内容信号电子版

1、第一章信号的基本概念本章将分别对什么是信号？什么是系统？以及系统分析所采用的方法等问题作简单介绍。主要内容:1.2.3.4.信号的定义与分类;典型的基本信号信号的基本运算（时域变换）;线性时不变系统的性质及分析方法;信号SWJTU EE1.0 信号什么是信号？信号是消息的载体，一般表现为随时间变化的物理量。消息则是信号的具体内容。消息语言、文字、图像信号声信号、光信号、电信号 信号 信号SWJTU EE消息（广播） 调制 发射机转换器(I)§1-1信号的分类及基本特性一、信号的描述信号所含的信息总是寄寓在某种形式的变化波形之中。描述信号的常用方法（1）函数表f(t)（2）波形f(t)

2、t < 0ìï01f ( )t= í- tïîet ³ 0t0t单边指数信号函数表单边指数信号波形图信号SWJTU EE“信号”与“函数”两词常相互通用二、信号的分类f (n)f (n)f (t) 量化抽样nntO抽样信号模拟信号数字信号信号SWJTU EE自然界中的信号用计算机处理1、按信号的时间特性分类连续时间信号（时间和幅值都连续称模拟信号）确定性信号时间离散幅值连续抽样信号信号离散时间信号时间离散幅值离散数字信号随机信号f (n)抽样信号n研究确定信号是研究随机信号的基础。本课f (n)数字信号nSWJTU EE下列波形

3、是连续时间还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？信号SWJTU EEt<0时，f(t)=0的信号称为有始信号01 2 3 4 5nf(n)(2)(1)(1)n01 23 4离散时间信号（抽样信号）数字信号( f ) t= sin w t×et()值域连续t0f(t)值域不连续0t连续时间信号连续时间信号（可包含不连续点）2、周期信号与非周期信号周期信号(period signal)是定义在(-，)区间，每隔一定时间T(或整数N），按相同规律重复变化的信号。信号SWJTU EE连续周期信号f(t)满足:f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,&#

4、177;2, 离散周期信号f(k)满足:f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。信号SWJTU EE例1-1试下列信号是否为周期信号；若是，确定其周期。(2) f2(t)= cos2t+sinpt(1)f1(t)=sin2t+cos3t(3)f3(t)=ej(10t-1)f (t) = A cos(wt + q ), -¥ < t < ¥分析：对于w = 2p F对于每个F都是周期信号，T = 1/ F = 2p / w周期 两个周期信号相加，它们和的信号是否为周期信号？两个

5、周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。信号SWJTU EE(2) f2(t)= cos2t+sinpt(1)f1(t)=sin2t+cos3t(3)f3(t)=ej(10t-1)解:(1) sin2t:角频率w1=2rad/s周期T1=2p/w1= pcos3t: 角频率w2=3rad/s周期T2= 2p/w2=2p/3T1/T2= p/(2p/3)=3/2是有理数因为T1与T2的最小公倍数为2p， 所以f1(t)为周期信号，周期为2p。(2) cos2t: 角频率w3=2rad/

6、s sinpt: 角频率w4= prad/s T1/T2= p/2不是有理数所以f2(t)不是周期信号周期T3=2p/w3= p周期T4= 2p/w4=2信号SWJTU EE(3)f3(t)=ej(10t-1)(3)f3(t)=ej(10t-1) =cos(10t-1)+jsin(10t-1)其虚部与实部为同频率的正弦量，即： w1= w2T1= T2所以f3(t)是周期信号。周期信号与非周期信号的关系：非周期信号可看成是T=¥的周期信号信号SWJTU EE3、能量信号与功率信号| f (t) |2将信号f (t)施加于1电阻上，它所消耗瞬时功率为( , )的能量和平均功率定义为，在

7、区间1WD2dt¥ò+f(t)-E =f (t)T（1）信号f（t）的能量-¥1òP = lim| f (t) |2 dt2（2）信号的功率PT2TT ®¥-若信号f (t)的能量有界，即E < ,则称其为能量有限信号，简称能量信号，此时P = 0。能量信号信号若信号f (t)的功率有界，即P < ,则称为功率有限信号，简称功率信号，此时E = 。功率信号信号SWJTU EE时限信号为能量信号周期信号属于功率信号，而非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号。有些信号既不是属于能量信号也不属f (t) = et于功率信号，

8、如信号SWJTU EEf(t)- t1t2f(t)f(t)存在于有限时间内周期信号 §1-3 典型的基本信号基本信号：所谓基本信号，是指工程实际与理论研究中经常用到的信号。这些函数的波形和时间函数表洁。都十分简用这些信号可以组成一些复杂波形的信号 信号SWJTU EE1实指数信号函数表示式为：A e a tf (t ) =a <0a > 0a = 0图2.1实指数信号的波形信号SWJTU EE2复指数信号f(t)=Aests=s+jw复频率其中:A常数f(t)s <0若A、 s=s均为实数f(t)=Aests >0 As =0t0若A=1、 s=jwf(t)=

9、ejwt =coswt+jsinwt周期信号复指数信号对时间的微分和仍是复指数形式，利用复指数可以使许多运算和分析简化信号SWJTU EE3正弦信号f (t ) = A cos( w 0t + y )AwtA振幅w角频率y初相位周期T、频率f、角频率w之间的关系：2pw1w= 2 p fT =f对它进行微分或运算后，仍是同频率的正弦信号信号SWJTU EE正弦信号可以用指数信号表示公式：ejq=cosq+jsinq整理可得：e-jq=cosq-jsinqcosq = 1 (e jq1+ e- jq )sin q =(e jq - e- jq )22 jA e j (wt +y ) + e- j

10、 (wt +y ) f (t ) = A cos(wt +y ) =2式中的负频率实际上不存在，这里仅是数学表示信号SWJTU EE4抽样函数Sa(t) = sinttp-4p-p-3p -2p3p2p4p抽样函数的性质：为偶函数，且在t= ±p ，±2p ， ±3p时，函数值为0t的正负两方向，函数值逐渐衰减sin ttf ( 0 ) =limf ( t ) =lim= 1t ® 0t ® 0limf (t) = 0t ®±¥信号SWJTU EE奇异信号 常见的奇异信号：阶跃函数、冲激函数信号SWJTU EE5阶

11、跃函数u(t)0010t阶跃函数性质：例1-2:用阶跃函数写出下列波形的表。f(t)10>1 t0t-><ìì1t0t00t )= í=íî解:(a) f (t <t-tt0 î0t00t0(a)所以f(t)= u(t-t0)信号SWJTU EEGt(t)(b)1G (t) = u(t +t ) -u(t -t )t22-t/2t/20(b)t1t/2(c)-t/2 0tsgn(t) = 2u(t) -1sgn(t)1210t-10t(c)信号SWJTU EE例1-3 :画出下列函数的波形。f1(t)= sin

12、wt · u (t)sinwtf1(t)= sinwt · u (t)u (t)信号SWJTU EE冲激函数d(t)6d(t)(1)冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义（由最早提出）0tì( d)t =¹0,t0í¥ò图中(1)表示强度为1，或称所围面积为1，而不是指幅ddt=(t)1ïî-¥值为1。门函数演变为冲激函数d(t)(1)G(t)1tt®0t- t0t0t22号SWJTU EEd(t)(1)0t若冲激点在t=t0处

13、，则定义式为：d(t-t0)(1)t0t0信号SWJTU EEd(t)(1)冲激函数的特性：f (t)d (t)连续函数f(t)与与d(t)相乘若冲激点在t0处，= f (0)d (t)0t冲激函数的乘积等于冲激点的函数值d(t-t0)f (t)d (t - t0 )= f (t0 )d (t - t0 )(1)t00t信号SWJTU EE+¥ò- ¥f (t )d (t )dt= f (0)+¥ò- ¥f ( t )d( t -) dt=t 0f( t 0 )冲激函数与连续函数f(t) 的乘积的等于冲激点的函数值证明： d(t)在t

14、¹0处为0信号SWJTU EE尺度变换： 奇偶性： 信号SWJTU EE冲激函数的是阶跃函数d(t)(1)tòd (t )dt= 0由定义知 当t<0时-¥tòd (t )dt= 1当t>0时为：0u(t)t-¥所以d函数的t < 0 = u(t)d (t )dt = ì010tòít > 0î1-¥t所以， u(t)与d(t)函数的关系为:信号SWJTU EE7斜坡函数r(t)10t1r(t-t0)10t0 +1 tt0dr(t) = u(t)dttòu(t

15、)dtr(t) =-¥d 2r(t) = d(t)ttòòd (t )dt dtr(t) =-¥-¥dt 2信号SWJTU EE所以，r(t) 、u(t)与d(t)函数的关系为:d(t)(1)r(t)u(t)10100ttt1d (t)求导求导r(t)u(t)信号SWJTU EEf (t)d (t - t0 )= f (t0 )d (t - t0 )例1.4-1计算下列各式tò(4 + t 3 )d (1 - t )dt(1) f (t ) =1-¥(e -t + t )d (t )dttò(t ) =(2) f2

16、2-¥tò(4 +t 3 )d (1-t )dt(1) f (t) =解：1-¥tò(4 + t 3 )d (t -1)dt=-¥tò(4 +13)d (t -1)dt=-¥= 5u(t -1)信号SWJTU EEt 1dd)=a¹t( at( t )0ò-t+ t )d ()dt2(t ) =(2) f(ea2-¥tò(e-t +t ) × 2d (t )dt-¥tòd (t )dt2-¥= 2u(t)信号SWJTU EEx(t)例1.4-2

17、已知信号x(t)的波形试画出x(t)的波形21-2 -10123t解：x(t)=u(t+1)-u(t)+2u(t)-u(t-1 )x(t)=u(t+1)+u(t)-2u(t-1)求导x(t)=d(t+1)+d(t)-2d(t-1)x(t)的波形如右图。x(t)(1)(1)-2 -101(2)23t结论：连续信号的跳变处，其导数的波形在此处有一个冲激函数，冲激强度取决于跳变大小。信号SWJTU EE§1-4信号的基本运算信号的时域变换有翻转、展缩、倒相、相加、相乘、微分 信号的翻转将信号的波形以纵轴为轴翻转1800f (t)1翻转f (-t)1y(t)= f(-t)-102t-201t

18、如果f(t)是一个录制在磁带上信号，那么f(-t).信号SWJTU EEf ( t )1左加右减将信号f(t)的波形沿时间轴左右平行移动， 而波形保持不变。-2011右移t t t0-201tt01左移t t + t0-201tt0f(t)f(t+t0)信号SWJTU EEf(t)f(t-t0) 信号波形展缩(尺度变换) 将信号f(t)波形在时间轴上展宽或压缩，但纵轴上的值不变)11t00-1t-122f（at）a为常数 |a|>1表示f(t)波形在时间轴上压缩1/|a|倍如果f(t)是一个录制在磁带上信号带慢放时，信号被展宽；快放时，信号被压缩；信号SWJTU EE快速慢速 信号波形倒

19、相将信号的波形以横轴为轴翻转1800f(t)10(a)-f(t)0-12t-12t-1(b)信号SWJTU EE例：已知f(5-2t)的波形，试画出f(t)的波形。f (5 - 2t)2d (t - 3)分析:t325203f (t) ¾压¾缩¾® f (2t) ¾反¾转¾® f (-2t) ¾平¾移¾® f (5- 2t)求解过程:左移5反转拉伸2f (5- 2t) ® f (-2t) ® f (2t) ® f (t)信号SWJTU EEf (

20、5 - 2t)f (-2t)2d (t - 3)12d (t -)2t32t521203-10比例翻转由f(2t)f(2t)f (t)4d (t +1)2d (t + 1 )f(2t)2t1012t01- 12信号SWJTU EE由f（52t)f(2t)例:已知f(t)的波形，试画出f(1-2t)的波形。分析:f (t) ¾翻¾转¾® f (-t) ¾压¾缩¾® f (-2t) ¾平¾移¾® f (1- 2t)f (t) ¾平¾移¾®

21、f (t +1) ¾压¾缩¾® f (2t +1) ¾翻¾转¾® f (1- 2t)f(t)翻转f(-t)110-10t123t展缩f(-2t)平移f(1-2t)-0t0t信号SWJTU EEf(1-2t)另一方法: f (t) ¾平¾移¾®f (t +1) ¾压¾缩¾®f (2t +1) ¾翻¾转¾®f (1-2t)-0t平移：f(t)f(t+1)1110123 t023 t-1展缩：翻转：f(

22、1-2t)1f(2t+1)1-1102t102t12-信号SWJTU EEl 信号的相加与相乘如中演唱者的歌声与背景音乐的混合及影视动画中添加背景都是信号的叠加；通信系统中信号的调制解调、混频及频率变换等都 用到信号相乘。1、相加：f1( t ) + f2 ( t )f 1 ( t )f ( t )f 2 ( t )tt00f 1 ( t )f( t )2信号SWJTU EE2、相乘：f1 ( t )× f2 ( t )sinWtsin8WtsinWt ´sin8Wttttdf ( t )4、微分dtf (t)u(t)11tt01df (t)340d (t)dt14tt信号

23、SWJTU EE0-1013tòf (t )dt5、-¥f(t)e-at0 < t < t01>>at0f(t)=0t0te-at-e-a( t-t0 )t £ t <¥0ì1-at-0<t<t(1e)tòf(t )dt =ía011-a0-a-¥( tt)tt- -(t £t<¥)t00îa(1e)1e0a运算可削弱毛刺噪声的影响信号SWJTU EE§1-5 系统的描述和分类 统？跳动图波形制光信像片SWJTU EE系统是由若

24、干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的主体。组的事物可以是：电子、机械、等方面的物理实体 、管理等方面的非物理实体非信号SWJTU EE电路很难区分，只是观点和处理问题的角度上的差别。电路分析：求解电路中各支路或回路电流及各节点的电压。系统分析：重点讨论输入、输出关系或运算功能。系统的基本作用是对输入信号进行成需要的输出信号。和处理，将其转化输入信号激励输出信号响应e(t)输入激励r(t)输出响应输入输出信号SWJTU EE§1-5 系统的描述和分类 一、系统描述系统模型是指实际系统基本特性的一种抽象描述。f(·)y(·)y (·)f (&#

25、183;)1y2(·)1f2(·)ym(·)fn(·)把着眼于建立系统输入、输出与内部状态变量关系的系统模型称为状态空间模型（描述），相应的方程称为状态空间方程。统二、连续系统输入输出方程例：图示的电路系统，以电感的电流iL为电路的响应。iRRLiLiC+-+uC-us(t)Cd n-1 y(t)d n y(t) +dy(t)+" + a1+ a0 y(t)an -1dtn -1dtn= bmdtd m-1 f (t)d mf (t)df (t)+ bm -1+" + b1+ b0 f (t)信号dtm -1dtmdtSWJTU EE

26、二、系统的特性及分类1、连续时间系统与离散时间系统输入、输出都是连续时间信号，其数学模型是微分方程输入、输出都是离散时间信号，其数学模型是差分方程实际上，这两常组合运用，称为混合系统2、即3、无4、集中参和动态系统（按照系统内是否含有记忆元件）和有（按系统内是否含源）和分布参（按系统的参数是集中的或分布的）5、线性系统和非线性系统（按其特性分）6、时不变系统与时变系统（按其参数是否随t而变）7、因果和非因果系统实际电路的远小于其工作频率所对应的波长本课程主要研究：集中参数的、线性非时变的连续时间和离散时间系统。以后简称线性系统。信号SWJTU EEf(t) ® y(t)kf(t) &

27、#174; ky(t)齐次性： 如果则:迭加性：如果 f1(t) ® y1(t)f2(t) ® y2(t)则： f1(t)+ f2(t) ® y1(t)+ y2(t)线性：如果 f1(t)® y1(t)f2(t) ® y2(t)则： k1f1(t)+ k2f2(t) ® k1y1(t)+k2y2(t)信号SWJTU EE例：若y(t)=a(t)f(t) ，y(t)与f(t)是否满足线性？对于输入序列为f1(t)和f2(t) ，输出序列为y1(t)和y2(t )，即：y1 (t) = T f1 (t)y2 (t) = T f2 (t)当

28、输入为： f (t) = a1 f1 (t) + a2 f2 (t) 时，输出y(t) = T f (t) = T a1 f1 (t) + a2 f2 (t)y(t) = a1 y1 (t) + a2 y2 (t)若时， 则称该系统为线性系统。否则，则称该系统为非线性系统。信号SWJTU EE分析什么是线性系统？例：若y(t)=a(t)f(t) ，y(t)与f(t)是否满足线性？解： 设y1(t)=a(t)f1(t)y2(t)=a(t)f2(t) 当输入f(t)= k1 f1(t)+ k2 f2(t)时输出y(t)= a(t)k1 f1(t)+ k2 f2(t)k1 y1(t)+ k2 y2(

29、t)= k1 a(t)f1(t)+ k2 a(t)f2(t)= a(t)k1 f1(t)+ k2 f2(t) 因为 y(t)= k1 y1(t)+ k2 y2(t) 所以y(t)与f(t) 满足线性信号SWJTU EEf(t)y(t)RL对线性系统，全响应=零输入响应零状态响应+-us(t)分解特性分解特性零输入线性零状态线性线性系统Û 满足信号SWJTU EE从另一个角度定义线性系统例 系统的输入f(t)和响应y(t)的关系如下(初始条件为y(0)，试说明系统是否为线性系统，不是的说明。(1)y(t)=ay(0)+bf(t)(a、b为常系数)(2)y(t)=y(0)sint+y(0

30、)f(t)(3)y(t)=3y(0)+f 2(t)分析：是否满足 分解特性、零输入响应线性、 零状态响应线性解：（1）满足分解特性零状态响应yf(t) =bf(t)，零输入响应yx(t)= ay(0)因为零输入响应线性、 零状态响应线性所以系统是线性系统信号SWJTU EE(2)y(t)=y(0)sint+y(0)f(t)不满足分解特性，所以不是线性系统(3)y(t)=3y(0)+f 2(t)满足分解特性零状态响应yf(t) =f2(t)，零输入响应yx(t)= 3y(0)零状态响应是否线性此时 yf(t)=f 2(t)设yf1(t)=f 12(t)yf2(t)=f 22(t)当输入f(t)=

31、 k1 f1(t)+ k2 f2(t)时，输出:y(t)= k1 f1(t)+ k2 f2(t)2¹ k1 f1 (t)+ k2 f2 (t)= k1 yf1(t)+ k2 yf2(t)22所以零状态响应非线性。所以不是线性系统信号SWJTU EE例:一线性时不变系统，在相同的初始条件下，若当激励为f(t)时，其全响应为y1(t)=2e-3t+sin2t 全响应为y2(t)=e-3t+2sin2tt>0t>0；若当激励为2f(t)时，其求: (1)初始条件不变，当激励为f(t-t0)时的全响应y3(t)(t0>0)(2)初始条件增大1倍，当激励为0.5f(t)时的全

32、响应y4(t)解: 设 对输线入性系应统为，y全( 响) ，应=零状输态入响应应为y (零) 状，态则响有应xyx(t)+ yf(t)= y1(t)=2e-3t+sin2tyx(t)+2yf(t)= y2(t)=e-3t+2sin2tf解得：yx(t)= 3e-3tyf(t)=-e-3t+sin2t(1) y3(t)= yx(t)+ yf(t-t0)= 3e-3t+-e-3(t-t0)+sin2(t-t0)(2) y4(t)=2yx(t)+0.5yf(t)= 2´3e-3t+0.5-e-3t+sin2tt> t0= 5.5e-3t+0.5sin2tt>0信号SWJTU E

33、E 2、时不变特性在零状态的初始条件下，系统的响应与施加于系统的时刻无关T f (t) = y f (t)T f (t - t0 ) = y f判据：若则(t - t0 )f(t)yf(t)ETTf(t-t0)ttyf(t-t0)TEt0t0+Ttt0t信号SWJTU EE时变系统：不满足时不变性质的系统。即系统的参数随时间变化。时不变系统：满足时不变性质的系统。即系统的参数不随时间而改变信号SWJTU EE例1-9试以下系统是否为时不变系统(1)yf(t)=2cosf(t)(2)yf(t)=f(2t)y(t) = T f (t)t0 ，即 ：f (t - t0 ) 时，输出为当输入信号在时间

34、上延迟y(t, t0 ) = T f (t - t0 )y(t, t0 ) = y(t - t0 )若时， 则称该系统为时不变系统。 否则，则称该系统为时变系统。信号SWJTU EE解 (1)yf(t)=2cosf(t)当输入信号在时间上延迟 t0 ，即 ：f (t - t0 ) 时，输出为y(t, t0 ) = 2 cos f (t - t0 )因为 y(t - t0 ) = 2 cos f (t - t0 ) = y(t, t0 )所以，该系统为时不变系统。(2)yf(t)=f(2t)当输入信号在时间上延迟 t0 ，即 ：f (t - t0 ) 时，输出为y(t, t0 ) = f (2t - t0 )y(t - t0 ) =f (2(t - t0 ) ¹ y(t, t0 )因为所以，该系统为时