y 的值扩大为原来的3 倍，下列分式的值如何变化？x + yx - yxyx - yx - yx2 + y2a2 - 3m2 - 2mn + n2【例 5】约分：2a3 - 6am2 - n2x + 1x2nm1通分：，x(x -

4、 1)x2 - 1x2 - 2x + 1m2 - mnn2 - mnm2 - n2二、分式运算= a × c分式的乘法： a × cb db × d= a ´ d = a × d分式的除法： a ¸ cbdbcb × cn个aa × aanaa aa乘方： ( ) =×=（ n 为正整数）nbb × bn个bnbb bn个b整数指数幂运算性质： am × an = am+n （ m 、 n 为整数） (am )n = amn （ m 、 n 为整数） (ab)n = anbn （ n

5、为整数） am ¸ an = am-n （ a ¹ 0 ， m 、 n 为整数）负整指数幂：一般地，当 n 是正整数时， a-n =1an（ a ¹ 0 ），即 a-n （ a ¹ 0 ）是 an 的倒数分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把相加减， a ± b = a + bccc= ad ± bc = ad ± bc异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减， a ± cbdbdbdbd分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，括号，括号内先算结果以最简形式- 62 (- b )2

6、 × (- a )3 ¸ (- b )4【例 6】 计算：4 - 4b2aa (4mn-3 )-2 ¸ (- 1 m2n)-322 (2a - a2aa -1 -2¸× () 的值，其中 a = 3【例 7】求a2 -1a + 1 a + 14a + 12¸a - 2 - 5(a + 2) ¸ ( a + 2)2 ，其中 a = 4【例 8】先化简，再求值：(3a - 4)(a + 2)a2ax2 - y2xy + y2x = 3y4¸【例 9】已知：，求的值x2 - 2xy + y2x2 - xyab4x【例 1

7、0】已知与的和等于，求 a ， b x + 2x - 2x2 - 4mn8x【例 11】若对于 ±3以外的一切数，-=均成立，求 mn 3x - 3x2 - 9三 分式方程1、分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.正确判别一个方程是否为分式方程，关键要看这个方程是否有分母，并且分母中是否有未知数. 目前所学的方程，主要有有理方程及无理方程两类。有理方程中包括整式方程和分式方程.2、解分式方程的一般步骤首先要找到所有分母的最小公分母，去分母后化为整式方程，按照解整式方程的方法解出适合整式方 程的解，最后也是最一步，就是检验，看是否有增根.3、对于分式方程的增根，可以从以下几

8、个方面理解：（1） 增根一定适合分式方程转化后的整式方程；（2） 增根不适合原分式方程，即使原分式方程至少有一个分母为 0；（3） 为了简便，验根时通常只需要把求得的根代入所乘的最简公分母，使最简公分母为 0 的根就是原方程的增根.10030【例 12】解方程：=xx - 716x - 2x + 2+=【例 13】解方程4 -x - 2x - 216-= 1【例 14】解方程x + 2x2 - 4-105【例 15】解方程2 -+ 88x +1622x+ (1+) =2【例 16】解方程x - 2x - 2736+- x = x2 -1【例 17】解方程42x + 33x2 +10x+=【例

9、18】解方程x + 3x + 2x -11+ 3=【例 19】 （1）如果分式方程有增根，则求它的增根x - 2x - 2x - 81-=8 有增根，则求它的增根（2）如果分式方程x - 77 - xk - 5k -11+2 + x = x2 -1 有增根 x1，求 k 的值。【例 20】关于 x 的方程ì 6 + 6 = 1ï xy2【例 21】解方程组 í 833ïïî x-=y10ì 4 + 5 = 0.(1)ïxy【例 22】 解方程组： íxy + 3ï-= 0.(2)ï&#

10、238; x + 4y - 3ìx + y -3= - 1ïx - y63【例 23】解方程组 íx + y2ï+= 3ïî2x - y【例 24】某校文艺演出队到离校 15 千米的某地慰问演出.先遣队与演出队同时出进速度是演出队的 1.2 倍，以便提前到达做好准备工作.求先遣队与演出队的行进速度.【例 25】某校师生到距学校 20 千米的公路旁植树，师生骑自行车先走，45 分钟后，乙班的师生乘汽车出发，结果两班学生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的 2.5 倍，求两种车的速度各是多少？【例 26】 要定期完成一件工程，甲单独做正

11、好按期完成，乙单独做要超期 3 天才能完成，现甲乙合作 2天，余下的由乙单独做，刚好按期完成，求甲乙单独做全部工程所需天数。【例 27】打印一份稿件，甲打 30 分钟后由乙继续再打 25 分钟就完成。第二次再打这份稿件，30 分钟后由甲继续再打 24 分钟就完成。问甲、单独打这份稿件各需多少分钟。练习 x 为何值时，分式 2x + 1 无意义？习题1.4x + 11 x 为何值时，分式有意义？x2 - 3x + 2x2 - 1x 为何值时，分式有意义？x + 1若 (m -1)(m - 3) = 0 ，求m 的值习题2.m2 - 3m + 2习题3.若 x ， y 的值扩大为原来的3 倍，下列

12、分式的值如何变化？x2 + y22x33y3x2 - y2x2 - y23xy若1 - 3a = MN+习题4.是关于 a 的恒等式，求 M 、 N 的值a2 - 1a - 1a + 1x - 2a= 0 无解习题5.当 a时，方程x - 2y2 - 4 y + a= 0 时有增根，a 习题6.若去分母时，解关于 y 的方程y - 3x -1m=习题7.去分母，解方程时有增根，则 m 的值是（）x - 3x - 3A.3B.236C.1D.-1x + 5-= 0习题8.解方程：(x -1)4 - x3解方程： 1+=习题9.3 - xx - 31- x22x=+习题10.解方程：x - 5x

13、+ 6本章测试填空题：-5x2 y31- x2y=.1、约分：；-10x3 y2c2xcx2 - 2x1(a - b)3a24¸ (b - a )2 = +=；2、计算：a - 22 - aa12=3、方程：的 .x - 23x + 5x2a-= 2 有增根，那么 a 的值是.4、如果关于 x 的方程x - 3x - 33x - xy + 3y115、已知： += 2,则xy的值是.x - xy + y2x +1AB=+6、已知，则 A、B 的值为（）- 3x + 4(A、A1,B-1B、A1,B-1C、A-1,B1D、A2,B-27、若 p = q -1 ，那么 q 等于（）q +1p -1p +1-P +1A、B、C、D、1p + 1