电路课件第十三章

1、第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱本章重点13.413.5非正弦周期信号周期函数分解为叶级数有效值、平均值和平均功率非正弦周期电流电路的计算对称三相电路中的高次谐波首 页 l 重点 1.周期函数分解为叶级数2.非正弦周期函数的有效值和平均功率3.非正弦周期电流电路的计算返 回13.1非正弦周期信号生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。(1)(2)不是正弦波按周期规律变化f (t) = f (t + nT)返 回 页下 页l 非正弦周期交流信号的特点例1半波整流电路的输出信号示波器内

2、的水平扫描电压例2周期性锯齿波返 回 页下 页例3脉冲电路中的脉冲信号tT返 回上页下 页例4交直流共存电路+VEs返 回 页下 页13.2周期函数分解为叶级数若周期函数满足条件：周期函数极值点的数目为有限个；间断点的数目为有限个；在一个周期内绝对可积，即：Tò0f (t) dt < ¥可展开成收敛的叶级数注意一般电工里遇到的周期函数都能满足条件。返 回 页下 页周期函数展开叶级数：直流分量（和原函数同频）f (t) = A + A cos(w t + f ) +01m11cos(2w t + f ) +L+ A二次谐波（2倍频）2m12cos(nw t + f )

3、+ A高次谐波nm1n返 回 页下页¥f (t) = A0 + å Akm cos(kw1t + fk )k =1也可表示成：A cos(kw t + f ) = a cos kw t + b sin kw tkm1kk1k1系数之间的关系为：A0 = a0=+ b2Aa2kmkka = Acosfb = - Asin fkkmkkkmkf = arctan - bkkak返 回 页下 页¥f ( t) = a0 + åak coskw1 t +bk sin kw1tk =1系数的计算：= 1TòA = af ( t)d t00T0= 12 f

4、 (t) cos(kw t)d(wòat)k110= 12 f ( t)sin(kw t)d(wòbt)k110求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t) 的展开式。返 回 页下 页注意利用函数的对称性可使系数的确定简化f (t)f (t) = f (-t)= 0bkf (t)f (t) = - f (t)= 0akT/2oT/2tf (t)f (t) = - f (t + T )= b= 0atoT2k2kT/22返 回 页下 页T/2oT/2t周期函数的频谱图： kw1Akm的图形Akmw13w5w117w1ok1fk kw1的图形返 回 页下 页例1周期性方波信号的分

5、解ìTiS0 < t <2Iïmi (t) =IíT2mSï0< t < TtîoT/2T 解 图示矩形波电流在一个周期内的表：= 1(t)dt = 1dt = ImTiT / 2Iòò直流分量： IOSmTT200= 12 i(wt)sin kwtd(w t)ò谐波分量： bKS0ìï0K为偶数I1coskwt)= m (-=2I0í m kïî kK为奇数返 回 页下页= 22 i(wt) coskwtd(wt)òakS0= 2

6、Im× 1 sin kwt = 00k= 2ImA =+ a= bb22（k为奇数）kkkKkis 的展开式为：= Im+ 2Im(sin wt + 1 sin 3wt + 1 sin 5wt +L )iS235返 回 页下 页周期性方波波形分解直流分量tt三次谐波七次谐波五次谐波t返 回 页下页直流分量+直流分量直流分量+三次谐波三次谐波返 回 页下页等效电源iSis1is 3is 5IS0ImtTT/2= Im+ 2Im(sin wt + 1 sin 3wt + 1 sin 5w t +K )iS235is5 is1 is3 IS0返 回 页下 页AkmiS矩形波的幅度频谱Imt

7、T/2Tw3w5w7wo1111= Im+ 2Im(sin wt + 1 sin 3wt + 1 sin 5w t +K )iS2fk35w3w5w7w1111ok1矩形波的相位频谱-/2返 回 页下 页13.3有效值、平均值和平均功率1.三角函数的性质正弦、余弦信号一个周期内的为0。2 2 sin kwtd(wt) = 0cos kwtd(wt) = 0òò00为p。k整数 sin2、cos2在一个周期内的2 2 wwwwòòt) = t) = sin k2td(cos2ktd(00返 回 页下 页三角函数的正交性2 coskwt × sin

8、 pwtd(wt) = 0coskwt × cos pwtd(wt) = 0ò02 ò02 sin kwt × sin pwtd(wt) = 0ò0返 回 页下 页(k ¹ p)2.非正弦周期函数的有效值¥i(t) = I0 + å Ikmcos(kwt + j )k若k =1则有效值:1Ti (t )TwòI =2d(t)021Téù¥åk =1( wt + j )T=ò+êëI0Ikmcos kú d(t)ûk0

9、返 回上页下 页21TTéù¥åk =1( w)Tt + jòI =+êëI0Ikmcos kú d(t)ûk01òI dt = I2200T10Tw t+ fò)dt =I 2cos (k2I2kkm1kT10T2Icos(kwt + f )dt = 0ò0kT01T2Icos(kwt + f )Iò)dt = 0kmk(k ¹ q)T0返 回 页下 页I 2¥+ åkm I =I 202k =1周期函数的有效值为直流分量及各结论次谐

10、波分量有效值平方和的方根。返 回上页下 页I =I 2 + I 2 + I 2 + ××××××0123.非正弦周期函数的平均值¥i(t) = I0 + å Ikmk =1cos(kwt + j )k若其直流值为：其平均值为：正弦量的平均值为：= 1TIcoswt dt = 0.898IòIavmT0返 回 页下 页I= 1Ti(wt) dtavT ò0I = 1 òT i(wt)dt = I T004.非正弦周期交流电路的平均功率u(t) = U0+ åUkm cos(kw

11、t + juk )¥k =1¥i(t) = I0 + å Ikm cos(kwt + jik )k =11TP =òu × idtT0利用三角函数的正交性，得：P = U0 I0 + åUk Ik cosjkk =1= P0 + P1 + P2 + .¥(j = jkuk- j )ik返 回 页下 页结论平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率返 回 页下页P = U I +U I cosj +U I cosj +L001 1122213.4非正弦周期电流电路的计算1.计算步骤利用叶级数，将非正弦周期函数展开干种频率的谐波信

12、号；对各次谐波分别应用相量法计算；（注意:交流各谐波的 XL、XC不同，对直流L 相于短路。）C相当于开路、将以上计算结果转换为瞬时值迭加。返 回 页下页2.例1计算举例方波信号激励的电路。求u,已知：R = 20W、L = 1mH、C = 1000pFIm = 157A、 T = 6.28siSRuCL 解 (1)方波信号的展开式为：iSI2I13+ m (sin wt +sin 3wt +=i m ImS2t+ 1 sin 5wt +L )0T/2T5代入已知数据：返 回上页下 页= Im= 157 = 78.5A直流分量：I022= 2 ´1.57 = 100 mA= 2Im最

13、大值：Ip1m3.14= 1 I= 33.3AI三次谐波最大值：3m1m3= 1 I= 20AI五次谐波最大值：5m1m52 ´ 3.14角频率： w = 2 = 106rad/s6.28 ´10-6T返回 页下 页电流源各频率的谐波分量为：= 78.5Ai=100sin106 t AIS 0s1i= 100 sin 5 ×106 t Ai= 100 sin 3 ×106 t As 55s 33（2）对各次谐波分量单独计算：IS 0IS0（a)直流分量作用uR= 78.5AIS 0U0 = RIS 0 = 20 ´ 78.5´10-6

14、=1.57mV返 回上页下 页i=100sin106 tA（b)作用s1- 1 =1= -1kiS1Rw C106 ´1000 ´10-12u1Cw L= 10 ´10-3 = 1kL61XL>>R(R + jX) × ( jX)XXLw) =»-= 50kZ (LCLCR + j( X+ X )1RRCLC100 ´10-65000&&U = I × Z (w）=× 50 =mV11122返 回 页下页(c)三次谐波作用 i= 100 sin 3 ×106 tAs 33 1=

15、1= 0.33kWiR3w C3´106 ´1000 ´10-12S 3u1Cw L= 3´10 ´10-3 = 3k36L1(R + jXL3)(- jX)wC 3) =Ð -WZ (3374.589.190R + j( XL3 - XC 3)110-6&&× Z (3w )= 33.3´U= I´ 374.5Ð - 89.1903S 312= 12.47 Ð - 89.20 mV2返 回 页下 页i= 100 sin 5 ×106 t(d)五次谐波作用As

16、 55= 0.2kW11iS 5=R5w C5 ´106 ´1000 ´10-12uC1w L= 5 ´10 ´10-3 = 5k56L1(R + jXL5)(- jXC 5)w) =Ð - 89.53 WoZ (5208.3R + j(5XL5- XC 5)1&&-106w )= I× Z (5= 20 ´× 208.3Ð - 89.53°U5s512= 4.166 Ð - 89.53° mV2返 回上页下 页(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：U

17、& = 12.47 Ð - 89.2° mVU0 = 1.57 mV324.166U& = 5000 mVU&=Ð - 89.53omV1252u = U0+ u1 + u3 + u5» 1.57 + 5000 sin wt+ 12.47 sin(3wt - 89.2° )+ 4.166 sin(5wt - 89.53° ) mV返 回 页下 页已知: u = 30 +120 cos1000t + 60cos(2000t + ) V.例24求电路中各表读数(有效值)。V2L140mHL2A330WmC1A1cd

18、A225mF2V1+uab返 回 页下页10C 解 (1)u0=30V作用于电路，L1、L2短路，C1、C2开路。i0= iL20 = u0/R =30/30=1A,iC10=0,uad0= ucb0 = u0 =30V返 回 页下页iC10(2) u1=120cos1000t V作用wLwL = 1000 ´10 ´10-3 = 10= 1000 ´ 40 ´10-3 = 4012111= 40wCwC1000 ´ 25 ´10-6j10W12j40WU&= 120Ð0oV30WI&&IL 211C

19、11dcI&= I&I&= 0-j40W-j40W11L 21U&U&_b= 0+cb11aU&= U&= 120Ð0oV并联谐振ad11120Ð0o&&o= jwCU = 3Ð90 AI- j40C1111返 回 页下页(3) u2=60cos(2000t+p /4)V作用w= 2000 ´ 40 ´10= 80W,2wL = 2000 ´10 ´10-3 = 20-2L312= 20111=2wC2wC2000 ´ 25 ´10-

20、612j80Wj20WU& = 60Ð45oV30W&I&IC122cdL 22I&= I&= 0I&-j20W-j20W2C122U&_bU&= 0a +2ad2U&= U& = 60Ð45oVcb22U&60Ð45o并联谐振&o= 3Ð - 45 AI 1j2wLL 22j202返 回 页下 页所求电压、电流的瞬时值为：i=i0+ i1 + i2 =1A+iC12 =3cos(1000t+90°) AiC1= iC10 +iC11iL2= iL2

21、0 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t- 45°) Auad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t Vucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45°) V2 = 2.12A表A1的读数： I =1A表A2的读数：3/+ (3/= 2.35A表A3的读数：表V1的读数：表V2的读数：122)2302 + (120 /2)2= 90V302 + (60 /2)2= 52.0V返回 页下页已知u(t)是周期函数，波形如图，L=1/2p H， C=125/p mF，求理想变压器原边电流i1(t

22、)及输例3出电压u2的有效值。 解 w = 2/T = 2´103 rad/su(t) =12 +12cos(w t)ii8W2 : 112+u2*Lu/V当u=12V作用时，电容开路、电感短路，有：2412i = 12 / 8 = 1.5A1u2 = 0o10.5t/ms返回上页下页当 u =12 cos(w t)作用时= -1 =- = -4XwC2 ´103 ´125 ´10-6C1振幅相量X= wL = 2 ´103 ´´10-3= 1WL2U&I&128WI&= - j3A1+12Ð

23、;00+U&11j4j4&&U1 = U = 12Ð0 V01&&=ÐUU60 V021n6i =1.5 + 3cos(wt - 900 )AU2 = 4.243V12返 回 页下页j4W-j4W已知: u = 2202 coswtV例41 u = 2202 coswt +1002 cos(3wt + 300 )V2求Uab、i、及功率表的读数。* W*a+60Wj20WI 解 U=4402 +1002= 451.22V= 440Ð00 VU&ab&一次谐波作用：U1ab(1)+ 440U&&

24、= 6.96Ð -18.4 AI060 + j20(1)2 b三次谐波作用：U&=100Ð300 V测的是u的功率ab(3)1100Ð300I& = 1.18Ð -150 A60 + j60(3)i = 6.962 cos(wt -18.40 ) +1.182 cos(3wt -150 )AP = 220 ´ 6.96cos18.4 =1452.92W返 回 页下页已知:is = 5 + 20cos1000t +10cos 3000t A例5L=0.1H，C31mF，C1中只有电流，C3中只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电

25、流。i2C1i3ii1SC3100W200WLC2 解 C1中只有电流，说明L和C2对三次谐波发生并联谐振。即：C= 1 =1Fw2 L9 ´1052返 回 页下页C3中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对一次谐波发生串联谐振。即：- L C2 1+8= 0C =FjwCj(wL -1 wC)9 ´101512= iS= 5A直流作用： i1返 回 页下 页iSi1100Wi2C1i1i3iSC3100W200WLC2i2 (t) = iS = 20cos1000tA一次谐波作用：三次谐波作用：I&100 ´10= 2.23Ð480 A100

26、+ 200 - j10333(3)30I&= I&- I& =10 -= 8.67Ð -110 A9 - j101(3)S3(3)i (t) =5 + 8.67cos(3000t -11 )A01i (t) = 2.23cos(3000t + 48 )A03返 回 页下页13.5对称三相电路中的高次谐波1.对称三相电路中的高次谐波u= u(t - 2T )u= u(t - T ),= u(t)u设CAB33叶级数( k 为奇数)展开，则有：uA = SUm(k ) cos(kw1t + fk ) A相 - 2k)cos(kw t + fu= SU B相 Bm(

27、k )1k3+ 2k)cos(kw t + fu= SUCm(k )1k3返回 页下 页C相讨论令 k =6n+1，(n =0,1,2)，即：k =1,7,13 各相的分别为：(f )k A相 正序对称三相电源(f - 4n - 2 )k3(f + 4n + 2 ) C相 k3令 k =6n+3，即：k =3,9,15 返 回上页下 页B相各相的 A相 B相 分别为：(f )k零序对称三相电源(f - (2n +1)2)k(fk + (2n +1)2) C相 令 k =6n+5，即：k =5,11,17 负序对称三相电源各相的分别为：(f )k A相 B相 (f - (2n + 2)2 + 2 )k3(f + (2n + 2)2 - 2 ) C相 k3返 回 页下 页结论三相对称的非正弦周期量（奇谐波）可分解为3类对称组，即正序对称组、负序对称组和零序对称组。在上述对称的非正弦周期电压源作用下的对称三相电路的分析计算，按3类对称组分别进行。对于正序和负序对称组，可直接有关结论，第12章的方法和2.零序组分量的响应对称的三角形电源返 回 页下页零序组电压源是等幅同相的电源U&= U&= U&= U&A(k )B(k )C(k )S(