专题711椭圆的极坐标方程相关问题的研究与拓展

1、专题7. 11：椭圆的极坐标方程相关问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：若以为极点，以作为极轴，设为椭圆上的任意一点，请利用椭圆的第二定义推导以左焦点为极点的椭圆的极坐标方程变式1:：请利用椭圆的第二定义推导以右焦点为极点的椭圆的极坐标方程；变式2:：若过右焦点的直线交椭圆于两点，若设点的极角为，写出和；探究2：在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为（，为常数），离心率等于0.8，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点（1）求椭圆的标准方程；（2）若时，求实数；（3）试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论解：（1），椭圆离心率， 椭圆的标准方程为 （2）在椭圆方程中，令，解得当时，直线MNx轴，

2、此时 ， 解得 （3）的值与的大小无关 证明如下：法一：设点M、N到右准线的距离分别为 ， 又由图可知， 即 同理，=显然该值与与的大小无关 法二：当直线的斜率不存在时，由（2）知，的值与的大小无关当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程，得 设点、，恒成立，11分=显然该值与与的大小无关 （优化方法：借助椭圆的第二定义，应用平面几何的相关性质解决）本题结论可进一步推广：（1）若是经过椭圆焦点的一条弦，其中分别是直线与椭圆的两个焦点，则定值；（2）若是经过双曲线焦点的一条弦，其中分别是直线与双曲线的两个焦点，则定值；（3）若是经过抛物线（）焦点的一条弦，其中分别是直线与抛物线的两个焦点

3、，则定值；ABPOxy探究3：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率（1）求椭圆的离心率；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值变式：椭圆的右焦点为，为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中是椭圆的右顶点，并且若这24个点到右准线的距离的倒数和为，则的值为 . 180拓展1：某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中是过抛物线焦点且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为，通径长为4记，为锐角（通径：经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦）（1）用表示的长；

4、（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积关于的函数关系式，并设计的大小，使“蝴蝶形图案”的面积最小解：（1）由抛物线的定义知，解得，（2）据（1）同理可得，所以“蝴蝶形图案”的面积， 即， 令，则，所以当，即时，的最小值为8 答：当时，可使“蝴蝶形图案”的面积最小 拓展2：已知曲线的参数方程是 (为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上，且以逆时针次序排列，点的极坐标为 .（1）求点 的直角坐标；（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.拓展3：已知椭圆两个焦点，且椭圆与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）过作两条互相垂直的直线和，与椭圆分别交于及两点，求四边形面积的最大值与最小值. 可进一步探究：结论能否作进一步推广？结论如何？推广后的结论：；思考1：已知点是坐标平面内的一点，且满足到点的距离与其到定直线的距离之比为，求点的运动轨迹方程？ 此时应用求轨迹方程的一般步骤求解，否则不给分，此处未告知椭圆的中心是否在坐标原点思考2：可模仿某年全国高考试题命题：求证四边形面积的最大值只与椭圆的短半轴长有关拓展4：如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线