二次函数基础知识梳理

1、二次函数基础知识梳理一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标

2、对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4.的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点

3、平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住

4、以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.六、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种

5、形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 九 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式十、二次函数图象的对称十一、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况

6、.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点

7、对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.12、 二次函数的应用1对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 ( ) Ay=(m1) 2x2 By=(m+1) 2x2 Cy=(m2+1)x2 Dy=(m21)x22.已知二次函数y=（m+1）x2有最大值，则m的取值范围是_3.抛物线y=5x2的对称轴为_，顶点坐标为_4.抛物线的对称轴是直线（ ）ABCD5.已知函数的图象关于y轴对称，则m_；6.抛物线+5，顶点坐标是 ,当x 时,y随x的增大而减小， 函数有最 值 .7已知二次函数y=x22x3的函数值y<0，则x的取值范围为_8.已知二次函数ya x2b

8、xc(a0)，其中a、b、c满足abc0和9a3bc0，则该二次函数的对称轴为直线_9.二次函数的图象的顶点坐标是（）A B C D10.抛物线y=8x2+2mx+m-2的顶点在x轴上，则顶点坐标是( ) A(4，0) B C. D(0，)11. 不论x取何值，二次函数y=x2+6x+c的函数值总为负数，则c的取值范围为 . 12已知x、y都是正实数，且满足4x24xyy22xy60，则x（1y）的最小值为 13.若直线ym（m为常数）与函数y的图像恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是_。14已知函数y(a2) x24x1与x轴有交点，则a的取值范围是 ( ) Aa>2 Ba>

9、2且a2 Ca2 Da2且a215.若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是_。16.已知函数y=x22x+k的图象经过点（，y1），（，y2），则y1与y2的大小关系为（ ） Ay1>y2 By1=y2 Cy1<y2 D不能确定17.抛物线yx26x12经过平移得到yx2，则平移方法是 ( ) A向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 B向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度 C向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 D向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度18已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则以下结论：a+b+c<0；ab+c

10、>1；abc>0；4a2b+c<0；ca>1，其中正确结论的序号是 ( ) A B C D19已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(一2，0)、(x，0)，且1<x1<2，与y轴正半轴的交点在(0，2)的下方下列结论：4a2b+c=0；a<b<0；2a+c>0；2a6+1>0其中正确结论的个数是_20. 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点(-1,2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中-2x1-1，0x21，（a<0 ，顶点在第二象限)下列结论：4a-2b+c0；2a-b0；a-1；b2+8a

11、4ac.其中正确的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个21如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：abc0；acb+1=0；OAOB=其中正确结论的序号是_ 22已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（2，y1），（1，y2），（1，0），且y10y2，对于以下结论：abc0；a+3b+2c0；对于自变量x的任意一个取值，都有x2+x；在2x1中存在一个实数x0，使得x0=，其中结论错误的是_（只填写序号）23如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，

12、给出以下结论：abc0 b24ac0 4b+c0 若B（，y1）、C（，y2）为函数图象上的两点，则y1y2当3x1时，y0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）_ 24二次函数（）的图象如图所示，下列结论：；（为不等于1的任意实数）；若，且，则其中正确结论的序号为 25已知二次函数yax2bxc(a0)中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x54321y32565则关于x的一元二次方程ax2bxc2的根是 26已知一次函数y1=kx+m（k0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a0）的自变量和对应函数值如表：x1024y10135x1134y20405当y2y1时，自变量x的取值范

13、围是（）Ax1 Bx4 C1x4 Dx1或x427已知关于x的函数y=ax2+x+1(a为常数) (1)若函数的图象与x轴恰好有一个交点，求a的值 (2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围28.已知函数.（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .（3） 当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小.（4） 求出该抛物线与x轴的交点坐标及两交点间距离；（5） 求出该抛物线与y轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由的图象经过怎样的平移得到的？29如图，抛物线yx2xa与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y2x上（1）求a的值；（2）求A，B的坐标；（3）以AC，C