微积分基础ppt课件

1、.1、不定积分的概念与性质、不定积分的概念与性质、换元积分法、换元积分法、分部积分法分部积分法、有理函数的积分、有理函数的积分第五章第五章 不定积分不定积分.25.1 5.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质1 1、不定积分的概念不定积分的概念2 2、不定积分的性质、不定积分的性质3 3、基本积分表、基本积分表.3一、概念一、概念.41 1、原函数、原函数例如例如,cos)(sinxx定义定义1 1若在区间若在区间I上，上，)()(xfxF则称则称)(xF为为)(xf在区间在区间I上的一个上的一个原函数原函数. .xsinxcos是是的一个原函数的一个原函数. .)(sincx,cos

2、 xcx sin也是也是xcos的原函数的原函数. .dx)x(f)x(dF .5问题问题(1)(1)何种函数具有原函数何种函数具有原函数? ?(2)(2)函数若具有原函数函数若具有原函数, ,怎样写出原函数怎样写出原函数? ?.6结论结论: :(1)(1)若函数若函数)(xf在区间在区间I上上连续连续, ,则存在可导函数则存在可导函数)( xF 使使)(Ix)()(xfxF连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数I(2)(2)若函数若函数)(xf在区间在区间 有一原函数有一原函数),(xF则则 仍为仍为)(xf的原函数的原函数CxF)(.7CxFx)()(I(3)(3)若函数若函数)(xf在

3、区间在区间 有一原函数有一原函数),(xF则则)(xf的的CxF)( C( C为任意常数为任意常数) )证证)(x设设为为)(xf的任一原函数的任一原函数, ,)()(xFx则则0)()(xFx)(xf)(xfCxFx)()(即即可表示为可表示为: :所有原函数所有原函数.8dxxf)(定义定义2 2 C)x(Fdx)x(f函数函数)(xf的的全体原函数全体原函数, ,记作记作: :积分号积分号; ;)(xf被积函数被积函数; ;dxxf)(被积表达式被积表达式; ;x积分变量积分变量. .若若)()(xfxF 则则)(xf的的不定积分不定积分为：为：)(xf的的不定积分不定积分. .称为称为

4、2.2.不定积分的定义不定积分的定义.9例例1 1dxx2求解解: :dxx 22 x)( Cx 33例例2.2.求求dxx211解解. .,) (211xdxx 211. cxarctan 331xxarctan.10例例3 3dxx1求 xlndxx 1 )xln( C)xln(dxx 1总之总之, ,0 1 x,Cxlndxx0 x解解 当当时时, ,Cxln 0 x当当时时, ,x1 )(x11 x1 .11 不定积分表示的是一族函数不定积分表示的是一族函数, ,从几何上看从几何上看, ,代表一族曲线代表一族曲线, ,称为称为积分曲线族积分曲线族. .3.3.不定积分的几何意义不定积分

5、的几何意义曲线曲线: :CCxFy( ,)(为任意常数为任意常数 ) )在在( (x x0 0 ,y,y0 0 ) )的切线的切线的斜率为的斜率为f f( (x x0 0) )y yo ox x.12例例4.4.设曲线通过点（设曲线通过点（1 1，2 2），且其上任意点处的切线斜率等于这），且其上任意点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍点横坐标的两倍, ,求此曲线的方程求此曲线的方程. .)x(f解解)(xfy xdxdy2 xxf2)(即即，由题意知，由题意知Cx 2dxx 2又曲线通过点（又曲线通过点（1 1，2 2），），1C12 x)x(f此曲线的方程为此曲线的方程为12 xy设所求曲线

6、方程为：设所求曲线方程为：x xy yo o1 11 12 212 xy.13二、不定积分的性质二、不定积分的性质.14求不定积分的运算与求导数运算是互逆的求不定积分的运算与求导数运算是互逆的.)x(fdx)x(f dx)x(fdx)x(fd C)x(Fdx)x(F C)x(F)x(dF (1)、(2)k(dx)x(fkdx)x(kf0 dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f(3).15三、基本积分表三、基本积分表.16三、基本积分表三、基本积分表dxk )(1dxx)( 2dxx)( 1 3 Cxarctan dxx)( 211 10 xdxcos)( 7 (8)2dxxsec Ckx

7、 1 11 Cx Cxln dxx)( 211 11 Cxarcsin xdxsin)( 6Ccosx Csinx Cxtan dxx2csc (9) (12)dxxtanxsec dxxcotxcsc (13) (5) dxex cotCx cscCx Caaxln (4) dxax secCx Cex.17例例5.5.求dxxx)5(2解解dxxx)5(2dxxx)5(2125dxxdxx212552772xCx 23310.18dxxx231dxxxxx223133dxxxx)33(21Cxxxx1ln3322dxxx231例例6.6.求解解.19dxexx2例例7. 求解解dxexx2

8、dxex)2(Cexx2ln12Ceex)2ln()2(例例8 求dxx2tan解解dxxtan 2dx)x(sec 12 Cxxtan .20解解: : 原式原式 = =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313练习一下.d124xxx例例9.9. 求求.21例例10.求dxxx22cossin1解解dxxcosxsin 221dxxcosxsinxcosxsin 2222dxxcos 21dxxsin 21dxxsec 2dxxcsc 2xtan Cxcot 提高题目.22疯狂操练疯狂操练1. 若则的原函数是,)(xfex

9、 d)(ln2xxfx(P191题4)提示提示:xe)()(xexfxeln)(lnxfx1Cx 221.232. 若)(xf是xe的原函数 , 则xxxfd)(ln提示提示: 已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10.243. 若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sin x则)(xf的一个原函数是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx.254. 求积分:;)1 (d22xxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxx22111xx)(2x2x.265. 求不定积分解：解：.d113xeexxxeexxd113xeexxd1) 1() 1(2xxeexeexxd) 1(2Cxeexx221