广义带导数的非线性Schrodinger方程的精确解

1、上海大学硕士学位论文广义带导数的非线性Schrodinger方程的精确解姓名：翟雯申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：陈登远20080501摘要本论文主要内容包括：通过方法得到广义带导数的非线性方程（）的孤子解；利用技巧得到的双解及广义双解；首次得到广义带导数的非线性方程族（）的两族对称、相应的代数结构、性质及可积性第二章，叙述双线性导数、行列式、对称及结构的一些基本知识及相关概念第三章，利用方法得到的孤子解；通过约化给出带导数的非线性方程（）形式的孤子解第四章，导出的双解，进而讨论形式的解与形式的解的一致性；通过约化得到的双解；将双元素满足的条件推广到矩阵情形，得到的广义双解，其中包括

2、孤子解、有理解、解、解以及混合解第五章，从对导出的无穷守恒律；证明递推算子是强遗传对称算子，进而给出的两族对称及相应的代数结构；研究的性质及可积性关键词：；方法；技巧；孤子解；有理解；解；解；混合解；无穷守恒律；强遗传对称算子；代数；结构；可积，咖，：；原创性声明本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意貅狂更咻如叩本论文使用授权说明本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许

3、论文被查阅和借阅，学校可以公布论文的全部或部分内容（保密的论文在解密后应遵守此规定）签名：器曼导师签名：酞擎这日期；为妒¨上海大学硕士学位论文第一章§引言孤立子的产生与发展随着自然科学发生的深刻变化，非线性科学贯穿着数理科学、生命科学、空间科学和地球科学，成为当代科学研究重要的前沿领域孤立子作为非线性科学的一个重要分支，已广泛应用于非线性光学、磁通量子器件、生物学、等离子体及光纤孤立子通讯等孤子的发现应追溯到年，英国科学家【】骑马追踪观察运河中船只突然停止时激起的水波，发现了他称之为“孤立波”的现象将这种水波形容为。一个滚圆而平滑，轮廓分明的巨大孤子波峰，以很快的速度离开船

4、头向前运动着，在行进中它的形状和速度并没有明显改变”，但是由于当时条件的限制，未能从理论上证实孤波的存在直到年，荷兰数学家和他的学生在对孤波进行全面分析后指出这种波可近似为小振幅的长波，并以此建立了浅水波运动方程鲁候委茎詈盯面一致的孤立波解如果作变换（¨）其中叩为波面高度，为水深，为重力加速度，是水的密度，是与水的匀速流动有关的常数，是水的表面张力此后他们利用行波法求出与描述三屈，一嘉，扣则方程（）可写成，（地）（）后人为纪念这两位伟大的学者对孤波作出的贡献，将（）或（）称为方程】，简称方程时间跨越了六十年，直到年，著名的物理学家，和三人在研究非线性弹簧联结下的质点系统时，再次发现了

5、类似孤立波的性质，之后继续研究该问题提出链方程，并由此得到孤立波解【】，从而激起人们对孤立波研究的兴趣方程的孤立波解具有波形在传播过程中不随时问而改变且传播速度与振幅成正比的特性，因此较高的波比较低的波运动的快一个自然的问题是两个不同的孤立波经叠加后还是原方程的解吗？由于方程的非线性，人们普遍猜测上海大学硕士学位论文答案是否定的但年，美国著名物理学家和将描述孤立波的函数表示为（，）￥（），疗彳并在计算机上用数值模拟的方法详细考察了等离子体中孤立子碰撞的非线性作用过程，却得出了相反的结果：两个孤立波碰撞后仍表现为两个形状不变的孤立波于是他们就称其为。孤立子”，意思是具有某种粒子的行为和特性后来人

6、们发现光纤通信，神经细胞脉冲传导、木星红斑活动等都存在孤立子特征孤立子作为一种普遍存在的非线性现象进一步激发了科学家们更大的研究热情§孤子方程的求解在孤子理论中，寻找孤子方程的解是非线性发展方程的一个重要的研究课题随着孤子理论的蓬勃发展，一些行之有效的求解方法应运而生，如反散射方法【一、变换【、方法【、技巧、变换【删，分析法【】、变量分离法【】等等方法提供了一种获得孤子解的简单直接的方法，其一般步骤为；首先通过引入位势的变换，将孤子方程化为双线性导数方程，然后将扰动展开式代入到双线性导数方程中，在一定条件下该展开式可以截断至有限项，并可得到线性指数函数形式的单孤子解、两孤子解和三孤子

7、解等具体表达式，并由此猜测出孤子解的一般表达式对于一般表达式可利用数学归纳法验证其成立，但过程比较复杂由于双线性方法以双线性导数为工具，且仅与求解方程有关，而不依赖于方程的对，具有简捷、直观的鲜明特点，其使用范围几乎涵盖了所有反散射变换可解的方程近年来陈登远、张大军、邓淑芳等还利用这种方法发现某些经典的等谱方程也存在非指数函数形式的多孤子解，另一种有效而直接的方法是技巧该方法以方法为基础，即首先得到孤子方程的双线性导数形式或双线性变换，然后选择适当的函数构成行列式（，妒，妒），再代入到双线性导数方程或双线性变换进行验证在解的验证过程中须利用行列式的性质与行列式的恒等式，运算非常简洁、等人应用该

8、方法获得了一系列方程的形式的解，如方程，、方程，、方程【，非线性方程【一，方程【、方程【】，方程等等能够进行解的直接验证，这恰是技巧上海大学硕士学位论文的优势所在除了孤子解可以表示为形式之外，其他形式的解，例如有理解一冽、解、解、解以及混合解也可用行列式表示有理解的形式是由和【】根据和提出的长波求极限的观点给出的年，、以及【将元素满足的方程推广到一个下三角形式的偏微分方程，由标准的过程得到方程的解、解和混合解等许多解解是由随年引入的，这种解是由稳态方程的特征值取正值时得到的解类似的，稳态方程的特征值取负值时得到的解称为解年马文秀提出了方程的解，它是稳态方程的特征值为复数时得到的解，这种解本质上

9、是呼吸子【或高阶呼吸子他还考虑了条件中系数矩阵的规范形式，利用常数变易法给出所有元素的递推公式最近，陈登远等将行列式元素满足的下三角方程推广到任意的矩阵方程，得到方程的新解【】张大军利用线性常微分方程组解的结构理论及矩阵的性质给出一种构造解的方法【一年，、和等证明了当方程的位势系数按孤立子方程演化时，特征值保持不变，以此为突破点，他们利用特征值问题的成果，发展出一套反散射方法该方法已被成功地应用到其它的非线性发展方程中，如方程、非线性方程等等这一方法有其严格的物理背景和数学严谨性，而且可以求出与谱问题相联系的整个等谱发展方程族的多孤子解一般说来，如果给定谱问题的位势，求此谱问题的本征函数及所对

10、应的离散谱、连续谱等散射数据称为正散射问题，反之给定散射数据求谱问题的位势称为反散射问题它的主要步骤是先从与方程相联系的线性问题出发，将所求的位势归结为（）线性积分方程，并建立散射数据与时问的关系，然后由积分方程的解获得初值问题的解在求孤子解的方法中，娩变换也是一种重要的求解方法变换是指给定方程的一组解到同一方程的另一组解或者另外方程解之间的一种关系式，它反映的是一个方程的两组解之间或者两个方程之间的联系】年，利用双线性导数的优势提出了一种从双线性方程出发直接构造变换的方法所得到的变换称为双线性形式的变换【柏】在变换中，形式的变换是一种非常重要的一类变换，如果非线性偏微分方程是一对线上海大学硕

11、士学位论文性问题（谱问题与时问发展式）的相容性条件，这时借助将线性问题化为自身的具有相同的谱参数但位势不同的规范变换可得到位势函数和特征函数之间的联系。这就是型的变换同时也可直接从方程引出变换称为形式的变换，一般个方程同时存在这三种形式的变换，他们往往是等价的当然，精确求解孤子方程的方法远不止这些，并且不断有新的方法出现比如曾云波等提出通过约束流来构造孤子解的方法，王明亮、张卫国、范恩贵、李志斌等提出非线性发展方程孤波解的构造性方法【铝一删，代数几何方法，齐次平衡法，双曲正切函数法等都极大的丰富了求孤子解的方法§可积系统的守恒律无穷守恒律是孤子方程可积的一个重要特征设给定一般非线性偏

12、微分方程（，牡），（）其中（，）是与的函数，而（，）是，仳及的导数的函数，若存在一对连续可微函数（，“）和（），使得当按方程（）发展时满足关系式（，）如（，乱），（）则称此关系式为方程（）的守恒律，而（）和，（，）分别称为守恒密度与连带流如果当趋于无穷时，密度与流充分快地趋于零，则将守恒律在整个数轴上对积分得爰仁（，），（，）称为守恒密度的由来（）可见积分熙“，（）与时间无关而为方程（）的守恒量这就是函数就（）维可积系统而言，自从、和发现方程的无穷守恒律之后，先后出现了一系列的构造方法，其中等人作出相当大的贡献【一一般说来，一个连续系统的无穷守恒律或守恒量可通过以下几个途径来获得：（）通过变换

13、【】一一般方程的五变换都包含部分和乞部分由部分可以构造守恒律的一般表达式，而具体的守恒密度由部分导出的上海大学硕士学位论文方程来获得，这一方法只与所讨论的方程有关，不受对限制，但只能获得单个方程的无穷守恒律（）直接通过对【】一从与方程联系的谱问题导出方程，由此按谱参数展开得守恒密度再从对的时间发展式出发，利用相容性构造守恒律此方法可以获得整个发展方程族的无穷守恒律（）通过特征函数的形式解【镐】一根据特征函数所满足的谱问题给出用指数函数表示的特征函数的形式解，再利用分析技巧构造守恒律该方法也是从对出发，可以获得整个发展方程族的无穷守恒律，但是计算过程复杂，实际应用起来不方便（）通过散射问题及散射

14、量口（）的渐进展开式【】一散射量（）可以通过线性无关的特征函数构成的行列式表示，利用特征函数的渐进式可得（）的渐进式，进而利用口（）与无关的特点，可以得到与谱问题相联系方程的无穷多个守恒量但该方法并不能构造守恒律（）年，和矾【】给出一个漂亮的迹恒等式用以获得该多元系统的守恒律尽管获得无穷守恒律的途径是多样的，但得到的守恒律除去全微分后一般是相同的§可积系统对有限维系统，其优美的几何理论已被建立，其中经典力学中著名的定理】给出了系统可积的一个充分条件对于无限维系统，无穷多个彼此对合的首次积分的存在并不足以引出显式解因此，对无穷维可积系统至今还没有一个确切的定义通常采用两种可积性定义，即

15、意义下的可积性与意义下的可积性判断一个方程是否可积是非常困难的，迄今比较成功的方法是延拓结构法年，和以代数为工具系统地构造了方年，谷超豪、胡和生基于曲面论中的基本方程提出一类方程程的表示的可积性判别准则，是这一方向上的一项重要进展年，曹策问提出保谱发展方程换位表示的新框架，促进换位表示的发展【年，屠规彰等提供了建立孤立子方程结构的简单途径年，屠规彰又运用约束形式变分技巧给出著名的迹恒等式【一，运用这一迹恒等上海大学项士学位论文式，可以十分有效地建立相应方程族的结构马文秀称这一格式为屠格式胡星标将屠格式由代数五推广到上，给出迹恒等式的推广形式，从而扩大屠格式及其应用范围【研究结构的另一系统的方法

16、是由，和等人提出的，在这一方法中，递推算子发挥着关键作用确切的说，这一算子具有由谱问题导出的发展方程族的遗传强对称性质，并且可以分解为两个与算子有关的算子针对具有遗传强对称性质的递推算子的等谱发展方程族，陈登远例给出该方程族具有结构的一个条件；工具有逆辛一辛分解张大军对，和等人的结论推广到离散系统【”随着对可积系统研究的深入，人们逐渐发现很多可积系统之间有内在的联系年，曹策问提出对非线性化方法】曾云波、李翊神将这种方法推广到高阶约束情形删，这种方法实质上是把原系统的位势约束到其相空间的不变子流形上，后来称用这种方法得到的约束为对称约束，其后人们发现许多经典的（）维可积系统也可通过高维可积系统的

17、对称约束非线性对得到作为一个典型的例子，程艺等利用对称约束非线性化系统的对与共轭对导出经典的系统§本文的主要工作本文的主要工作包括：通过方法给出的孤子解；约化得到的多孤子解；利用技巧导出的双解；形式的解与形式的解的一致性被讨论；约化得到的双解；将双元素满足的条件推广到矩阵情形，进而求得的广义双解，其中包括孤子解，有理解，解、解以及混合解；首次构造出的无穷守恒律，通过证明递推算子是遗传强对称算子给出这族方程的一对称、丁一对称及对称的代数结构，进而研究这族方程的性质及可积性论文组织如下：第二章简要地叙述论文所涉及到的孤子理论一些基本概念和定理第三章中，首先给出的形式的孤子解，然后通过约化

18、给出的形式的孤子解第四章中，首先给出的双解，然后讨论形式的解上海大学硕士学位论文与形式的解的一致性；第三节约化得到的双解；在第四节中，将双元素满足的条件推广到矩阵情形，得到的广义双解，然后通过取矩阵为各种特殊的形式，得到孤子解、有理解、解、解以及混合解第五章，构造的无穷守恒律，并证明递推算子是遗传强对称算子；第三节给出这族方程的一对称、一对称及对称的代数结构；第四节研究方程族的性质及可积性上海大学硕士学位论文第二章预备知识§双线性导数的概念及性质双线性导数法是由日本数学家提出【】并在近年发展起来的一种重要的直接方法，它已广泛应用于求各种孤子方程的多孤子解这里我们简要叙述双线性导数的定

19、义与性质设（，）与（，）是变量与的可微函数，引进微分算子玩与玩，使对任意的非负整数和成立硝，（侥一盈，）（如一吃，）虹，）（，），：。，：霉，种导数具有性质：。函数（，）与自身的奇数次双线性导数为零即当为奇数时（）式（）称为函数，与对施行次仇，对施行次眈的双线性导数这。交换函数（，）与（，）的双线性导数的顺序，当导数是偶次时其值不变，而导数是奇次时要改变符号，（一）“，（）事实上，从定义可得磷，夕（一色，）（屯一吃，）（，），），：？，：。（一）”（印一侥）（吃，一以）“（一，），（，），。：，（）”，特别当为奇数且（，）（，）时，公式（）化为（）。函数（，）与数的双线性导数是通常的导数，即：

20、，；露，（）若指数函数的指数是与的线性函数，则称它为线性指数函数于是有。两个线性指数函数的双线性导数等于指数相加的线性指数函数的适当倍数即设白如：，），（）上海大学硕士学位论文则有毋（）”（）“已，由此推得相同的线性指数函数的双线性导数为零；毒，（）（）。设，与为任意可微函数，则成立（珑口）（理）（噬口）幻（：）一（）（），（谚）（：）（）（）】，（）（）（）（），（）（）（）（）眈柚（。）一（）§行列式及其性质行列式设函数咖，），）对一切，具有任意阶的连续导数，则向量（西，咖，如）的阶行列式定义为）（咖，咖，）毋，咖（¨，（）如姑其中？伊咖一行列式（）常缩写为紧凑格式，一

21、一拶。）（）更一般地。我们用，表示咖，（¨，（。¨，妒（。纠，（。，用爵，表示庐（¨，咖（），（，（），咖（，）由定义可以看出，行列式中从第二列开始每一列都是前一列对的导数，所以这种类型的行列式的导数只是少数几个同阶行列式的和依照行列式按列求导法则以及行列式的基本性质可知，一个行列式的导数所包含的项数与行列式的阶数无关，而只依赖于导数的阶数上海大学硕士学位论文设咖，），奶吗（，），）对一切，具有任意阶的连续导数，则向量妒（咖，锄，咖），（砂，仍，）的（）阶双行列式类似的定义为咖咖（一）；妒妒：）妒一（；妒）譬镏；妒妒（）行列式（）可简记为，（；妒）咖，一妒；妒，妒

22、，妒；庐（）行列式的性质行列式具有几个重要性质性质【若记为×（一）矩阵，和都是维列向量，则成立，口，¨，事实上，构造阶行列式（）兰¨川，口兰，（）（）从后行的每一行减去前行的相应行得：列，有卜，州，（）（）再将第一列，列，一列依次加至第一列，第二列，第一：¨州，（）（）可见行列式的值为零将（）按前行展开，应用著名的定理，即得所要的等式（）性质【】设，）是具有个分量的个列向量，一（，）是个不为零的实常数，则成立斟口口硝口町口（）上海大学硕士学位论文式中为列向量（，一，）（）事实上。设元素的代数余子式为玎，于是（）的左端可展开成仉叽汹谢侃触一：一博澍侃一一（

23、）此即为（）的右端性质设（）×是一个阶矩阵，它的列向量和行向量分别为和岛，）（）×是一个阶的算子矩阵，则有隗尻一筒毗叼“耐§（）其中哟（，），风风（，。）事实上，（）的左端为“口硝触斟口神汹硝一曲恰是（）的右端此性质说明算子只分别作用于行列式各列向量相应元素所得个行列式之和与分别作用于行列式各行向量相应元素所得、个行列式之和相等§对称及系统的基本概念定义设（，）是在整个数轴上定义的光滑函数，而（，）是，伊，一的连续函数且具有对各变数的连续偏导数，则对任意的函数（，）和实参数，在方向上的导数定义为乏（缸，如），（）上海大学硕士学位论文鑫导数具有通常导数的运

24、算法则，例如乘积求导的法则设（，）与（，）的导数都存在，则其乘积的导数也存在，且成立（），【】，【】，【】（）定义设非线性发展方程（，），（）的线性化方程为矿，（）则称方程（）的解仃为方程（）的对称定义若存在不显含时间的线性算子圣西（）满足等式西【】垂一圣，（）则称圣为方程（）的强对称算子定义若对任意的函数，（，）与（，），线性算子圣圣（）满足等式西一圣西】，圣（圣【门一圣【】，），（）则西称为遗传对称算子与茂导数密切相关的另一类导数是泛函导数定义设给定实值泛函（，），如果存在函数，（），使对任意函数（，）。均有沿方向的导数等于，与的内积协】（，九），（）则，称为的泛函导数或梯度，记为：，（）

25、定理删设，（，）是实值泛函的泛函导数，尝，则，的导数，为对称算子，；反之，若，坪，则，是泛函，（肚），咖，（）的泛函导数上海大学硕士学位论文定义设给定反对称线性算子，（），若对任意的函数（，），（，）与（，）均有（，【】）（，）（，），则称为辛算子若反对称线性算子（）满足等式（，）（，口）（，），则称为逆辛算子借助辛算子及泛函导数的性质，就能定义无限维方程定义设非线性发展方程（）可表示成¨（，正）（）（，），（）（）（）其中（）是逆辛算子，而，（，）是泛函日的泛函导数，面，则方程（）称为广义的方程，而称为方程的泛函定理设遗传强对称算子垂可分解为逆辛算子与辛算子，的积，且方程（）是广义

26、的方程，则方程族，札）圣（，正）（，），的每一个方程均是广义的方程，机（，）訾（几，），其中泛函巩表示为（）巩（垂“，）（倒），“定理若广义系（）的算子咖庐（）满足条件西，（）（）且函数，不显含时间，则族中方程均是可积的上海大学硕士学位论文第三章的形式的孤子解的导出§也妒，（妒丢。叼钾），妒（芝）工，我们能从它导出广义带导数非线性方程族事实上，设本征函数（妒，仍）饥砂，），三（）屯，（），吼，町口（叩一），：一一（一）一吼，忍，其中矩阵元，与是，的多项式线性问题（）与（）的相容性条件给出（）（）（）将（）与（）代入（）得叩一一，盯，（）（，）（）叼。一一口叩，仇，于是（）与（）可写为

27、叼（：）。（！：）叩（：）叩。（）一叩工（：）一叼仇（：），式中及是积分微分算子，分别为扣（二卜州，（），己一慨邶，是的逆算子表示为一矿吖（）上海大学硕士学位论文山是与无关的积分常数，是二阶单位矩阵，设与是的奇次幂多项式（）壹一，（：）叩一，并取珑，卜工，叩加，在（）中比较叩的同次幂系数得（），一），（）（）由此推得广义带导（）式中是递推算子，其显式为一一一一一一一。）。，、一（）是一族纯微分方程，其右端向量场是等谱流，相邻的等谱流存在递推关系，当，时，对应的方程为，（）（）一当，时，对应的方程为缸。（），七一霉一（）（）（）若取仇（一）一，从（）类似地可得非等谱广义带导数非线性方程族为（）。

28、；），慨¨，上海大学硕士学位论文当时（）是一组微分积分方程，方程右端的向量场是非等谱流，相邻非等谱流存在递推关系对应的第一个非平凡方程为（啦。）互一，（一口）一一（）（）。产：三譬二纛扩一抄群如（一）峥产）（）三互（一口）五一（），（）（）（）一口叩（缸）叼百口叼，一删一（）叩一扣§的形式的孤子解为导出方程（），的双线性导数方程，作分式变换，一（）则有，弘跆卜刍¨弘，凳等，凳学，（）（）令（一谚）夕，（珑）九，等式（）化简为一。，（）（）（）（）。上海大学硕士学位论文以乘（）加减以，乘（），给出珑，：一，（）：一一，（）利用公式（）得，珑一（。）一，（）仉【（）】

29、一一，（）由此推得（），（巧）所以（，）与（）为方程（）的双线性导数方程为解此双线性方程，设，（，），（，），（，）与（，）可按参数展开成级数，（），（），（）（），（）（）（）夕（）巧，（）：（）（）（）（），（）：（）（）（）（），（）将此展开式代入（，）与（），并比较的同次幂系数给出¨一剃，（）；一拳一（现一珑）（），（，（）一趔一（一谚）（），（）（），（），（）密，（），鲤一（：）（）（，（）婴一（珑）（）（）（），（）上海大学硕士学位论文删婴（），（¨，矗爹绺一珑，（）（仇（）（）（），（）（）以箩曼一谚（，（）（，（）（）见（）（）（）（），（）一乎）（¨，）一）一仇，（）（夕（），（）（¨，）一乎）一仇（，（）（，（）（）夕（）（夕（）（夕（）（¨，（）（）（）从（）与（）知（¨，（）有线性指数函数形式的解（）：，九（）：，：七，七，（