多面体内切外接球问题

1、多面体内切外接球问题如何突破此类问题是高考的热点，主要考查多面体、球的结构特征及有关计算，考查学生的理解水平和应用能力，考查空间想象能力、计算求解能力、转化与化归能力和分析问题解决问题的能力. 试题源于教材、高于教材，解决此类问题的关键是找到球心、计算出球半径. 笔者在多年的教学中总结出解决此类问题的求解策略如下.教学中，在引导学生掌握“球”的体积与表面积的计算公式的同时，要帮助学生掌握“球”的接切问题如何突破. 突破点就是两个知识点.其一，球面可以看作空间中到一个定点距离等于定长的点的集合. 其二，用一个平面去截一个球，截面是一个圆，圆心与球心连线、截面圆半径、球半径构成直角三角形（垂径关系

2、）. 关键点是怎样帮助学生学会画球的截面图.高考命题专家喜欢考球面题目，是因为球面题最能考出所谓的“空间想象能力”，球的题我们永远也画不清楚，除非画出截面图，从而将立体问题转化为平面问题，能正确分析出图形中的基本元素及其相互关系，而这也正是立体几何教学的能力要求.关于球的题都比较难，解题突破点都是：学生要有能力看到球面就能画出截面图，然后寻找与球心的关系. 因此从知识层面上来说，都没有超过我们所说的两个知识点. 但这两个知识点在教科书上又都是没有的，需要教师引申、拓展. 因此高三阶段在复习“球”的内容时，需要做一个专题，球与三棱锥、球与四棱锥，球与三棱柱，球与四棱柱（长方体、正方体），球与圆柱

3、等的内接、外切都要研究清楚.一. 掌握确定球心位置、计算球半径的常见结论对于一些规则的多面体而言，其外接球和内切球的球心位置或半径都有规律可循.1. 长方体的外接球球心为体对角线的交点；半径为体对角线长的一半.2. 正方体的外接球、内切球及与各棱相切的球外接球：球心是正方体中心；半径r=a ( a为正方体的棱长）.内切球：球心是正方体中心；半径r=a ( a为正方体的棱长）.与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r=a ( a为正方体的棱长）.3. 正四面体的外接球与内切球（正四面体可以看作是正方体的一部分）外接球：球心是正四面体的中心；半径r=a ( a为正四面体的棱长）.内切球：球心是

4、正方体中心；半径r=a ( a为正四面体的棱长）.4. 正棱柱、圆柱的外接球和内切球外接球和内切球的球心在上、下底面中心连线的中点处 .5. 正棱锥的外接球正棱锥的外接球的球心在其顶点和底面中心的连线上，设正棱锥的底面四边形外接圆半径为r，高为h，则其外接球半径R=, R2 = r2 +（h - R)2 .对于一般不规则的外接球球心不好找，放到长方体中不失为一种很好的方法！2. 确定球心位置、计算球半径的特殊方法对于某些特殊形状的多面体，有一些巧妙的方法来解.1. 若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，则可将这个三棱锥补成一个长方体，长方体的对角线长度、中点即为该外接球的直径、球心.2. 另一种特殊

5、三棱锥也可补成长方体，如三棱锥D-中，与平面垂直，与垂直，可构图求之3. 正四面体也可补成正方形（如图）正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，外接球的棱长为4. 一般四面体外接球可找相邻面，过外心与相应面垂直的垂线交点即为外接球球心例1. 已知三棱锥P-ABC的正视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 4 B. 12 C. D. 例2. 如图四面体A-BCD中，平面BD平面BCD，若四个顶点在同一球面上，则该球的体积为（ ）A. B. 3 C. D. 2例3. 在菱形ABCD中, A=600 ，AB，将ABD沿BD折起到PBD的位置,若二面角P-BD-C的大小为 ，则三棱锥

6、P-BCD的外接球体积为 例4.一个棱长为的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 练习：. 2009 年新课标I·理科第15 题（5 分）直三棱柱ABCA1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120°，则此球的表面积等于_ 答案为：202. 2010 年新课标I·理科第10 题（5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）3. 2011 年新课标I·理科第15 题（5 分）（5 分）已知矩形ABC

7、D 的顶点都在半径为4 的球O 的球面上，且AB=6，BC=2 ，则棱锥 OABCD的体积为 答案：8 4. 2012 年新课标I·理科第11 题（5 分） 已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O 的表面上，ABC 是边长为1 的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ） 5. 62015 年新课标I·理科第11 题（5 分） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为16+20，则r=（ ）A1 B2 C4 D8 答案： 选B72016 年新课标I·理科第6 题（5 分） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是 ，则它的表面积