专题四数列

1、专题四：数列一、选择题1 （2013年高考上海卷（理）在数列中,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素,()则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】A.2（2013年大纲版数学（理）已知数列满足,则的前10项和等于(A) (B) (C) (D)【答案】C3 （2013年高考新课标1（理）设的三边长分别为,的面积为,若,则()A.Sn为递减数列 B.Sn为递增数列C.S2n-1为递增数列,S2n为递减数列D.S2n-1为递减数列,S2n为递增数列【答案】B4（2013年安徽数学（理）试题）函数的图像如图所示,在区间上可找到个不同的数使得

2、则的取值范围是(A) (B) (C) (D)【答案】B5 （2013年福建数学（理）试题）已知等比数列的公比为q,记则以下结论一定正确的是( )A.数列为等差数列,公差为 B.数列为等比数列,公比为C.数列为等比数列,公比为 D.数列为等比数列,公比为【答案】C 6 （2013年新课标卷数学（理）等比数列的前项和为,已知,则(A) (B) (C) (D)【答案】C7 （2013年高考新课标1（理）设等差数列的前项和为,则 ( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C8 （2013年辽宁数学（理）试题）下面是关于公差的等差数列的四个命题:其中的真命题为(A) (B) (C) (D)【答案】D9

3、（2013年高考江西卷（理）等比数列x,3x+3,6x+6,.的第四项等于A.-24 B.0 C.12 D.24【答案】A 二、填空题10（2013年高考四川卷（理）在等差数列中,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和.【答案】解:设该数列公差为,前项和为.由已知,可得.所以,解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前项和或11（2013年新课标卷数学（理）等差数列的前项和为,已知,则的最小值为_.【答案】12（2013年高考湖北卷（理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,第个三角形数为.记第个边形数为,以下列出了部分

4、边形数中第个数的表达式:三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 可以推测的表达式,由此计算_.【答案】1000 13（2013年江苏卷（数学）在正项等比数列中,则满足的最大正整数 的值为_.【答案】1214（2013年高考湖南卷（理）设为数列的前n项和,则(1)_; (2)_.【答案】;15（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）当时,有如下表达式:两边同时积分得:从而得到如下等式:请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:【答案】16（2013年重庆数学（理）试题）已知是等差数列,公差,为其前项和,若成等比数列,则【答案】17（2013年上海市春季高考数学试卷(）若等差数列的

5、前6项和为23,前9项和为57,则数列的前项和_.【答案】18（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）在等差数列中,已知,则_.【答案】19（2013年高考陕西卷（理）观察下列等式: 照此规律, 第n个等式可为_. 【答案】20。（2013年高考新课标1（理）若数列的前n项和为Sn=,则数列的通项公式是=_.【答案】=.21（2013年安徽数学（理）试题）如图,互不-相同的点和分别在角O的两条边上,所有相互平行,且所有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是_.【答案】22（2013年高考北京卷（理）若等比数列an满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_;前n项和S

6、n=_.【答案】2,23（2013年辽宁数学（理）试题）已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则_.【答案】63 三、解答题24（2013年安徽数学（理）试题）设函数,证明:()对每个,存在唯一的,满足;()对任意,由()中构成的数列满足.【答案】解:() 是x的单调递增函数,也是n的单调递增函数. .综上,对每个,存在唯一的,满足;(证毕)() 由题知上式相减:.法二:25（2013年高考上海卷（理）(3 分+6分+9分)给定常数,定义函数,数列满足.(1)若,求及;(2)求证:对任意,;(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说明理由.【

7、答案】:(1)因为,故,(2)要证明原命题,只需证明对任意都成立,即只需证明若,显然有成立;若,则显然成立综上,恒成立,即对任意的,(3)由(2)知,若为等差数列,则公差,故n无限增大时,总有此时,即故,即,当时,等式成立,且时,此时为等差数列,满足题意;若,则,此时,也满足题意;综上,满足题意的的取值范围是.26（2013江苏卷（数学）本小题满分10分.设数列,即当时,记,对于,定义集合(1)求集合中元素的个数; (2)求集合中元素的个数.【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力.(1)解:由数列的定义得:,集

8、合中元素个数为5(2)证明:用数学归纳法先证事实上,当时, 故原式成立假设当时,等式成立,即 故原式成立则:,时,综合得: 于是由上可知:是的倍数而,所以是的倍数又不是的倍数,而所以不是的倍数故当时,集合中元素的个数为于是当时,集合中元素的个数为又故集合中元素的个数为27（2013年浙江数学（理）试题）在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.(1)求; (2)若,求【答案】解:()由已知得到:;()由(1)知,当时,当时,当时,所以,综上所述:; 28（2013年高考湖北卷（理）已知等比数列满足:,. (I)求数列的通项公式;(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理

9、由.【答案】解:(I)由已知条件得:,又,所以数列的通项或(II)若,不存在这样的正整数;若,不存在这样的正整数.29（2013年山东数学（理）试题）设等差数列的前n项和为,且,.()求数列的通项公式;()设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.【答案】解:()设等差数列的首项为,公差为, 由,得, 解得,因此 ()由题意知:所以时,故,所以,则两式相减得整理得所以数列数列的前n项和30（2013年江苏卷）本小题满分16分.设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.记,其中为实数.(1)若,且成等比数列,证明:();(2)若是等差数列,证明:.【答案】证明:是首项为,公差为的等

10、差数列,是其前项和(1) 成等比数列 左边= 右边=左边=右边原式成立(2)是等差数列设公差为,带入得: 对恒成立由式得: 由式得:法二:证:(1)若,则,. 当成等比数列, 即:,得:,又,故. 由此:,. 故:(). (2), . () 若是等差数列,则型. 观察()式后一项,分子幂低于分母幂, 故有:,即,而0, 故. 经检验,当时是等差数列. 30（2013年大纲版数学（理）等差数列的前项和为,已知,且成等比数列,求的通项式.【答案】31错误！未指定书签。（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5

11、 + a5, S4 + a4成等差数列. () 求数列的通项公式; () 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. 【答案】32（2013年高考江西卷（理）正项数列an的前项和an满足:(1)求数列an的通项公式an;(2)令,数列bn的前项和为.证明:对于任意的,都有【答案】(1)解:由,得. 由于是正项数列,所以. 于是时,. 综上,数列的通项. (2)证明:由于. 则. .33（2013年广东省数学（理）设数列的前项和为.已知,.() 求的值;() 求数列的通项公式;() 证明:对一切正整数,有.【答案】.(1) 解:,. 当时,又,(2)解:,. 当时, 由 ,得 数列是以首项为,公差为

12、1的等差数列.当时,上式显然成立. (3)证明:由(2)知,当时,原不等式成立.当时, ,原不等式亦成立.当时, 当时,原不等式亦成立.综上,对一切正整数,有.34（2013年高考北京卷（理）已知an是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,的最小值记为Bn,dn=An-Bn .(I)若an为2,1,4,3,2,1,4,3,是一个周期为4的数列(即对任意nN*,),写出d1,d2,d3,d4的值;(II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为d的等差数列;(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则an的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.【答案】(I) (II)(充分性)因为是公差为的等差数列,且,所以因此,.(必要性)因为,所以.又因为,所以. 于是,.因此,即是公差为的等差数列.(III)因为,所以,.故对任意.假设中存在大于2的项.设为满足的最小正整数,则,并且对任意,.又因为,所以,且.于是,.故,与矛盾.所以对于任意,有,即非负整数列的各项只能为1或2.因此对任意,所以. 故.因此对于任意正整数,存在满足,且,