人教版八年级下册勾股定理单元综合题含答案

1、第十七章 勾股定理一、选择题 1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100 cm,15 cm和10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为()A 115 cmB 125 cmC 135 cmD 145 cm2.如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略 不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是()A 13 cmB 2cmCcmD 2cm3.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处

2、撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是()A 5 mB 12 mC 13 mD 18 m4.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(ab)2的值为()A 13B 19C 25D 1695.从电杆上离地面5 m的C处向地面拉一条长为7 m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是()A 24B 12CD 26.如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南

3、方向24 m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为()A 45 mB 40 mC 50 mD 56 m7.如图所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？()A 4米B 3米C 5米D 7米8.在ABC中，三边长满足b2a2c2，则互余的一对角是()A A与BB B与CC A与CD 以上都不正确9.如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是()A 20B

4、25C 30D 3210.下列选项中，不能用来证明勾股定理的是()ABCD二、填空题 11.如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到D，则橡皮筋被拉长了_ cm.12.一直角三角形两直角边长的比是34，斜边长是20，那么这个直角三角形的面积是_13.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”，如果大正方形面积为169，且直角三角形中较短的直角边的长为5，则中间小正方形面积(阴影部分)为_14.甲船以每小时16海里的速度从港口A出发向北偏东50°的方向航行，乙船以每小时12海里的速

5、度同时从港口A出发向南偏东方向航行，离开港口2小时后两船相距40海里，则乙船向南偏东_方向航行15.如图P(3,4)是直角坐标系中一点，则P到原点的距离是_16.如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处，如果小强同学站在平安路与新兴大街的交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为_ m.17.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈(1丈10尺)的正方形，在水池正中央长有一

6、根芦苇，芦苇露出水面 1 尺如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为_18.如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成_个直角三角形19.在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦.3世纪，汉代赵爽在注解周髀算经时，通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方在ABC中，C90°，斜边AB13，AC12，则BC的长度为_20.九章

7、算术中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈(1丈10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB表示竹梢触地处离竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度OA是_尺三、解答题 21.如图，在ABC中，ACB90°，BC15，AC20，CD是高(1)求AB的长；(2)求ABC的面积；(3)求CD的长22.阅读下列解题过程已知a、b、c为ABC为三边，且满足a2c2b2c2a4b4，试判断ABC的形状解：a2c2b2c2a4b4c2(a2b2)(a2

8、b2)(a2b2)c2a2b2ABC是直角三角形回答下列问题：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号_(2)错误原因为_(3)本题正确结论是什么，并说明理由23.如图所示的一块地，AD9 m，CD12 m，ADC90°，AB39 m，BC36 m，求这块地的面积24.如图，在RtABC中，BAC90°，AD是中线，AE是高，AC6，AD5，求AE的长25.如图，在四边形ABCD中，BADDBC90°，若AD4 cm，AB3 cm，BC12 cm，求CD的长26.在下列数轴上作出长为的线段，请保留作图痕迹，不写作法27.如图，在四边形ABCD中，

9、D90°，AD3，DC4，AB12，BC13.求四边形ABCD的面积28.已知a、b、c满足|a|(c4)20.(1)求a、b、c的值；(2)判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由答案解析1.【答案】B【解析】展开图为则AC100 cm，BC15×310×375 cm，在RtABC中，AB125 cm.所以蚂蚁所走的最短路线长度为125 cm.故选B.2.【答案】A【解析】如图：高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上

10、沿3 cm与饭粒相对的点A处，AD5 cm，BD123AE12 cm，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A，连接AB，则AB即为最短距离，AB13(cm)故选A.3.【答案】D【解析】旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12 m，旗杆离地面5 m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形根据勾股定理，折断的旗杆为13 m，所以旗杆折断之前高度为13 m5 m18 m.故选D.4.【答案】C【解析】根据题意，得c2a2b213,4×ab13112，即2ab12，则(ab)2a22abb2131225，故选C.5.【答案】D【解析】由题意可得，在RtABC中，

11、AB2(m)，故选D.6.【答案】B【解析】已知东北方向和东南方向刚好是一直角，AOB90°，又OA32 m，OB24 m，AB40 m.故选B.7.【答案】A【解析】由题意可知，BECD1.5 m，AEABBE4.51.53 m，AC5 m，由勾股定理，得CE4 m，故离门4米远的地方，灯刚好打开，故选A.8.【答案】C【解析】ABC的三边长满足b2a2c2，b2a2c2，ABC是直角三角形且B90°，AC90°.故选C.9.【答案】B【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距

12、离是5，BDCDBC10515，AD20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，BDCDBC20525，AD10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB5；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，ACCDAD201030，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB5；2555，蚂蚁爬行的最短距离是25，故选B.10.【答案】D【解析】A，B，C都可以利用图形面积得出a，

13、b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；D不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确故选D.11.【答案】2【解析】RtACD中，ACAB4 cm，CD3 cm；根据勾股定理，得AD5 cm；ADBDAB2ADAB1082 cm；故橡皮筋被拉长了2 cm.12.【答案】96【解析】根据题意设两直角边分别为3k,4k(k0)，由斜边为20，利用勾股定理，得9k216k2400，即k216，解得k4，则两直角边分别为12和16，所以这个直角三角形的面积×12×1696，13.【答案】49【解析】设直角三角形中较长的直角边的长为a，由题意得a252169解得a

14、12，则中间小正方形面积(阴影部分)为(125)249.14.【答案】40°【解析】由题意可得：AC16×232(海里)，AB12×224(海里)，AC2AB23222421 600，BC21 600，故AC2AB2BC2，BAC是直角三角形，BAC90°，180°50°90°40°，乙船航行的方向是南偏东40°(或东偏南50°)15.【答案】5【解析】P点坐标为(3,4)，OP5.16.【答案】500【解析】如图所示，BCAD，DAEACB，又BCAB，DEAC，ABCDEA90°，

15、又ABDE400 m，ABCDEA，EABC300 m，在RtABC中，AC500 m，CEACAE200 m，从B到E有两种走法：BAAE700 m；BCCE500 m，最近的路程是500 m.17.【答案】x252(x1)2【解析】设水池的深度为x尺，由题意得：x252(x1)2，解得x12，则x113，答：水深12尺，芦苇长13尺18.【答案】3【解析】由勾股定理得AD2BD2123210，AC212225，AB2224220，BC2CD225，AD2BD2AB2，AC2AB2BC2，AC2AB2CD2，能够组成3个直角三角形19.【答案】5【解析】依题意得：BC5.20.【答案】4.5

16、5【解析】设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得x232(10x)2，解得x4.55，答：折断处离地面的高度OA是4.55尺21.【答案】解(1)在ABC中，ACB90°，BC15，AC20，AB2AC2BC2，解得AB25.答：AB的长是25；(2)AC·BC×20×15150.答：ABC的面积是150；(3)CD是边AB上的高，AC·BCAB·CD，解得CD12.答：CD的长是12.【解析】(1)根据勾股定理可求得AB的长；(2)根据三角形的面积公式计算即可求解；(3)根据三角形的面积相等即可求得CD的长22.【答案】解(1

17、)；(2)除式可能为零；(3)a2c2b2c2a4b4，c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)，a2b20或c2a2b2，当a2b20时，ab；当c2a2b2时，C90°，ABC是等腰三角形或直角三角形【解析】(1)(2)等式两边都除以a2b2，而a2b2的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立(3)根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论23.【答案】解连接AC，则在RtADC中，AC2CD2AD212292225，AC15，在ABC中，AB21521，AC2BC21523621521，AB2AC2BC2，ACB90°，S

18、ABCSACDAC·BCAD·CD×15×36×12×927054216.答：这块地的面积是216平方米【解析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证ACD，ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差24.【答案】解如图所示：BAC90°，AD是中线，BC2AD10，在RtABC中，由勾股定理，得AB8，AE是高，AB·ACBC·AE，AE4.8.【解析】25.【答案】解BADDBC90°，ADB、BDC均是直角三角形，由题意得AD4 cm，AB3 cm，BC12 cm，在RtABD中，BD5 cm，在RtBDC中，DC13 cm.【解析】先根据勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理求得CD的长即可26.【答案】解所画图形如下所示，其中点A即为所求；.【解析】根据勾股定理，作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是；再以原点为圆心，以为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求；作图所用的知识即是勾股定理27.【答案】解连接AC，在ADC中，D90°，AD3，DC4，AC5，SADCAD·DC×3×46，在ACB中，BC13，AC5，AB12，AC2AB2BC2，ACB是直角三角形，SAC