课堂导学（1.3.1利用导数判断函数的单调性）

1、.课堂导学三点剖析一、运用导数求函数的单调区间【例1】 求以下函数的单调区间.1y=x4-2x2+6;2y=-lnx+2x2.思路分析:求出导数y,分别令y0或y0,即4x3-4x0,解得-1x1,所以单调增区间为-1,0和1,+.令y0,解得x-1或0x0,即4x-0,解得x;令y0,即4x-0,解得x-或0x0,单调增区间为,+,单调减区间为0,.温馨提示 在求单调区间时,一定要在定义域内考虑.二、函数单调性的逆向应用【例2】 假设函数fx=x3-ax2+a-1x+1在区间1,4内为减函数,在区间6,+上为增函数,试务实数a的取值范围.解：函数fx的导数fx=x2-ax+a-1.令fx=0

2、,解得x=1或x=a-1.当a-11,即a2时,函数fx在1,+上为增函数,不合题意.当a-11,即a2时,函数fx在-,1上为增函数,在1,a-1内为减函数,在a-1,+上为增函数.依题意应有当x1,4时,fx0.所以4a-16,解得5a7.所以a的取值范围是5,7.温馨提示 此题主要考察导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的根本方法,考察综合运用数学知识解决问题的才能.三、运用导数证明不等式【例3】 当x0,时,证明tanxx.思路分析：首先构造函数fx=tanx-x,然后判断fx在0,上的单调性.证明:设fx=tanx-x,x0,.fx=-1=-1=-1=tan2x0.fx在0, 上

3、为增函数.又fx=tanx-x在 x=0处可导且f0=0,当x0,时,fxf0恒成立,即tanx-x0.tanxx.温馨提示 对于tanx的导数,它不是初等函数的导数,可先变换成初等函数的导数,然后根据运算法那么求导.各个击破类题演练1证明函数fx=ex+e-x在0,+上是增函数.证明:fx=ex+,=ex+-=ex-e-x=.当x0,+时,ex1,fx0.fx=ex+e-x在0,+上为增函数.变式提升1xR,求证:exx+1.证明:令fx=ex-x-1,fx=ex-1.x0,+,ex-10恒成立,即fx0.fx为增函数.当x-,0时,fx=ex-10,fx是减函数.又f0=0,当xR时fxf

4、0,即ex-x-10.exx+1.类题演练2 2019河南郑州二模,8 函数y=fx的图象过原点且它的导函数g=fx的图象是右图所示的一条直线，那么y=fx图象的顶点在 A.第象限 B.第象限 C.第象限 D.第象限解:设g=fx=kx+bk0,那么y=fx=ax2+bx+c;那么fx=2ax+b,由此可知a0,又因为函数y=fx图象过原点,所以c=0,故y=ax2+bx+c的顶点:x=0,y=0,应选A.答案:A变式提升2 确定函数fx=x2-4x+3的单调区间.解:fx=2x-4.令2x-40,解得x2.因此函数fx的单调增区间为2,+.令2x-40,解得x3-x1.证明:令fx=2-3+,那么fx=.x1时,x20.fx=0.fx在1,+上为增函数.当x1时,fxf1=2-3+1=0.当x1时,2x3-.变式提升3 函数fx与gx均为闭区间a,b上的可导函数,且fxgx,fa=ga,证明:当xa,b时,fxgx.证明:设Fx=f