北京市东城区第一学期期末高三年级数学理试题及答案

1、东城区2017-2018学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学（理科） 2018.1本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合，或，则（A） （B） （C）（D）（2） 函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是 （A） （B） （C） （D）（3）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（A）1（B）2（C）（D）（4）若满足 则的最小值为（A）（B） （C）（D）（5）已知函数，则的

2、（A）图象关于原点对称，且在上是增函数 （B）图象关于y轴对称，且在上是增函数（C）图象关于原点对称，在上是减函数（D）图象关于y轴对称，且在上是减函数（6）设为非零向量，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的 体积为（A）（B）（C）（D）（8）现有个小球，甲乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球谁赢. 如果甲先抓，那么以下推断正确的是（A）若，则甲有必赢的策略（B）若，则乙有必赢的策略（C）若，则甲有必赢的策略（D）若，则乙有必赢的策略第二部

3、分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（ 9 ）若复数为纯虚数，则实数 （10）的展开式中，的系数等于 （11）已知为等差数列，为其前项和，若，则_（12）在极坐标系中，若点在圆外，则的取值范围为 （13）已知双曲线：的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则 = ；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以为 （写出一个答案即可）（14）如图1，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形，等边三角形的中心称为勒洛三角形的中心. 如图2，勒洛三角形夹在直线和直线之间，且沿轴滚

4、动. 设其中心的轨迹方程为，则的最小正周期为 ；的图象与性质有以下描述：中心对称图形； 轴对称图形；一条直线； 最大值与最小值的和为.其中正确结论的序号为_.（注：请写出所有正确结论的序号） 图1 图2三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分） 在中，角所对的边分别为,， () 求的长；() 若为钝角，, 求的面积（16）（本小题13分）中国特色社会主义进入新时代，我国经济已由高速增长阶段转向高质量发展阶段. 货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，对我国经济平稳运行、高质量发展发挥着越来越重要的作用. 某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货

5、币的汇率与我国经济发展的关系，统计了2017年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价，如下表：周一周二周三周四周五开盘价164165170172a收盘价164164169173170（）已知这5天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求a的值；（） 在（）的条件下，从这5天中随机选取3天，其中开盘价比当日收盘价低的天数记为，求的分布列及数学期望；（III）在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这6天收盘价的方差最小.（只需写出结论）（17）（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面,分别为线段的中点四边形是边长为1的正方形，. （）求证：/平面；（）求直线与平面所成角的正弦值

6、；（III）点在直线上，若平面平面，求线段AN的长.（18）（本小题13分） 已知函数.（）求曲线在点（1，）处的切线方程；（）若对恒成立，求的最小值.（19）（本小题14分）已知椭圆的离心率等于，经过其左焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点() 求椭圆的方程；() 为原点，在轴上是否存在定点，使得点到直线，的距离总相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（20）（本小题13分）已知数列 满足且，数列满足，其中，表示中与不等的项的个数.（I）数列：1，1，2，3，4，请直接写出相应的数列；（II）证明：；（III）若数列相邻两项均不等，与为同一个数列，证明：.东城区2017-2018学年

7、第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B（5）B （6）C （7）A （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11） （12） （13）1，等 （14）， 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解:（）因为，由正弦定理，得（）由，得.因为，得所以. 方法一：因为，所以所以所以 方法二：由余弦定理，得，解得 或（舍）所以 （16）（共13分）解：（I）由于收盘价的中位数为169，且开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，所以a=169. （II）由于只

8、有周四和周五的开盘价比其收盘价低，所以的所有可能取值为0,1,2.，.所以的分布列为012故的数学期望. （III）168. （17）（共14分）证明：（）取线段中点.连接、.因为点为中点，所以，.又因为为正方形，所以，所以，.所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面. （）连接.因为，为中点，所以. 因为平面，平面平面，平面平面所以 又因为正方形，所以. 如图所示，建立空间直角坐标系.，.设平面的法向量为，则有 即令，则，即平面的一个法向量为.，.所以直线与平面所成角的正弦值为. （）设，所以，所以，.设平面的法向量为，则有 即令，则. 因为，则.即平面的一个法向量为.因为平面

9、平面，所以.解得 ，所以. （18）（本题满分共13分）解：（）的定义域为.由已知得，且.所以.所以曲线在点（1，）处的切线方程为. （）设，（）则. 令得.当变化时，符号变化如下表：10极小则，即，当且仅当时，.所以在上单调递增.又，所以的最小值为为. （19）（本题满分共14分）解：（I）由题意得解得故椭圆的方程为. （II）当直线斜率存在时，设直线的方程为.由消去得.易得.设，则设.由点在轴异侧，则问题等价于 “ 平分 ”，且，又等价于“”，即.将代入上式，整理得.将代入上式，整理得，即，所以.当直线的斜率不存在时，存在也使得点到直线，的距离相等.故在轴上存在定点，使得点到直线，的距离总相等. （20）（共13分）解：（I）1，1，3，4，5. （II）时，由知，由题意知，结论成立；时，设