H∞控制器的设计

1、-、Hr控制器的设计(一)Hr状态反馈控制器设计思路山J-PuyKS)图2-1广义系统针对如上图所示的广义系统，P(s)是一个线性时不变系统，其状态方程可以用下面的式子描述：x=AxB11B12uz=C1xD1rD12u2-1y=C2XD21D22U其中：xwRn是状态向量，uwRm是控制输入，ywRp是测量输出，zRr是被调输出，0WRq是外部扰动。这里考虑在外部扰动不确定但能量有限的情况下，设计一个控制器u(s)=K(s)y(s),使得闭环系统满足：(1)闭环系统内部稳定；(2)从扰动到被调输出的传递函数满足下面的关系：Twz(s)|.：:12-2满足这样性质的控制器称为系统的一个h丈控制

2、器。通过将系统模型中的系数矩阵分别乘以一个适当的常数，可以使得闭环系统具有给定的Hg性能丫，即使得|Twz(s)|受丫的Hm控制问题转化为使得Twz(s)L<1的标准H比控制问题。称具有给定H0c性能丫的Hm控制器为系统P(s)的Y-次优H电控制器。进一步可以通过对丫的搜索，可以求取使得闭环系统的扰动抑制度丫最小化的控制器。对于上面给出的系统，令Di、D22为零矩阵，G为单位阵，那么就形成了一个状态反馈控制系统。对于这个系统，如果可以设计一个静态反馈控制器u(s)=K(s)x(s),使得系统闭环稳定，并且满足从扰动到被调输出的传递函数为：|Twz(s)：=|(CiDi2K)sI-(ABi

3、2)BiiDi1|12-3那么，我们称这样的反馈控制器为系统P(s)的一个状态反馈H8控制律。定理对于系统P(s),存在一个状态反馈H才空制器，当且仅当存在一个对称正定矩阵X和W,使得以下矩阵不等式成立：AXBi2W(AXB,2W)tBii(CiXDi2W)Tb-Ti-id-Ti<02-4CiX+Di2WD11-I成立，而且，如果上面的矩阵不等式存在一个可行解W*、X*,则有K=W*(X*),为系统的状态反馈H.控制矩阵。对于次优控制问题，通产可以进行一下变换：ITwz(s)Im<y=|丫-1丁.(孙.<12-5(C1X+D12W)TIV-1DTi<0_I2-6将原模型

4、中的Ci、D11、D12替换为¥飞1、“51、¥D12则得到新的状态反馈次优控制器对应的矩阵不等式：-AX+B12W+(AX+B12W)TB11IB；-IIkC1X+D12W/D11为了计算方便，在上式的左右两边分别乘以为了计算方便，在上式的左右两边分别乘以diagU力，则得到如下式子:-AX+B2W+(AX+B12W)TBiTiCiXD12WB11(C1X+D12W)T1-ID1*<0Dii-'2|2-7求解该不等式即可得到系统状态反馈求解该不等式即可得到系统状态反馈丫-次优H*控制器求解该不等式，即可得到系统状态反馈T-次优H.控制器这样，T-次优Heo控

5、制器存在的条件下(LMI可解)，通过建立和求解以下优化问题即可得到丫-次优Hg控制器:minPAXB12W(AXBi2W)TB11(C1XDi2W)TBiTi-IDn<0ap2C1X+D12WD11¥IX.0下面利用状态反馈进行T-次优H.控制器的设计。(二)系统矩阵卜面给出系统的各个矩阵：010000-10A=,B110001J00110_卜面给出系统的各个矩阵：010000-10A=,B110001J00110_-001.21一011,B12=-30231821234-1421231122414C1.|1D11.|1D12.|3253_114_3124_C2-I,D21=0

6、,D22=0（三）仿真结果仿真条件设置：系统的状态初值设置为：X。=。0001T，时间间隔设置为0.01s,共仿真10s,在0.2秒处施加一个切=1211T的扰动。设置mincx函数的解算精度为1e-5,计算得到系统的反馈控制矩阵：SolverforLinearobjectiveninittizationunderLMIconstraintsIterations:Bestobjectivevaluesofar123424.407254521.995437621.995437,21.995437821.852114921.8521141021.8276141121.8276141221.8179

7、661321.8179661421.8179661521.8167661621.8167661721.8167661821.8166641921.8166642021.8166642121.8166602221.8166552321.8166552421.8160542521.8166542621.8166542721.816654«switchingtoQR2821.8166542921.S16654Result:feasiblesolution"bestobjectivevalue:21.816654f-radiussaturation:8.335%ofR=1.00e+

8、09TerminationduetoSLOWPROGRESS:theobjectivevasdecreasedbylessthan0.OOISduringthelast10iterations.flag=l.Oe+08*- 1.42380.8756- 0.40700.3349- 0.00000.0000- 0.00000.00001.0e4-07*3.5792-0.90030.0017-2.2852-0.90031.6995-0.77930.18940.0017-0.77931.66460.6700-2.28520.18940.67002.89051.0eHI7-4.29750.2094-1.

9、24482.37600.2094-0.99020.70050.6228-1.24480.7005-1.3277-0.77292.37600.6228-0.7729-2.3661-1,60740.166?-0.393：0.5958-1.3QS5-0.5253-0.26900.7472-L/2£0.0232-0.55/0.05260.03420.3760-0.9061-0.4166rou-4.670E»I在上面的仿真结果中，flag同EVP问题中的flag一样，都是X,W是否是系统的解得标志。仿真结果中flag负定，说明X,W是系统的解。这样就求得了系统的状态反馈控制矩阵卜面给出闭环系统的仿真结果:图2-20.2秒处加入脉冲干扰后的系统状态变量的响应曲线当取6=bin(nT)cos(2nT)T(T=0.01,20<n<50)时，仿真结果如下:0.50.40.30.20.10-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5x1x2x3x410图2-30.2-0.5秒加入正弦干扰后的系统状态