工程力学 第三章 空间力系与重心

1、课 时 授 课 计 划授课日期2011.10.22班 别1044-3题 目第三章 空间力系与重心目的要求Ø 掌握力在空间直角坐标系上的投影的计算Ø 掌握力对轴的矩的计算Ø 掌握空间力系的平衡条件Ø 掌握重心的概念重点空间力系的平衡条件难点力对轴的矩的计算教 具课本教 学 方 法课堂教学报书设计第三章 空间力系与重心第一节 力在空间直角坐标系上的投影第二节 力对轴的矩第三节 空间力系的平衡条件第四节 物体的重心教学过程：复习：1、复习约束与约束反力概念。2、复习物体受力图的绘制。新 课：第三章 空间力系与重心第一节 力在空间直角坐标系上的投影1.力在直角坐

2、标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解     若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别为 、，如图4-1所示，则力在三个轴上的投影等于力F的大小乘以与各轴夹角的余弦，即 X=cos Y=cos         (4-1) Z=cos     当力与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可把力先投影到坐标平面Oxy上，得到力，然后再把这个力投影到x、y轴上。在图4-2中，已知角

3、和，则力在三个坐标轴上的投影分别为 X=sincos Y=sinsin            (4-2) Z=cos     若以、表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量，以i、j、k分别表示沿x、y、z坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则 图4-2=+=Xi+Yj+Zk         &#

4、160;  (4-3) 由此，力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为:=Xi，=Yj，=Zk            (4-4)如果己知力F在正交轴系Oxyz的三个投影，则力F的大小和方向余弦为 =cos(,i)=cos(,j)=            (4-5)cos(,k)=  

5、;  例：图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力的作用。已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) 和压力角，试求力沿x、y和z轴的分力。解:先将力向z轴和Oxy平面投影，得 Z=-sin =cos 再将力向x、y轴投影，得 X=-sin=-cossin Y=-cos=-coscos 则沿各轴的分力为 =-cossini，=-coscosj，=-sink式中i、j、k为沿x、y、z轴的单位矢量，负号表明各分力与轴的正向相反。称为轴向力，称为圆周力，称为径向力。  第二节 力对轴的矩1力对点的矩

6、60;    对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足以概括它的全部要素。但是在空间的情况下，不仅要考虑力矩的大小、转向，而且还要注意力与矩心所组成的平面的方位。方位不同，即使力矩大小一样，作用效果将完全不同。例如，作用在飞机尾部铅垂舵和水平舵上的力，对飞机绕重心转动的效果不同，前者能使飞机转弯，而后者则能使飞机发生俯仰。因此，在研究空间力系时，必须引人力对点的矩这个概念;除了包括力矩的大小和转向外，还应包括力的作用线与矩心所组成的平面的方位。这三个因素可以用一个矢量来表示:矢量的模等于力的大小与矩心到力作用线的垂直距离h(力臂)的乘积;矢量的方位和该力与

7、矩心组成的平面的法线的方位相同;矢量的指向按以下方法确定:从这个矢量的末端来看，物体由该力所引起的转动是逆时针转向，如图4-7所示。也可由右手螺旋规则来确定。 力对点O的矩的矢量记作。即力矩的大小为 =h=2OAB 式中OAB为三角形OAB的面积。 由图4-7易见，以r表示力作用点A的矢径，则矢积r×的模等于三角形OAB面积的两倍，其方向与力矩矢一致。因此可得 =r×            (4-11)&#

8、160;上式为力对点的矩的矢积表达式，即:力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。 若以矩心O为原点，作空间直角坐标系Oxyz如图4-7所示，令i、j、k分别为坐标轴x、y、z方向的单位矢量。设力作用点A的坐标为A(x,y,z)，力在三个坐标轴上的投影分别为X、Y、Z，则矢径r和力分别为 =xiyjzk=Xi+Yj+Zk 代人式(4-11)，并采用行列式形式，得 =r×F =(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(zY-yX)k? (4-12) 由于力矩矢量的大小和方向都与矩心O的位置有关，故力矩矢的始端必须在矩

9、心，不可任意挪动，这种矢量称为定位矢量。2力对轴的矩     工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力对绕定轴转动刚体的作用效果，必须了解力对轴的矩的概念。如图4-8a所示，门上作用一力，使其绕固定轴z转动。现将力分解为平行于z轴的分力和垂直于z轴的分力(此力即为力在垂直于z轴的平面Oxy上的投影)。由经验可知，分力不能使静止的门绕z轴转动，故力从对z轴的矩为零;只有分力才能使静止的门绕z轴转动。现用符号表示力对z轴的矩，点O为平面Oxy与z轴的交点,h为点O到力作用线的距离。因此，力对，轴的矩就是分力巧对点0的矩，即 =&#

10、177;h =±2OAB                (4-13) 于是，可得力对轴的矩的定义如下:力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩的大小。其正负号如下确定:从，轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴按逆时针转向技妥，则取正号，反之取负号。也可按右手螺旋规则确定其正负号，如图4-8b所示，姆指指向与z轴一致为正，

11、反之为负。 力对轴的矩等于零的情形:(1)当力与轴相交时(此时h=0);(2)当力与轴平行时(此时=0)。这两种情形可以合起来说:当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。 力对轴的矩的单位为N·m。 力对轴的矩也可用解析式表示。设力F在三个坐标轴上的投影分别为X、X、Z。力作用点A的坐标为x、y、z，如图4-9所示。根据合力矩定理，得 =+ 即 =xY-yX 同理可得其余二式。将此三式合写为 =yZ-zY =zX-xZ      &#

12、160;     (4一14) =xY-yx以上三式是计算力对轴之矩的解析式。      例4-5  手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F,如图4-10所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为。如果CD=,杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力对x、y和z三轴的矩。 解:将力F沿坐标轴分解为和两个分力，其中=Fsin, =Fcos。根据合力矩定理，力F对轴的矩等于分力和对同一轴的矩的代数和

13、。注意到力与轴平行或相交时的矩为零，于是有 =-(AB+CD)=-F(l+a)cos =-BC=-Flcos =-(AB+CD)=-F(l+a)sin 本题也可用力对轴之矩的解析表达式(4-14)计算。力F在x、y、z轴上的投影为X=Fsin,Y=0,Z=Fcos 力作用点D的坐标为 x=-l，y=l+a，z=0按式(4-14)，得 ?=yZ-zY=(l+a)(-Fcos)-0=-F(l+a)cos =zX-xZ=0-(-l)(-Fcos)=-Flcos =xY-yX=0-(l+a)(Fsin)=-F(l

14、+a)sin 两种计算方法结果相同。 3力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系     由矢量解析式(4-12)可知，单位矢量 i、j、k前面的三个系数，应分别表示力对点的矩矢在三个坐标轴上的投影，即=yZ-zY =zX-xz            (4-15) =xY-yX 比较式(4-15)与(4-14)，可得 = =  &

15、#160;         (4-16)= 上式说明:力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。 上述结论也可指就由力矩的定义来证明。设有力F和任意定O,如图4-11所示，作矢表示该力对点O的矩，他垂直于三角形OAB的平面，其大小为 =2OAB 过点O作任意轴z。将力投影到通过O点且垂直于z轴的平面Oxy上，根据式(4-13)，求得力对z轴的矩为 =2Oab 而Oab是OAB在平面Oxy上的投影。根据几何学中的定理，AQ访的

16、0;面积等于八QAB的面积乘以这两三角形所在平面之间夹角的余弦。这两平面的夹角等于这两平面法线之间的夹角,也就是矢量与，轴之间的夹角(图4-11)，故 OABcos=Oab 则 cos=此式左端就是力矩矢在z轴上的投影，可用表示。于是上式可写为 =即式(4-16)的第三等式。同理可证得式(4-16)的另外两个等式。 式(4-16)建立了力对点的矩与力对轴的矩之间的关系。因为在理论分析时用力对点的矩矢较简便，而在实际计算中常用力对轴的矩，所以建立它们二者之间的关系是很有必要的。 如果力对通过点O的直角坐标轴x、y、z的矩是己知的，则可求

17、得该力对点O的矩的大小和方向余弦为 = cos= cos= cos=  (4-17)式中、分别为矢与x、y、z轴间的夹角。 第三节 空间力系的平衡条件1空间汇交力系的合力与平衡条件     将平面汇交力系的合成法则扩展到空间，可得:空间汇交力系力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。合力矢为 =+= (4-6) 由式(4-3)可得 =i+j+k (4-7) 其中、为合沿x、y、z轴投影。由此可得合力的大小和方向余弦为 =

18、 cos(,i)= cos(,j)= (4-8) cos(,k)=      例：如图4-6a所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于。轴。已知:CE=EB=DE，=30°，CDB平面与水平面间的夹角EBF=30°(参见图4-6b)，物重P=l0kN。如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压力和绳子的拉力。 解:取起重杆AB与重物为研究对象，其上受有主动力P,B处受绳拉力与;球铰链A的约束反力方向一般不能预先确定，可用三个正交分力表示。本题中，由于杆重不计，又只在A、B两端受力，所以起重杆AB为二力构件，球铰A对AB杆的反力必沿A、B连线。P，和四个力汇交于点B，为一空间汇交力系。 取坐标轴如图所示。由已知条件知: CBE=DBE=45°，列平衡方程 =O, sin45°-sin45°=0=O, sin30°-cos45°cos30°