二次不等式恒成立问题

1、基础梳理1一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)(2)求出相应的一元二次方程的根(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集2一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx2或xx1Rax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2一个技巧一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的确

2、定受a的符号、b24ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数yax2bxc(a0)的图象，数形结合求得不等式的解集若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2bxc0(或0)(其中a0)的形式，其对应的方程ax2bxc0有两个不等实根x1，x2，(x1x2)(此时b24ac0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集 两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏二

3、次不等式恒成立问题 不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时，不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时，一、恒成立问题的基本类型：类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。类型2：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立类型3：。类型4：二、恒成立问题常见的解题策略：策略一：利用二次函数的判别式 对于一元二次函数有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例1.若不等式的解集是R，求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0

4、。（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，。策略二:利用函数的最值（或值域）（1）对任意x都成立；（2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例2.已知，若恒成立，求a的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.若恒成立或或，即a的取值范围为. 策略三：利用零点分布例3.已知，若恒成立，求a的取值范围.解析 本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即0或或，即a的取值范围为-7

5、，2.点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了.Oxyx-1变式：设，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设，则当时，恒成立当时，显然成立；当时，如图，恒成立的充要条件为：解得。综上可得实数的取值范围为。策略四：分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）恒成立2）恒成立例4.函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑

6、到不等式的分母，只需在时恒成立而得在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。 变式：已知函数时恒成立，求实数的取值范围。解： 将问题转化为对恒成立。令，则由可知在上为减函数，故即的取值范围为。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。策略五：确定主元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例5.若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式

7、化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是总结：利用了一次函数有：变式：对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解：令，则原问题转化为恒成立（）。 当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。故的取值范围为。策略六：消元转化例6.已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且f(1)=1,若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围. 解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在-1,1上的增函数,故 f(x)在-1,1上的最大值为f(1)=1

8、,则对于所有的恒成立对于所有的恒成立，即对于所有的恒成立，令，只要， 点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决.以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。3、 巩固练习1.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围解：（1）设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得（2）设.则关于的不等式的解集不

9、是空集在上能成立,即解得或.2. 若函数在R上恒成立，求m的取值范围。分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。略解：要使在R上恒成立，即在R上恒成立。 时， 成立 时，由，可知，3. 已知向量若函数在区间上是增函数，求t的取值范围.解：依定义在区间上是增函数等价于在区间上恒成立;而在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立;设进而在区间上恒成立等价于考虑到在上是减函数,在上是增函数,则. 于是, t的取值范围是.4. 已知函数，其中是的导函数.对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；解法1.由题意，这一问表面上是一个给出参数的范围，解不等式的问题，实际上，把以为变量

10、的函数，改为以为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即 令，则对，恒有，即，从而转化为对，恒成立，又由是的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此只需 即解得.故时，对满足的一切的值，都有.解法2.考虑不等式.由知,于是,不等式的解为 .但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑的条件,还应进一步完善.为此,设.不等式化为恒成立,即.由于在上是增函数,则,在上是减函数,则所以, .故时，对满足的一切的值，都有.5. 若对任意的实数，恒成立，求的取值范围。解法一：原不等式化为令，则，即在上恒大于0。若，要使，即， 不存在若，若使，即 若，要使，即，由，可知，。解法二：，在上恒成立。由，可知，。6. 已知函数对于一切成立，求a的取值范围。7. 已知函数对于恒成立，求m的取值范围。8. 若不等式在内恒成立，求a的取值范围。9.已知函数的定义域为