专题五数列6

1、专题五 数列本专题的主要内容是数列的概念、两个基本数列等差数列、等比数列这部分知识应该是高考中的重点内容考察数列知识时往往与其他知识联系起来，特别是函数知识数列本身就可以看作特殊(定义在N*)的函数因此解决数列问题常常要用到函数的知识，进一步涉及方程与不等式本专题的重点还是在两个基本数列等差数列、等比数列，包括概念、通项公式、性质、前n项和公式§51 数列的概念【知识要点】1从函数的观点来认识函数，通过函数的表示方法，来认识数列的表示方法，从而得到数列的常用表示方法通项公式，即：anf(n)2对数列特有的表示方法递推法有一个初步的认识会根据递推公式写出数列的前几项，并由此猜测数列的一

2、个通项公式3明确数列的通项公式与前n项和公式的关系：Sna1a2an；特别注意对项数n的要求，这相当于函数中的定义域【复习要求】1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类函数【例题分析】例1 根据数列的前五项写出该数列的一个通项公式：(1)，； (2)2，6，18，54，162；(3)9，99，999，9999，99999； (4)1，0，1，0，1，0分析：本题需要观察每一项与项数之间存在的函数关系，猜想出一个通项公式这种通过特殊的元素得到一般的规律是解决问题的常用方法，但得到的规律不一定正确，可经过证明来验证你的结论解：(1) ； (2)a

3、n2×(3)n1； (3)an10n1； (4) 评析：(1)中分数的考察要把分子、分母分开考察，当然有时分子分母之间有关系；(2)中正负相间的情况一定与(1)的方次有关；(3)中的情况可以扩展为7，77，777，7777，77777an(10n1)；(4)中的分段函数的写法再一次体现出数列是特殊的函数，也可写成，但这种写法要求较高例2 已知：数列an的前n项和Sn，求：数列an的通项公式an，(1)Snn22n2； (2)Sn()n1分析：已知数列前n项和Sn求通项公式an的题目一定要考虑n1与n2两种情况，即：anSnSn1不包含a1，实际上相当于函数中对定义域的要求解：(1)当

4、n1时，a1S11，当n2时，anSnSn12n3，则(2)当n1时，a1S1，当n2时，anSnSn1，此公式也适合n1时的情况，则an评析：分情况求出通项公式an后，应考察两个式子是否能够统一在一起，如果能够统一还是写成一个式子更加简洁；如果不能统一就要写成分段函数的形式，总之分情况讨论后，应该有一个总结性结论例3 已知：数列an中，a10，an1an2n1，(1)写出此数列的前4项；(2)根据前4项，猜出数列的一个通项公式分析：这种归纳、猜想、证明的方法是解决问题中经常用到的，本题不要求证明，只是考察学生的归纳、猜想能力解：(1)a10，a2a12×111，a3a22×

5、;214，a4a32×319(2)根据an与n的关系，由此得出an(n1)2评析：这种猜想的问题中，特殊元素的计算一定要准确(尤其每一个结果要用到下一步运算)，否则猜想不出来或猜想错误例4 完成下列各题：(1)数列an中，a12，an1anln(1)，则a3等于( )(A)2ln3(B)22ln3(C)23ln3(D)4(2)已知数列an对任意的p，qN*满足apqapaq，且a26，那么a10等于( )(A)165(B)33(C)30(D)21(3)数列an中，an4n，a1a2anan2bn，nN*，其中a，b为常数，则ab_分析：本题中三个小题都涉及数列的递推关系，这类问题，最

6、好的办法是给n赋值，通过特殊的项找到一般的规律解：(1)an1anln(1)ananln(n1)lnn，a2a1ln(11)ln12ln2，a3a2ln(21)ln22ln3选A(2)apqapaq，a2a11a1a16a13，a3a21a2a1639，a5a32a3a29615，a10a55a5a530选C(3)a1a2anan2bn，an4n，ab1评析：这种通过特殊的项解决数列问题的方法今后经常用到，希望大家掌握练习51一、选择题1数列，的通项公式为( )(A)(B)(C)(D)2若数列的前四项是3，12，30，60，则此数列的一个通项公式是( )(A)(B)5n26n4(C)(D)3数

7、列an中，若a11，a21，an2an1an，则a7( )(A)11(B)12(C)13(D)144若数列an的前n项和为Sn，且Snan1，则an( )(A)(B)(C)(D)二、填空题5数列2，5，2，5，的一个通项公式_6数列an的前n项和Snn2，数列an的前4项是_，an_7若数列an的前n项和Sn2n23n1，则它的通项公式是_8若数列an的前n项积为n2，则a3a5_三、解答题9已知：数列an中，若a1，a1a2annan，求数列an前4项，并猜想数列an的一个通项公式10已知：数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，求数列的第50项§52 等差数列与等比数列【

8、知识要点】1熟练掌握等差数列、等比数列的定义anan1d(常数)(n2)数列an是等差数列；(常数)(n2)数列an是等比数列；由定义知：等差数列中的项an及公差d均可在R中取值，但等比数列中的项an及公比q均为非零实数应该注意到，等差数列、等比数列的定义是解决数列问题的基础，也是判断一个数列是等差数列、等比数列的唯一依据2明确等差中项与等比中项的概念，并能运用之解决数列问题ba、b、c成等差数列，b叫做a、c的等差中项，由此看出：任意两个实数都有等差中项，且等差中项唯一；若abc0，且b2aca、b、c成等比数列，b叫做a、c的等比中项，由此看出：只有同号的两个实数才有等比中项，且等比中项不

9、唯一3灵活运用等差数列、等比数列的通项公式an及前n项和公式Sn等差数列an中：anam(nm)da1(n1)d，Sn；等比数列an中：anamqnma1qn1，4函数与方程的思想运用到解决数列问题之中等差数列、等比数列中，首项a1、末项an、项数n，公差d(公比q)、前n项和Sn，五个量中，已知三个量，根据通项公式及前n项和公式，列出方程可得另外两个量；等差数列中，andna1d、Snn2(a1)n，可看作一次函数与二次函数的形式，利用函数的性质可以解决数列问题5等差数列、等比数列的性质等差数列an中：若mnpq，则amanapaq；等比数列an中：若mnpq，则am·anap&#

10、183;aq【复习要求】1理解等差数列、等比数列的概念2掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系【例题分析】例1 完成下列各题：(1)等差数列an中，若a2a812，则a5( )(A)7(B)6(C)5(D)4(2)若等差数列an满足a2a44，a3a510，则它的前10项的和S10( )(A)138(B)135(C)95(D)23分析：本题在于考察等差数列的基本知识，通项公式及前n项和公式是一切有关数列中考察的重点解：(1)数列an是等差数列，a2a8a5

11、3da53d2a512，a56选B(2)等差数列an中a2a44，a3a510，a32，a45，公差d3，首项a14，a10a19d42723，S10×1095选C评析：本题中涉及等差数列中的重要性质：若mnpq，则amanapaq，(1)中可直接应用这一性质：a2a8a5a52a5得到结论，但题中所给的答案可看作这一性质的证明，同时，等差数列中通项公式并不一定要用首项表示，可以从任何一项开始表示an，这也是常用的方法例2 已知：等差数列an的前n项和为Sn，且S516，S1064，求S15分析：本题可对等差数列的知识加以进一步考察，可以用求和公式，也可运用等差数列的性质加以解决解：

12、方法一：由可得，所以S1515a1d144方法二：等差数列中a1a2a3a4a5、a6a7a8a9a10，a11a12a13a14a15这三项也构成等差数列，即：由a1a2a3a4a5S516，a6a7a8a9a10S10S5641648，a11a12a13a14a15S15S10S1564，可得2×4816S1564，S15144方法三：S10S6×5641648，a6a10，a1a15a6a10，S15×15144评析：本题中方法一是直接应用前n项和公式，得出首项与公差，再用公式得出所求，应是基本方法，但运算较繁琐；方法二充分注意到等差数列这一条件，得到的结论

13、可以扩展为等差数列中第1个n项和、第2个n项和、第n个n项和仍然成等差数列，你知道这时的公差与原数列的公差的关系吗？这一方法希望大家掌握；方法三是前n项和公式与等差数列的性质的综合应用，大家可以借鉴例3 完成下列各题：(1)等比数列an中，若a22，a5，则公比q( )(A)(B)2(C)2(D)(2)等比数列an满足a1a23，a2a36，则a7( )(A)64(B)81(C)128(D)243(3)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若S102，S3014，则S40( )(A)80(B)30(C)26(D)16分析：本题中各小题是在运用等比数列的基本知识来解决，通项公式与前n项和公

14、式要熟练运用解：(1)数列an是等比数列，a5a2q3，即：2q3，q选D(2)数列an是等比数列，a7a1·q62664选A(3)方法一 等比数列an的前n项和为Sn，(*)，两式相除：7，即：1q10q207所以q102或q103(舍)把q102代入(*)中得到：2，S40(2)(124)30选B方法二 a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30，a31a32a40，也构成等比数列，设新等比数列的公比为p，则：a1a2a10S102，a11a12a202p，a21a22a302p2S3022p2p214，p3或p2，等比数列an的各项均为正数，p2，a1a2a102、

15、a11a12a204、a21a22a308、a31a32a4016，S402481630评析：(1)中是通项公式的变形使用，即：anam·qnm(等差数列也有类似的表示)，(3)中方法一仍是解决此类问题的基本方法，注意把看成整体来求，方法二沿用了前面等差数列中此类问题解决的一个方法，这在等比数列中也适用，即：等比数列中第1个n项和、第2个n项和、第n个n项和仍然成等比数列，同样，你知道这时的公比与原数列的公比的关系吗？例4 已知：等差数列an中，且bn(1)求证：数列bn是等差数列；(2)若a11，求数列an，bn的通项公式分析：运用等差数列的两个公式两个数列都是等差数列，所求通项就

16、离不开首项和公差解：(1)数列an是等差数列，设公差为d，a1a2an×n，bn，bnbn1(n2)，数列bn是等差数列，公差为(2)bn，b1a11，数列an、bn是等差数列，d，an1(n1)×.评析：(1)是证明数列是等差(等比)数列的问题，采取的方法只能是运用定义，满足定义就是，不满足定义就不是例5 已知：等差数列an中，a312，S120，S130求：数列an的公差d的取值范围分析：按照所给的条件，明显的是把两个不等的关系转化为关于公差d的不等式解：数列an是等差数列，即：，即：d3评析：也可直接运用Snna1得到关于a1与d的不等式，再通过通项公式得到a3与a1

17、的关系，进而求出d范围例6 已知四个数中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一、四个数的和为16，第二、三个数的和为12，求这四个数分析：本题中，方程的思想得到明显的体现，实际上数列问题总体上就是解方程的问题，根据所给的条件，加上通项公式、前n项和公式列出方程，解未知数，通过前面的例题大家应该有所体会了解：方法一：设这四个数为：a，b，12b，16a则根据题意得：或，则这四个数为：0、4、8、16或15、9、3、1方法二：设这四个数为：ad，a，ad，则根据题意得：或，则这四个数为：0、4、8、16或15、9、3、1评析：列方程首先就要设未知数，题目中要求四个数，但不要就设四个未知数，

18、要知道，方程的个数与未知数的个数一样时才有可能解出，因此在设未知数时就要用到题目中的条件方法一是用“和”设未知数，用数列方程；方法二是用数列设未知数，用“和”列方程例7 在等差数列an中，a410，且a5，a6，a10成等比数列求：数列an前20项的和S20分析：本题最后要求的是等差数列的前20项和，因此，求首项、公差以及通项公式就是必不可少的解：数列an是等差数列，a5a4d10d，a6a42d102d，a10a46d106d，a5，a6，a10成等比数列，aa5·a10，即(102d)2(10d)(106d)，d0或d15，当d0时，ana410，S20200；当d15时，ana

19、4(n4)d15n70，1750评析：在等差、等比数列综合问题中，往往出现多解的情况，对于多个解都要一一加以验证，即使不合题意也要说明，然后舍去例8 在等差数列an中，an3n16，在数列bn中，bn|an|，求数列bn的前n项和Sn分析：由于对含有绝对值的问题要加以讨论，因此所求的前n项和Sn应该写成分段函数的形式解：(1)当n5时，an0，则：bn|an|163n，且b113，Sn(2)当n6时，an0，bn|an|3n16，所以S535，b62，Sn，由(1)(2)知：Sn评析：当n6时，前5项和要加在Sn中本题得到的结果形式上比较复杂，可通过赋值的方法加以验证练习52一、选择题1实数、

20、的等差中项是( )(A)(B)(C)(D)2若等差数列的首项是24，且从第10项开始大于零，则公差d的取值范围是( )(A)d(B)d3(C)d3(D)d33等比数列an中，若a1a240，a3a460，则a7a8( )(A)80(B)90(C)100(D)1354等差数列an的前n项和为Sn，若S41，S84，则a17a18a19a20( )(A)7(B)8(C)9(D)10二、填空题5(1)等差数列an中，a6a7a860，则a3a11_；(2)等比数列an中，a6·a7·a864，则a3·a11_；(3)等差数列an中，a39，a93，则a12_；(4)等比

21、数列an中，a39，a93，则a12_6等比数列an的公比为正数，若a11，a516，则数列an前7项的和为_7等差数列an中，若an2n25，则前n项和Sn取得最大值时n_8等比数列an中，a5a6512，a3a8124，若公比为整数，则a10_三、解答题9求前100个自然数中，除以7余2的所有数的和10三个互不相等的数成等差数列，其和为6，适当排列后这三个数也可成等比数列，求这三个数11在等比数列an中，a12，前n项和为Sn，数列an1也是等比数列，求：数列an的通项公式an及前n项和Sn§53 数列求和【知识要点】1数列求和就是等差数列、等比数列的求和问题，还应掌握与等差数列

22、、等比数列有关的一些特殊数列的求和问题2数列求和时，首先要明确数列的通项公式，并利用通项公式找到所求数列与等差数列、等比数列之间的联系，利用等差数列、等比数列的求和公式解决问题3三种常见的特殊数列的求和方法：(1)直接公式法：解决一个等差数列与一个等比数列对应项相加而成的新数列的求和问题；(2)错位相减法：解决一个等差数列与一个等比数列对应项相乘而成的新数列的求和问题；(3)裂项相消法：解决通项公式是等差数列相邻两项乘积的倒数的新数列的求和问题【复习要求】特殊数列求和体现出知识的“转化”思想把特殊数列转化为等差数列、等比数列，而在求和的过程中又体现出方程的思想【例题分析】例1 求下列各式(1)

23、；(2)1×22×223×23n×2n；(3)；(4)分析：我们遇到的数列求和的问题是一些特殊的数列，即与等差、等比数列密切相关的数列，最后还是回到等差、等比求和的问题上解：(1)(2)设Sn1×22×223×23n×2n_所以(3).(4)评析：(1)中数列可看成一个等差数列与一个等比数列对应项相加而成，直接运用前n项和公式即可；(2)中数列可看成一个等差数列与一个等比数列对应项相乘而成，采用错位相减的方法，相减以前需要每一项乘以等比数列的公比，然后错位相减，还是利用等比数列的前n项和公式，注意错位后最后一项相减

24、时出现的负号，这是极容易出错的地方；(3)(4)都是裂项相消，都与等差数列有关，(3)中的形式更加常见一些，注意裂项后的结果要与裂项前一致，经常要乘一个系数(这个系数恰好是等比数列的公比的倒数)例2 求下列数列的前n项和Sn(1)1，5，9，13，17，21，(1)n1(4n3)；(2)1，；(3)1，12，1222，122223，12222n1分析：对于一个数列来说，最重要的是通项公式，有了通项公式，就可以写出所有的项，就可以看出其与等差、等比数列的关系，从而利用等差、等比数列的前n项和得出结论解：(1)方法一：当n是奇数时，1(5)9(13)17(21)(1)n1(4n3)(19174n3

25、)51321(4n7)当n是偶数时，1(5)9(13)17(21)(1)n1(4n3)(19174n7)51321(4n3)2n方法二：当n是奇数时，1(5)9(13)17(21)(1)n1(4n3)(15)(913)(1721)(4n114n7)(4n3)(4)×(4n3)2n1当n是偶数时，1(5)9(13)17(21)(1)n1(4n3)(15)(913)(1721)(4n74n3)(4)×2n(2)此数列中的第n项所以(3)此数列中的第n项an12222n12n1所以1(12)(1222)(12222n1)(211)(221)(231)(2n1)(2122232n)

26、nn2n12n评析：(1)中带有(1)n，需要讨论最后一项的正负，方法一是把正、负分，看成两个等差数列，方法二应该是多观察的结果，但都要对n加以讨论，(2)(3)都要先写出通项，然后每一项按照通项的形式写出，很明显地看出方法例3 已知：数列1，1，2，的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列对应项相加而成，求：这个数列的前10项的和分析：这又是一个数列中体现方程思想的题目，通过所给的三项，列出方程，得到等差、等比数列的首项与公差、公比解：设组成数列1，1，2，的等比数列为an，首项为a1，公比为q；等差数列为bn，首项b10，公差为d，由题知：，则：an2n1，bn0(n1)(1)1n，该

27、数列的前10项的和Sa1a2a10b1b2b10评析：本题的求和，应是直接运用两个特殊数列的求和公式例4 数列an中，a11，an12an2n(1)设bn，求证：数列bn是等差数列；(2)求：数列an的前n项和Sn分析：对于证明数列是等差、等比数列的问题，还是要应用定义解：(1)证明：bn，bn1，bn1bn1；，数列bn是首项、公差都为1的等差数列，所以bnn(2)由(1)中结果，设bn时，bnn，则ann·2n1，Sn1×202×213×224×23(n1)2n2n·2n1_Snn·2n(n1)·2n1评析：证

28、明数列是等差、等比数列时，如果可能应强调首项与公差，证明后，往往要用到这个数列，因此证明完后应把数列的通项写出，便于解决其他问题练习53一、选择题1数列，的前n项之和Sn( )(A)(B)(C)(D)2若数列，它的前n项的积大于105，则正整数n的最小值是( )(A)12(B)11(C)10(D)83数列an的通项公式，若前n项和Sn3，则n( )(A)3(B)4(C)15(D)164数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于( )(A)1(B)(C)(D)二、填空题5若，且Sn·Sn1，则n_6若lgxlgx2lgx3lgxnn2n，则x_7数列1，(12)，(1222)，(12

29、222n1)的前99项和是_8正项等比数列an满足：a2·a41，S313，若bnlog3an，则数列bn的前10项的和是_三、解答题9设等差数列an的前n项和为Sn，且S77，S1575，求数列的前n项和Tn的解析式10已知函数f(x)a1xa2x2anxn(nN*)，且a1，a2，an构成等差数列，又f(1)n2求数列an的通项公式11在等比数列an中，公比q1，Sna1a2an，(1)用a1、q、n表示；(2)若、成等差数列，求q的值§54 数列综合问题【知识要点】1灵活运用等差数列、等比数列的两个公式及一条性质来解决综合问题2能解决简单的由等差数列、等比数列形成的新

30、数列的问题3能够利用等差数列、等比数列的定义来确定所给数列是等差数列、等比数列【复习要求】通过简单综合问题的解决，加深对等差数列、等比数列中，定义、通项、性质、前n项和的认识加深数列是特殊的函数的认识，符合高中阶段知识以函数为主线【例题分析】例1 完成下列各题：(1)数列an中，若a11，an1an，则a5_；(2)数列an中，若a12，an1ann1，则通项an_分析：叠加的方法应该是解决数列的通项以及求和问题中常见的方法解：(1)a5(a5a4)(a4a3)(a3a2)(a2a1)a1(2)an1ann1，an1ann1，利用叠加法，有：a2a111a3a221a4a331) anan1(

31、n1)1_ana1234n(n2)(n1)整理得an评析：叠加时一定要注意首、尾项的变化，尤其是符号例2 数列an是一个等差数列，且a21，a55求：(1)an的通项an；(2)an前n项和Sn的最大值分析：应该是等差数列中的基本问题，还是用两个基本公式在解决问题解：(1)设an的公差为d，由已知条件解出a13，d2.ana1(n1)d2n5；(2)Snna1dn24n(n2)24n2时，Sn取到最大值4评析：对于等差数列的前n项和的最值问题，看成二次函数的最值问题应该是基本方法例3 已知数列an中，a11，an1，设bn，求数列bn的前n项和Sn分析：注意观察所给数列变形后与等差、等比数列有

32、哪些联系，这个联系一定要找到，而且一定有联系，显然本题中a是等差数列解：由题知：数列an中an0，an1，aa2，a1，数列a是首项为1，公差为2的等差数列，a1(n1)×22n1，an0，评析：对于开方的问题一定要考虑正、负，而裂项求和(也可以看作分母的有理化)在前一节中也比较多地提到例4 等差数列an的各项均为正数，a13，等比数列bn中，b11且b2(a1a2)64，b3(a1a2a3)960求：数列an、bn的通项公式分析：还是方程思想在数列中的体现，利用所给条件，列出方程得到公差与公比，从得到通项公式解：(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，等差数列an的

33、各项均为正数，d0，a1a22a1d6d，a1a2a33a13d93d，等比数列bn中，b2b1qq，b3q2，b2(a1a2)64，b3(a1a2a3)960，得d2或d，d0，d2，此时q8，an2n1，bn8n1评析：注意题目中所给的条件如何运用，例如：等差数列an的各项均为正数，隐含着给出d0，从对最后的结果产生影响例5 完成下列各题：(1)若一个直角三角形三边长成等比数列，则( )(A)三边长之比345(B)三边长之比为31(C)较大锐角的正弦为(D)较小锐角的正弦为(2)ABC中，如果角A、B、C成等差数列，边a、b、c成等比数列，那么ABC一定是( )(A)直角三角形(B)等腰直

34、角三角形(C)等边三角形(D)钝角三角形分析：解决三角形中的问题是一定要用到正弦定理、余弦定理三角形的内角和等于恰好使等差数列的条件得以运用，从而得到角B为的结论，在利用余弦定理找到边之间的关系，应该是数列与三角综合问题中常见的方法解：(1)由题中条件可设三边为：a、aq、aq2(q1)，由勾股定理：a2a2q2a2q4，则：q4q210，设较小锐角为A，其对边为a，则：选D(2)在ABC中，角A、B、C成等差数列，有余弦定理：cosB，得：a2c2b2ac，三条边a、b、c成等比数列，b2ac，a2c22ac0，即：ac，ABC一定是等边三角形选C评析：解决与三角形有关的问题时，一定要想到正

35、弦定理、余弦定理，与数列综合时，应把角的关系转化为边的关系，因为边成等比数列，所以用边判断三角形形状应该是正确的选择例6 已知数列an的前n项和Snnpan，且a1a2(1)确定p的值；(2)判断数列an是否为等差数列分析：本题中存在递推的关系，解决时还是通过赋值，找到结论，赋值时要多赋几个，以免出现冲突解：(1)Snnpan，S1a1pa1，a10或p1S2a1a22pa2，当p1时，有a1a22a2a1a2与已知矛盾，p1，a10(且a20)，S2a1a22pa2，a20，p(2)由(1)中结论：Snnan，即：2Snnan，则2Sn1(n1)an1，两式相减：2(Sn1Sn)2an1(n

36、1)an1nan ，同理得到：2annan(n1)an1(n2) ，得到：2an12an(n1)an12nan(n1)an1(n2)，整理得到：2(n1)an(n1)an1(n1)an1(n2)，n2，2anan1an1，即：an1ananan1，数列an是等差数列评析：(1)中对n1得到的结论要加以验证，这也是为什么要多赋几个值的原因，(2)中开始由Sn求an的方法应该掌握，而后面得到结论的方法并不多见，实际上是在找数列中连续三项存在的关系，最后得到的也是等差数列的定义，即：每一项与其前一项的差都相等，这与anan1是常数略有不同，希望大家了解例7 在数列an中，Sn14an2，且a11(1

37、)若bnan12an，求证：数列bn是等比数列；(2)若cn，求证：数列cn是等差数列；(3)数列an的通项公式an及前n项和公式Sn分析：还是要应用定义来证明等差、等比数列解：(1)Sn14an2，Sn4an12(n2)，an1Sn1Sn4an4an1，an12an2(an2an1)，即：bn2bn1，Sn14an2，a11，S2a1a24a12，a25，b1a22a13，数列bn是首项为3，公比为2的等比数列，即bn3·2n1(2)cn，bn3·2n1，c1，数列cn是首项为，公差为等差数列，即cnn.(3)cn，an2n·cn，_Sn1(22232n)2n1

38、×(n)Sn(3n4)·2n12评析：前两问实际上是第三问的铺垫，证明等差、等比数列后，要写出通项公式，为下一步的问题作准备错位相减时要注意计算，方法再好，结果是错的，也不能说明你的水平练习54一、选择题1等差数列an中，a1895，a32123，若an199，则n( )(A)78(B)74(C)70(D)662数列2n229n3中的最大项是( )(A)107(B)108(C)(D)1093等比数列an中，若前n项和Sn2n1，则aaa( )(A)2n1(B)(2n1)(C)4n1(D)(4n1)4在ABC中，cotA是等差数列an的公差，且a34，a74，cotB是等比数

39、列bn的公比，且b3，b69，则这个三角形是( )(A)钝角三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)等腰三角形二、填空题5若等差数列an中，a1a35，a8a1019，则前10项和S10_6等比数列an中，an0，公比q1，若a3、a5、a6成等差数列，则_7等差数列an中，a10，S4S9，当Sn取得最大值时，n_8数列an中，若a11，an1，则通项公式an_三、解答题9递增等比数列an满足a2a3a428，且a32是a2、a4的等差中项求an的通项公式an10已知数列xn的首项x13，xn2npnq，且x1，x4，x5成等差数列(1)求常数p，q的值；(2)求数列xn的前n项的和Sn

40、的公式11已知an是正数组成的数列，a11，且点(，an1)在函数yx21的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)若列数bn满足b11，bn1bn，求证：bn·bn2b习题5一、选择题1等差数列an的前n项和为Sn，若a21，a33，则S4( )(A)12(B)10(C)8(D)62等比数列an中，an0，如果a1a52a3a5a3a725，那么a3a5( )(A)5(B)10(C)15(D)203等差数列an中，a1a4a715，a3a6a93，则S9( )(A)18(B)45(C)36(D)274若数列an的前n项和Sn5n2n，则a6a7a8a9a10( )(A)490(B)

41、120(C)370(D)605将n2个正整数1，2，3，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数字和相等，这个正方形就叫做n阶幻方如下图，就是一个3阶幻方定义f(n)为n阶幻方每条对角线上数的和，例如f(3)15，那么f(4)的值为( )816357492(A)35(B)34(C)33(D)32二、填空题6等差数列an中，a53，若其前5项和S510，则其公差d_7数列an中，a13，a26，若an2an1an，则a6_，a2009_8设f(n)123n，nN*，则f(25)_9等差数列an中，an0，aan1an1(n2)，若S2n138，则n_10若数列an满足：

42、a1，anan1 (n2)，则a10等于_三、解答题11已知数列an是等差数列，a318，a612求：(1)数列an的通项公式；(2)数列an的前多少项和最大，最大值是多少？12已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，且Sn2an2(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Tn，且bn，求证：对任意正整数n，总有Tn2；13已知an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313(1)求an，bn的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn14如果有穷数列a1，a2，a3，am(m为正整数)满足条件a1am，a2am1，ama1，即aiami1(

43、i1，2，m)，我们称其为“对称数列”例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”(1)设bn是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b12，b411依次写出bn的每一项；(2)设cn是49项的“对称数列”，其中c25，c26，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求cn各项的和S；(3)设dn是100项的“对称数列”，其中d51，d52，d100是首项为2，公差为3的等差数列，求dn前n项的和Sn(n1，2，100)参考答案专题五 数列练习51一、选择题1B 2A 3C 4D提示：2对n进行赋值，利用排除法，得到A中结果满足题目要求4(1)当

44、n1时，S1a1a11a1(2)当n2时，S2a1a2a21a2，由(1)(2)知：数列an的通项都适合二、填空题5，均可61、3、5、7；an2n1 7 8提示：8由题知a1·a2224，a1·a2·a3329，所以，a1·a2·a3·a44216，a1·a2·a3·a4·a55225，所以三、解答题9解：a1a22a2；a1a2a33a3；a1a2a3a44a4，猜想：10解：由题知：数列的前50项中有：1个1、2个2、3个39个9，此时共有123945项，还有5个10，则a5010练习52

45、一、选择题1A 2D 3D 4C提示：2由题知：d3二、填空题5(1)40 (2)16 (3)0 (4) 6127 712 8512提示：7方法一 由题知：当n12时，an0；当n13时，an0，因此前12项和最大方法二 ，则当n12时，Sn最大，最大值为1448由等比数列的性质得a5a6a3a8512，则有或，公比为整数，公比，所以q2，a10a8·q2128×(2)2512三、解答题9解：由题知：前100个自然数(0，1，2，98，99)中，除以7余2的所有数构成首项为2，公差为7的等差数列an，所以an7n5，前100个自然数中最后一个除以7余2是a1493，则：前1

46、00个自然数中，除以7余2的所有数的和10解：设这三个数为2d，2，2d(d0)，由题意：当2d为等比中项时，有(2d)22(2d)d6，这三个数：4，2，8；当2为等比中项时，有22(2d)(2d)d0(舍)，无解；当2d为等比中项时，有(2d)22(2d)d6，这三个数：8，2，4；综上所述：这三个数为4，2，8或8，2，411解：数列an为等比数列，an2qn1，数列an1也是等比数列，(a21)2(a11)(a31)即(2q1)23·(2q21)，4q24q16q23，q1，an2，所以Sn2n练习53一、选择题1A 2B 3C 4B提示：2，即：n(n1)110，所以nmin113，二、填空题56 6100 72100101 825提示：