概率论与数理统计资料随机事件的概率

1、随机事件1（1988 年、数学一、填空）若在区间（0，1）内任取两个数，则事件“两数之和小于5 6 ”的概率为（ ）。答案 填：25 17  2（1989 年、数学一、填空）设 A,B 为随机事件，且 P(A =0.5, P(B =0.6, P(B |A =0.8,则 P(A +B =( 。答案 填：0.7P(A+B=P(A+P(B-P(AP(B|A=0.5+0.6-0.5×0.8=0.7 3（1990 年、数学一、填空设 A,B 为随机事件，且 P(A=0.4, P(B=0.3, P(AB=0.6,则 P( =( 。答案 填：0.3

2、由 =A-AB 且 P(AB=P(A+P(B- P(AB=0.1 得 P( =P(A-AB=P(A-P(AB=0.4-0.1=0.3. 4（1991 年、数学一、填空）向半圆 0y2 2 x ax - ,(a 0内任掷一点且落在半圆内任何区域的概率均与 该区域的面积成正比。则该点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 4p的概率为（ ）。 答案 填：p 1 2 1 + 5（1992 年、数学一、填空）设 P(A=P(B=P(C=4 1 ,P(AB=0,P(AC=P(BC=6

3、0;1 ,则事件A,B,C 都不发生的概率为 （ ）。答案 填：12 7  设 =事件 A,B,C 都不发生，由 P(AB=0且 ABC ÌAB，可知0P（ABC）P（AB）=0，得P（ABC）=0，则P(ABC=P（A）+ P（B）+ P（C）- P（AB）- P（BC）- P（AC）+ P（ABC）=12 5 因 此 P（ ）= 1- P(ABC=1-12 5 =12 7 6（1994 年、数学一、填空设 A,B 为随机事件，且 P(A=p, P（AB）= P（ 

4、;）, 则 P（B）=( 。答案 填：1-p由 P（ ）=1-P（AB）=1-P（A）-P（B）+P（AB），根据条件 P（AB）= P（ ） 且 P(A=p，可知 P（B）=1-P(A=1-p 7（1987 年、数学三、选择）设 A,B 为两事件且 P（AB）= 0,则( 。 . 与互斥 是不可能事件 未必是不可能事件 P(A=0 或 P（B）=0答案 选：概率为 0 的事件未必是不可能事件。这不难由“连续型随机变量在具体一点取值的概 率恒为 0”看出。 8（1988 年、数学三、是非题）若事件 A，B，C 满足等式 A+C=B+C，则 A=B （ ）。答案 填：非当三事

5、件 A，B，C 满足 A+C=B+C 时，A=B 未必成立。如 A=1，2，3，B=1，2，4， C=2，3，4且 A+C=1，2，3，4，B+C=1，2，3，4，则 A+C=B+C，但是AB. 9（1989 年、数学三、选择）若用事件 A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销” ，则事件 表示（ ）。 A甲产品滞销，乙产品畅销B. 甲、乙两产品均畅销. 甲产品滞销甲产品滞销或乙产品畅销答案 选：D10 （1990 年、数学三、选择）设随机事件A 与 B 满足 A ÉB，则（ ）成立。 AP（A+B）=P（A） B. P(AB=P(A C. P(B|A=P(B D. P(B-A=P

6、(B-P(A答案 选 A11 （1990 年、数学三、计算）从 0 到 9 十个数字中任取三个不同的数字,求：事件 1 A =三个数字中不含 0 和 5, 2 A =三个数字中不含 0或 5的概率。 解：设 1 B =三个数字中不含 0， 2 B =三个数字中不含5， 则 P（ 1 A ）=P（ 1 B  2 B ）=3 10 3 8 C C

7、60;=15 7 P（ 2 A ）=P（ 1 B + 2 B ）=P（ 1 B ）+P（ 2 B ）-P（ 1 B  2 B ）=3 10 3 8 3 10 3 9 3 10 3 9 C C C C C C +

8、 =15 14 12 （1991 年、数学三、选择）设两事件与互斥，且 P（A）0，P（B）0，则（ ）正确A 与互斥B.  与互容C. P（AB）=P（A）P（B）D. P（A-B）=P（A）答案 选：D13 （1992 年、数学三、选择）设两事件与同时发生时，事件 C 必发生，则（ ）成立。A. P(C P(A+P(B-1 B. P(C P(A+P(B-1 C. P(C=P(AB D. P(C=P(A+B答案 选：B事件与同时发生时，事件C 必发生，则 AB ÌC,故 P(AB P(C 由 P(A+B= P(A+P(B- P(AB 1， 得

9、 P(AB= P(A+P(B- P(A+B P(A+P(B-1 即 P(C P(AB P(A+P(B-1 14 （1992 年、数学三、填空）若将 C,C,E,E,I,N,S 这七个字母任排一行，则排成 SCIENCE 的概率为（ ）答案 填：11260 1 P=7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 P P P P P

10、60;P P P P × × × × × =11260 115 (1993 年、 数学三、选择设两事件与满足P(B|A=1, 则（ ）正确。A. A 是必然事件B. P(B|=0C. AÉB D. AÌB答案 选：D 由 P(B|A= (  ( A P AB P =1,可知 P(AB= P(A，即知A ÌB。 16(1996 年、数学三、计算设方程 0 2 = + + 

11、;c bx x 中的 b,c 分别是连掷两次一枚骰子先后出现的点数，求此方程 有实根的概率和有重根的概率。解：方程 0 2= + + c bx x 有实根，等价于 c b  4 2- 0，即 c4 2 b ,有重根等价于 c b  4 2 - =0.样本点总数为 64，通过一一列举（略）可知有利样本点数分别为 19，2，则所求概率分别为36 19 与36 2 

12、;。 17 （2000 年、数学三、选择）在电炉上安装了四个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 0 t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”而 4 3 2 1 T T T T £ £ £ 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于（ ）。 A. ³ 1 T  0 t  B. ³ 2 T 

13、0;0 t  C. ³ 3 T  0 t  D. ³ 4 T  0 t 答案 选：C18 （1987 年、数学四、选择） 设 A,B 为两事件，则P(A-B=( 。A.P(A-P(B B. P(A-P(B+P(AB C.P(A-P(AB D.P(A+P(B-P(AB答案 选：CA-B=A-AB,且A ÉAB，则 P(A-B=P(A-AB=P(A-P(AB 19 （1991 年、数学四、填空）设 A,B 为两事件且 P(A=0.7, P(A-B=0

14、.3,则 P(AB =( 。答案 填：0.6P( AB =1- P(AB=1- P(A+ P(A-B=0.620 (1992 年、 数学四、填空设A,B,C 为随机事件且P(A= P(B=P(C=0.25,P(AB=P(BC=0， P(AC=0.125, 则A,B,C 至少出现一个的概率为（ ）。答案 填：0.625由 0P(ABC P(AB=0, 则 P(ABC=0,从而(A+B+C=P(A+P(B+P(C-P(AB-P(BC-P(AC+P(ABC=0.625 21 （1997 年、 数学四、填空）设 A,B 为两任意事件,则 P(A +B(A+B(A +B (A+B =( 。答案

15、 填：0由( A +B(A+B(A +B (A+B =(A +B(A+B (A+B (A +B =(A A+BB +AB+A B(A A + BB +AB + A B =(AB+A B( AB + A B=(AB( AB +(AB(A B+(A B(AB +(A B( A B =(AA(BB +(AA （BB）+(A A(BB +(A A (BB =F 则所求为 P(F=0 22 (1987 年、数学一、填空设在每次贝努利试验中，事件A 发生的概率均为p,则在 n 次贝努利试验中，事件 A 至

16、少发生一次的概率为（ ），至多发生一次的概率为（ ）。答案 填：(1-(1-p n  (1-p n +np(1-p 1- n 由贝努利概型的概率计算公式，据题意可知， 事件 A 至少发生一次的概率为 k n k nk k n p p C - = - å  1 ( 1 或 n n p p C   1 

17、( 1 0 0 - - ，事件 A 至多发生一次的概率为 k n k k k n p p C - = - å  1 ( 1 0 = n n p p C   1 ( 0 0 - + 1 1 1  1 ( - - n n p

18、 p C 23 (1987 年、数学一、填空三个箱子中，第一箱装有 4 个黑球 1 个白球，第二箱装有 3 个黑球 3 个白球，第三箱 装有 3 个黑球 5 个白球。现先任取一箱，再从该箱中任取一球，问这球是白球的概率 为（ ），取出的白球是属于第二箱的概率为（ ）。答案 填：（1） 120 53 ； （2） 53 20  （1）设 i A =任取一球是第 i 箱的，B=取得白球， 则由题意可知 P(B=P( 1 A P(B| 1

19、60;A +P( 2 A P(B| 2 A +P( 3 A P(B| 3 A =8 5 3 1 6 3 3 1 5 1 3 1 + + = 120 53 （2）P( 2 A |B=6  (  ( 2 = B P B

20、60;A P = 53 20 24（1988 年、数学一、填空设在三次独立试验中，事件 A 出现的概率均相等且至少出现一次的概率为27 19 ，则在 一次试验中事件 A 出现的概率为（ ）。答案 填：3 1 设所求概率为 p，由题意有 3 0 0 3  1 ( 1 p p C - - = 27 19 ，则 p=3 1 25 （1988 年、数学一、

21、填空设甲乙两人独立地射击同一目标，其命中率分别为 0.6 与 0.5，则已命中的目标是被甲 射中的概率为（ ） 。答案 填：0.75设 A=目标是被甲射中的，B=目标是被乙射中的，则 AB=目标被射中 则 P(A|AB= (  ( ( B A P B A A P È È =  (  ( B A P A P È =0.7526 （1993 年、数学一、填空若从有 10

22、件正品 2 件次品的一批产品中，任取 2 次，每次取一个，不放回，则第二次 取出的是次品的概率为（ ）。答案 填：6 1 此为“抽签问题” （抽签结果与抽签顺序无关）的简单应用。 27 （1996 年、数学一、填空设 A,B 两厂产品的次品率分别为 1% 与2%，现从 A,B 两厂产品分别占 60%与 40%的一批 产品中任取一件是次品，则此次品是 A 厂生产的概率为（ ）。答案 填：7 3 设 A=任取一件产品是 A 厂生产的，B=任取一件产品是 B 厂生产的,C=任取一件产 品是次品，则 P(A=0.6,P(B=0.4,P(C|A=0.01,P(C|

23、B=0.02,由Bayes 公式，所求即 P(C|A= 7 3 28 （1997 年、数学一、填空）袋子中装有 50 个乒乓球，其中 20 个黄的，30 个白的，现有两人依次随机地从袋中各 取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是( 。答案 填：5 2 29(1998 年、数学一、选择设 A,B 为两事件，且0P(A1,P(B0,P(B|A=P(B| A ,则（ ）成立。 A. P(A|B=P(A |B B. P(A|BP(A |BC.P(AB=P(AP(BD. P(AB P(AP(B答案 选：C在等式 P(B|A=P(B|A 两

24、端同时乘以 P(AP(A ,再考虑到 P(A =1- P(A，展开即得 30（1999 年、数学一、填空）设两两相互独立的三个事件 A,B,C 满足条件: ABC=,P(A=P(B=P(C 2 1 ,且已知 P(A+B+C= 16 9 ,则 P(A=( 。 答案 填：4 1 由题设得： 16 9 =3P(A-3P(AP(A,再考虑到 P(A=2 1 ，可算出 P(A= 4 1 。 31（2000 年、数学一、填空）设两个相互独立的事件 A,B 都

25、不发生的概率为9 1 ， A 发生 B 不发生的概率与B 发生 A 不 发生的概率相等，则P(A=( 。答案 填：3 2 32 （1987 年、数学三、计算） 设两箱内装有同种零件，第一箱装 50 件，有 10件一等品，第二箱装 30 件，有 18件 一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取两个零件，求： （1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。解：设事件 i A =从第 i 箱取的零件， i B =第 i 次取的零件是一等品 （

26、1）P( 1 B =P( 1 A P( 1 B | 1 A +P( 2 A P( 1 B | 2 A =5 2 30 18 2 1 50 10 2 1 = + （2）P( 1 B  2 B =194 . 0 2 

27、;1 2 1 2 30 2 18 2 50 2 10 = + C C C C ,则 P( 2 B | 1 B = (  ( 1 2 1 B P B B P =0.485 33 （1988 年、数学三、填空）设 P(A=0.4,P(A+B=0.7,若事件 A 与 B 互斥

28、，则 P(B=( ,若事件 A 与 B 独立，则 P(B=( 。答案 填：0.3 ; 0.534 （1988 年、数学三、计算）设玻璃杯整箱出售，每箱 20只，各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.8,0.1,0.1, 一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客随机察看4 只，若无残次品， 则买此箱玻璃杯，否则不买。求： （1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没残次品的概率。解：（1）设事件 i A =一箱的玻璃杯中含 i 个残次品，i=0,1,2,且 P( 0 A =0.8, P( 

29、1 A =P( 2 A =0.1,事件 B=从一箱中任取四只杯子无残次品，则由全概率公式可得： P(B= P( 0 A P(B| 0 A + P( 1 A P(B| 1 A + P( 2 A P(B| 2 A = 0.8×4 20 4 20 C C +0.1×4 20 

30、4 19 C C +0.1×4 20 4 18 C C =0.94（2）P( 0 A |B=94 . 0 8 . 0  (  ( 0 = B P B A P =0.85 35（1990 年、数学三、填空）某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为81 80 ，则此射手的命中率

31、为（ ）。 答案 填：3 2 36 （1994 年、数学三、选择）设 0P(A1, 0P(B1,P(A|B+P(A |B =1,则 A 与B（ ）。 A.互斥B.对立C.不独立D.独立答案 选 D由于 P(A |B =1- P(A |B ，根据已知条件不难知 P(A|B= P( A |B ，对此等式两 端同乘以 P（B）P(B ,展开整理即得 P(AB=P(AP(B。37 （1995 年、数学三、计算）某厂生产的每台仪器，可直接出厂的占0.7,需调试的占 0.3,调试后可出厂的占 0.8， 不能出厂的不合格品占 0.2,现新生产 n（n2）台仪器（设每台仪器的生产

32、过程相互 独立），求：（1）全部能出厂的概率；（2）恰有两台不能出厂的概率； （3）至少有两台不能出厂的概率。解：设 A=生产的仪器可直接出厂，B=生产的仪器可以出厂， 则 P(B=P(A+P(A P(B|A =0.7+0.7×0.8=0.94设 X 表示 n（n2）台仪器中最后能出厂的台数，则X 服从 B(n,0.94分布，所求概率 分别为PX=n= n  94 . 0 PX=n-2= 2 2 2 06 . 0 94 . 0 - - 

33、n n n C  PXn-2=1-PXn-1=1- n  94 . 0 - 06 . 0 94 . 0 1 1- n n C 38（1996 年、数学三、选择）设 0P(B1,且 P( 1 A + 2 A |B= P( 1 A |B+ P( 2 A |B,则（ ）成立。

34、 A.( 1 A + 2 A |B =P( 1 A |B +P( 2 A |B B.P( 1 A B + 2 A B= P( 1 A B+ P( 2 A B C.P( 1 A + 2 A =P( 1 A |B+ P( 2 A |B D.P(

35、B= P( 1 A P(B| 1 A + P( 2 A P(B| 2 A 答案 选 B对已知等式 P( 1 A + 2 A |B= P( 1 A |B+ P( 2 A |B两端同时乘以P(B即知。 39 （1998 年、数学三、计算）设考生的报名表来自三个地区，分别有 10份，15 份，25 份，其中女生的分别为 3份， 7 份，5 份。随机地从一地区，先后

36、任取两份报名表，求： (1先取的那份报名表是女生的概率 p；(2已知后取到的报名表是男生的，而先取的那份报名表是女生的概率 q。解：(1 设 i A =考生的报名表是第 i 个地区的，i=1,2,3, B=取到的报名表是女生 的，由全概率公式知：p=P(B= P( 1 A P(B| 1 A + P( 2 A P(B| 2 A +P( 3 A P(B| 3 A =  ´

37、 1 3  1  7  1  1  29  + ´ + ´ = 3  10  3  15  3  5  90  （2）设 C=先取的那份报名表是女生的,D=后取到的报名表是男生的,则 q=P(C|D=  P  CD  (    P(    CD  =  P  D  (    P  CD  + P&#

38、160; C D  (    (    其中 P(CD= P( A  P(CD| A  + P( A  P(CD| A  +P( A  P(CD| A  1  1  2  2  3  3  =  ´ 1 3  7  1  7  8  1  1  20  2&#

39、160; ´ + ´ ´ + ´ ´ = 3  10  9  3  15  14  3  5  24  9  61  90  P( C  D= P( A  P( C  D | A  + P( A  P( C  D | A  +P( A  P( C  D | A  =&#

40、160; 1  1  2  2  3  3  所以可计算得 q=  20  61  40 (1993 年、数学四、填空 设 10 件产品中有 4 件不合格品， 从中任取两件， 已知所取的两件中有一件是不合格品， 则另一件也是不合格品的概率为（ ） 。 答案 填：  1  5  设 A  =所取的第 i 件产品是不合格品 ,i=1,2, A=所取的两件中有一件是不合格品 i  则显然有：A = A  + A  , 1  2  4 3  P  A A  A  P  A  A    10 9  1  (