课堂探究 1.1导数

1、.课堂探究探究一 求函数的平均变化率1求函数yfx在区间x1，x2上的平均变化率的步骤是：1求函数值的增量：yfx2fx1；2求自变量的增量：xx2x1；3作商即得平均变化率：.2运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数st在区间t0，t1上的平均变化率，因此求平均速度的本质也是求函数的平均变化率【典型例题1】 1求函数fx在区间1,0，1,3，x0，x01上的平均变化率2假设某一物体的运动方程为s2t2，那么该物体在t2到t3时的平均速度为_思路分析：1按照平均变化率的定义分三步求解；2本质就是求函数st在区间2,3上的平均变化率1解：fx在区间1,0上的平均变化率

2、为：；fx在区间1,3上的平均变化率为：；fx在区间x0，x01上的平均变化率为：.2解析：平均速度为10，故该物体在t2到t3时的平均速度为10.答案：10探究二 导数定义的应用1利用导数的定义可以求函数的导函数或函数在某一点处的导数求导函数时，可按如下步骤进展：1求函数的增量yfxxfx；2求平均变化率；3取极限，得导数fx.2求函数fx在xx0处的导数时，可以有两种方法：一是直接利用导数的定义求得，即fx0 ；二是先利用导数的定义求出fx，再计算fx在xx0的函数值【典型例题2】 1求函数fxx3x在x1处的导数；2求函数fx2的导数思路分析：对于1可有两种方法：一是直接利用导数定义求解

3、，二是先求出fx，再令x1求得fx的函数值即得导数值；对于2可按照导函数的定义直接求导数解：1导数定义法因为yf1xf11x31x2x33x24x，所以x23x4，于是fx在x1处的导数f1x23x44.导函数的函数值法因为yfxxfxxx3xxx3xx33x2x3xx2x，所以x23xx3x21.于是fx的导数fx3x21.从而f131214.2因为yfxxfx22，所以，于是fx的导数fx.点评 利用导数定义求导数的关键在于取极限后，对的变形与化简，使之可以约去分母中的x，然后求得导数探究三 导数的几何意义及其应用1导数的几何意义：曲线yfx在点x0，y0处的切线的斜率就是函数yfx在xx

4、0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值2运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，假设点在曲线上，那么该点的导数值就是该点处的曲线切线的斜率；假设点不在曲线上，那么该点的导数值不是切线的斜率3假设所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进展求解【典型例题3】 1曲线yx22上一点P，那么过点P的切线的倾斜角为A30 B45 C135 D1652函数fx2x，那么曲线yfx在点1，3处的切线方程是_3假设直线l：y4xa与曲线C：yx32x23相切，务实数a的值和切点的坐标思路分析：1先利用导数定义求出fx在x1处

5、的导数，即得切线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角；2先利用导数定义求出切线斜率，再由直线方程的点斜式写出方程；3应先设出切点，再根据导数的几何意义建立关系式求解1解析：yx22，yx，y|x11，过点P的切线的斜率为1，那么切线的倾斜角为45，应选B.答案：B2解析：函数fx2x在点x1处的导数为f11.因此由导数几何意义知，曲线yfx在点1，3处的切线的斜率kf11，因此切线方程为y3x1，即yx2.答案：yx23解：设直线l与曲线C相切于点Px0，y0，fx3x24x.由导数的几何意义，得3x4x04，解得x0或x02，切点的坐标为或2,3当切点为时，有4a，a；当切点为2,3时，

6、有342a，a5.所求a的值为a，切点为；a5，切点为2,3点评 本例3中，切线方程，从而切线斜率，但切点未知，因此应设出切点坐标，才能与导数的几何意义联络起来探究四 易错辨析易错点：不注意点是否在曲线上而出错【典型例题4】 试求过点M1,1且与曲线yx31相切的直线方程错解：3xx3x2x2， 3x2，因此y3x2，所以切线在x1处的斜率k3.故切线方程为y13x1，即3xy20.错因分析：此题错误在于没有注意到点M1,1根本不在曲线上，而直接把点M当成曲线上的点，利用导数几何意义求切线方程，导致错误防止错误的方法是先判断点是否在曲线上，再针对不同情况分别求解正确解答：y3x2解法同上，设过M1,1点的切线与曲线yx31相切于点Px0，x1，根据导数的几何意义，函数在点P处的