中考专题训练阿氏圆

1、在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（k1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆以下给出两种证明法一：构造角分线先复习两个定理（1）角平分线定理：如图，在ABC中，AD是BAC的角平分线，则AB:AC=DB:DC证明：利用等积法， 即AB:AC=DB:DC（2）外角平分线定理：如图，在ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延

2、长线于点D，则AB:AC=DB:DC证 明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则ACDAED（SAS），CD=ED且AD平分BDE，则DB:DE=AB:AE，即AB:AC=DB:DC接下来开始证明：如图，PA：PB=k，作APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA:MB=PA:PB=k，故M点为定点，即APB的角平分线交AB于定点；作APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA:NB=PA:PB=k，故N点为定点，即APB外角平分线交直线AB于定点；又MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆中考专题训练 阿氏圆模型阿氏圆（阿波罗尼斯

3、圆）：已知平面上两定点A、B，则所有满足 的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆. 在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A”型相似（也叫“母子型相似”）两点间线段最短，解决带系数两线段之和的最值问题.观察下面的图形，当P 在O上运动时，用PA、PB 的长在不断的发生变化，但的比值却始终保持不变. 解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法. 那么如何应用“阿氏圆”的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢？我们来看一道基本题目：例.已知ACB=90°，CB=4，CA=6，C半径为2，P为圆上一动点.（1）求的最小值为 .（2）求

4、的最小值为 .阿氏圆基本解法：构造相似阿氏圆一般解题步骤：AP+kBP第一步：连接动点和圆心C（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），即连接CP、CB；第二步：计算这两条线段长度的比；第三步：在CB（即定边）上取点M，使得第四步：连接 AM，与圆C 交点即为点P；第五步：计算AM的长度，即为AP+kBP的最小值.实战演练：1.在ABC中，ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为ABC内一动点，且满足CD=2，则的最小值为 . 2.已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的O上运动，则的最小值是 .3.已知点A(-3，0)，B（0，3），C（1，0），若点P为C上一

5、动点，且C与y轴相切.（1）求的最小值；（2）求ABP面积的最小值. 4.在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P是AOB外部的第一象限内一动点，且BPA=135°，则2PD+PC的最小值是_.5.已知O半径为1，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为弧AB上一动点，试求的最小值.巩固练习：1.如图，在ABC中，B90°，ABCB2，以点B为圆心作B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 2. 如图，菱形ABCD的边长为2，ABC=60°，A与BC相切于点E，在A上任取一点P，求 的最小值. 3.（1）如图1，已知

6、正方形ABCD的边长为4，B的半径为2，点P是B上的一个动点，则PD+PC的最小值 ；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，B的半径为6，点P是B上的一个动点，那么PD+PC的最小值为 ；（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+PC的最小值为 . 4.如图1，抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0<m<4)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PMAB于点M.（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）

7、设PMN的周长为C1，AEN的周长为C2，若，求m的值；（3）如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为(0°<<90°)，连接EA、EB，求EA+EB的最小值.问题提出：如图1,在RtABC中,ACB=90,CB=4,CA=6,C半径为2,P为圆上一动点,连结AP、BP,求AP+1/2BP的最小值。(1)尝试解决：为了解决这个问题,下面给出一种解题思路：如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有CD/CP=CP/CB=1/2,又PCD=BCP,PCDBCP.PD/BP=1/2,PD=1/2BP,AP+1/2BP=AP+PD.请

8、你完成余下的思考,并直接写出答案：AP+1/2BP的最小值为_.(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下,1/3AP+BP的最小值为_.(3)拓展延伸：已知扇形COD中,COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,点P是CD上一点，求2PA+PB的最小值。反过来还原:如图，点A，B在O上，OA=OB=12且OAOB点C是OA的中点，点D在OB上且OD=10，动点P在O上，则PC+ 1/2 PD的最小值是多少？如下图所示，在OA延长线上取点E，使得AE=OA连接OP，PE。因为 OC/OP=1/2=OP/OE从而 OCPOPE（SAS）从而，PC/EP=1/2，即 PE=2PC那么，PE+PD=2PC+PD=2（PC+1/2PD）那么只要求出 PE+PD 最小值，再除以2 即可得到所求问题的解。很显然，当P点落在DE连线与圆O的交点 P' 上时，PE+PD取得最小值。此时，PE+PD=DE=（OD2+OE2）=（102+242）=26那么，PC+1/2PD 的最小值即为 26/2=13。(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+1/2PC的最小值和PC1/2PC的最大值；(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么PD+2/3PC的最小值为_,