动态几何解题方法与思考策略

1、动态几何解题方法与思考策略重庆市渝中区第57中刘晓丰以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻.一、动态几何问题涉及的几种情况动态几何问题就其运动对象而言，有：1、点动（有单动点型、多动点型）.2、线动（主要有线平移型、旋转型）。线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生形动，因

2、而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.3、 形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动）二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法：动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下七点:1、把握运动变化的形式及过程；2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的几何量；3、动中取静：（最重要的一点）要善于在“动”中取“静”（让图形和各个几何量都“静”下来），抓住变化中的“不变量”和不变关系为“向导”，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量;4、找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关

3、系式;5、列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型；(某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解。在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解)6、是否分类讨论：将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变，或图形的有关几何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决，7、确定变化分界点：若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，画出与之对应情况相吻合的图形，找到情况发生改变的时刻，确定变化的范

4、围分类求解。例：如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形RQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线上，当C、Q两点重合时开始，t秒后正方形ABCD与等腰PQR重合部分的面积为Scm.解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值； （2）当t=5秒时，求S的值；（3）当5秒t8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.ABQCRPD分析：当等腰PQR从C、Q两点重合开始，以1cm/秒的速度沿直线向左匀速运动时，正方形ABCD与等腰PQR重合部分图形的形状在改变，因此，我们需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决。运动过程中有四个特殊位置点,它们分别是点B、

5、C、R和等腰PQR底边的中点E,这四个特殊位置点就是分类讨论问题的“分界点”.因为正方形ABCD的边长为5cm，等腰三角形RQR的底边QR=8cm，（1）所以当t4秒时，QE逐渐地与与BC完全重合，则S是QCG的面积，所以，当t=3秒时，S是QCG的面积（如图一的“静态”）；（2）当4秒t5秒时，即在点E落在线段上到点Q与点B重合，S是四边形QCGP的面积（如图二的“静态”）；CB （图一）AQRPDGE(图一)（3）当5秒t8秒时，点Q、R都在线段BC外，点E在BC上，S是一个五边形BCGPH的面积（如图三的“静态”）.RABCD（Q）PEG(图二)ABCDPQREHG(图三)即1、运动规律

6、；2、思考初始；3、动中取静；4、找等量关系; 5、列方程；6、是否分类讨论：7、确定分界点。三、 典型例题（2006重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形（如图2所示）.将纸片沿直线（AB）方向平移（点始终在同一直线上），当点于点B重合时，停止平移.在平移过程中，与交于点E,与分别交于点F、P.(1) 当平移到如图3所示的位置时，猜想图中的与的数量关系，并证明你的猜想；(2) 设平移距离为，与重叠部分面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的的值，使重

7、叠部分的面积等于原面积的.若存在，求x的值；若不存在，请说明理由. PEFAD1BD2C1C2图2图1图3分析：1、把握运动变化的形式及过程：题目条件：将沿直线（AB）方向平移（点始终在同一直线上），当点于点B重合时，停止平移.所以这是一个图形的平移运动2、思考初始；找出初始位置时某些几何元素的数量和关系：（1）因为在中，所以由勾股定理，得（2）因为，CD是斜边上的中线，所以，即.（3），.第1问：“动”中取“静”：让图形和各个几何量都“静”下来。因为是平移，所以，所以.所以，所以，.同理：.又因为，所以.所以第2问：（1）是求变量之间的关系，则建立函数模型。（2）按题目指定的运动路径运动一遍

8、，重叠部分图形的形状不发生改变，则不需要分类讨论解决。（3）找等量关系式：用面积割补法知道（4）“动”中取“静”，求出相关的常量或者以含有自变量的代数式表示相关的几何量。为便于求其面积，注意选择三角形的底和高。三角形BD1E的底为BD1，需求高。需求直角三角形C2OF的底和高。我们视自变量为“不变量”，以为“向导”去求出三角形的底和高。（A）、的面积等于面积的一半，等于12.（B）、又因为，所以，所以，由得，又的边上的高，为.设的边上的高为，所以.所以.（C）、又因为，所以.在直角三角形PFC2中，C2F=X，又因为，.所以 ，而所以第3问：是求特殊值问题，则建立方程模型求解；存在. 当时，即

9、整理，得解得，.即当或时，重叠部分的面积等于原面积的.解析 （1）.因为，所以.又因为，CD是斜边上的中线，所以，即所以，所以所以，.同理：.又因为，所以.所以（2）因为在中，所以由勾股定理，得即又因为，所以.所以在中，到的距离就是的边上的高，为.设的边上的高为，由探究，得，所以.所以.又因为，所以.又因为，.所以 ，而所以(3) 存在. 当时，即整理，得解得，.即当或时，重叠部分的面积等于原面积的.（2006山东青岛）如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC8cm，BC6cm，C90°，EG4cm，EGF90°，O是EFG斜

10、边上的中点如图，若整个EFG从图的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在EFG 平移的同时，点P从EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，EFG也随之停止平移设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）（1）当x为何值时，OPAC ?（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由（参考数据：1142 12996，1152 13225，

11、1162 13456或4.42 19.36，4.52 20.25，4.62 21.16）分析：1、把握运动变化的形式及过程：题目条件：若整个EFG从图的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在EFG 平移的同时，点P从EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，EFG也随之停止平移（1）整个EFG从图的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移；（2）点P从EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动；0x3.2、思考初始；（1）注意参考数据运用于计算平方、平方根或估算。（2）找出初始位置时某些几何元素

12、的数量和关系；RtEFGRtABC ，FG3cmEGAC第1问：（1）是特殊位置关系问题，建立方程模型求解。（2）“动”中取“静”，让图形和各个几何量都在特殊位置关系（OPAC）“静”下来，画出与对应情况相吻合的图形。O是EFG斜边上的中点当P为FG的中点时，OPEG ，EGAC ，OPAC x ×31.5（s）当x为1.5s时，OPAC 第2问：（1）是求变量之间的关系，则建立函数模型。（2）题目明确了是求四边形OAHP的面积，则不需要分类讨论解决。（3）找等量关系式：用面积割补法知道Y=S四边形OAHP SAFH SOFP（4）“动”中取“静”，求出相关的常量或者以含有自变量的代

13、数式表示相关的几何量。为便于求其面积，选择OFD的底为FP，需求边FP上的高。我们视自变量为“不变量”，以PG=X为“向导”去求出OFD的底和高。在RtEFG中，由勾股定理得：EF5cmEGAH ，EFGAFH AH（ x 5），FH（x5）过点O作ODFP ，垂足为 D 点O为EF中点，ODEG2cmFP3x ，S四边形OAHP SAFH SOFP·AH·FH·OD·FP·（x5）·（x5）×2×（3x ）x2x3 （0x3第3问：是求特殊值问题，则建立方程模型求解；假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与A

14、BC面积的比为1324则S四边形OAHP×SABCx2x3××6×86x285x2500 （计算时注意参考数据的运用）解得 x1， x2 （舍去）0x3，当x（s）时，四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324解析 （1）RtEFGRtABC ，FG3cm 当P为FG的中点时，OPEG ，EGAC ， x ×31.5（s）当x为1.5s时，OPAC （2）在RtEFG 中，由勾股定理得：EF5cmEGAH ，EFGAFH AH（ x 5），FH（x5）过点O作ODFP ，垂足为 D 点O为EF中点，ODEG2cmFP3x ，S四边形OAHP

15、SAFH SOFP·AH·FH·OD·FP·（x5）·（x5）×2×（3x ）x2x3 （0x3（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324则S四边形OAHP×SABCx2x3××6×86x285x2500解得 x1， x2 （舍去）0x3，当x（s）时，四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324（2006河北）如图，在RtABC中，C90°，AC12，BC16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出

16、发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动在运动过程中，PCQ关于直线PQ对称的图形是PDQ设运动时间为t（秒）（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？（3）是否存在时刻t，使得PDAB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；APCQBD（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PDAB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0t1；1t2；2t3；3t4）；若不存在，请简要说明理由 分析：1、把握运动变化的形式及过程：题目条件：动点P从点A

17、出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动在运动过程中，PCQ关于直线PQ对称的图形是PDQ所以，这是双动点P、Q+图形PCQ翻折的运动。（1）动点P从点A出发沿AC边向点C运动；（2）动点Q从点C出发沿CB边向点B运动；（3）PCQ关于直线PQ对称的图形是PDQ.2、思考初始；找出初始位置时某些几何元素的数量和关系；在RtABC中，C90°，AC12，BC16，AB=20，第1问：（1）是求变量之间的关系，则建立函数模型。（2）题目明确了是求四边形PC

18、QD的面积，则不需要分类讨论解决。（3）找等量关系式：PCQ与PDQ关于直线PQ对称，y=2SPCQ（4）“动”中取“静”，求出相关的常量或者以含有自变量的代数式表示相关的几何量。为便于求其面积，注意选择直角PCQ的两直角边为底和高。我们视自变量（动量）为“不变量”（静量），则以CQ4t，AP=3t为“向导”求出PC123t，SPCQ =PCQ与PDQ关于直线PQ对称，y=2SPCQ 第2问：（1）实质是特殊位置关系问题，建立方程模型求解。（2）“动”中取“静”，让图形在特殊情况（四边形PQBA是梯形）“静”下来，画出与对应情况相吻合的图形.当四边形PQBA是梯形时有PQAB.（2）PQAB时

19、，应有，则以此建立方程模型求解.（3）求出相关的常量或者以含有自变量的代数式表示相关的几何量。）当时，有PQAB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，CA=12，CB=16，CQ4t， CP123t， ，解得t2当t2秒时，四边形PQBA是梯形第3问：题目条件：是否存在时刻t，使得PDAB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（1）实质是求两线的特殊位值关系，则仿照第2问的方法建立比例方程求解.（2）“动”中取“静”，让图形在PDAB的情况“静”下来. 画出与对应情况相吻合的图形.设存在时刻t，使得PDAB，那么延长PD交BC于点M，如下图，PDAB，APCQBDM（3）视“动

20、量”为“静量”，求出相关的常量或者以含有变量t的代数式表示相关的几何量。 若PDAB，则，QD=CQ=4t，CP=AC-AP=12-3t, AC12，AB=20，QMD=B，QDM=C=90°，RtQMDRtABC，从而，QM= CM=CQ+QM=4t+，解得t当t秒时，PDAB 第4问：通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PDAB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0t1；1t2；2t3；3t4）；若不存在，请简要说明理由 (1)“动”中取“静”，让图形 “静”下来. 画出与对应情况相吻合的图形.(2)由第3问知道当秒1t秒时，PDAB应有1t，（3）“动

21、”中取“静”，让图形“静”下来. 画出与对应情况相吻合的图形.假设PDAB于D， AP=3t，CPPD=123t，RtAPDRtABC4t=20-5t ，t= 存在时刻t，使得PDAB时间段为：2t3 解析 （1）由题意知 CQ4t，PC123t，SPCQ =PCQ与PDQ关于直线PQ对称，y=2SPCQ （2）当时，有PQAB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，CA=12，CB=16，CQ4t， CP123t， ，解得t2当t2秒时，四边形PQBA是梯形 （2） 设存在时刻t，使得PDAB，延长PD交BC于点M，如下图，若PDAB，则，QD=CQ=4t，CP=AC-AP=12-3

22、t, AC12，AB=20，APCQBDMQMD=B，QDM=C=90°，RtQMDRtABC，从而，QM= CM=CQ+QM=4t+，解得t当t秒时，PDAB （4）存在时刻t，使得PDAB 时间段为：2t3 （2010年河北省）如图16，在直角梯形ABCD中，ADBC，AD=6，BC=8，点M是BC的中点点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动

23、，点Q也随之停止设点P，Q运动的时间是t秒(t0)（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）（2）当BP=1时，求EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由MADCBPQE图1ADCB（备用图）M分析：1、把握运动变化的形式及过程：题目条件：点M是BC的中点点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1

24、个单位长的速度在射线MC上匀速运动在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止表明上动的是两点，实际上由两点引出的等边三角形EPQ是运动图形。题目中点P从点M出发沿MB向B点匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；而点Q从点M出发在射线MC上匀速运动，由于点P的往返运动，且P、Q两点的运动速度相同，所以这两点运动形成的等边三角形EPQ的特征为：当0t4时，三角形EPQ的大小随着时间的增加逐渐变大，但PQ边的中点始终是点M,相当于位似变换；当t>4时，随着时间的增加，三角形EPQ的大

25、小始终不变，相当于平移变换。（这样的变换非常新颖，但是涉及的变换又是很简单的）2、思考初始；找出初始位置时某些几何元素的数量和关系；在直角梯形ABCD中，ADBC，AD=6，BC=8，点M是BC的中点，则MB=MC=4. CD可求。PCQ与PDQ关于直线PQ对称，第1问：在点P从点M向点B运动的过程中，P、Q两点的运动速度相同，y=MP+MQ=t+t=2t第2问：（1）BP=1有点P到达点B点前、后两种情况，则需分类讨论解决。当BP=1时，有两种情形：如图2，若点P从点M向点B运动，有MB = 4，MP=MQ =3，ADCBPMQE图2PQ=6（现在判断点E落在梯形ABCD内、外的位置，以确定

26、EPQ与梯形ABCD重叠部分的图形形状。连接EM，EPQ是等边三角形，EMPQAB=，点E在AD上EPQ与梯形ABCD重叠部分就是EPQ，其面积为若点P从点B向点M运动，由题意得t=4+1=5PQ=BM+MQBP=4+5-1=8，PC=8-1=7(此时点E显然是在AD上方。“动”中取“静”，让图形 “静”下来，画出与对应情况相吻合的图形. 以确定EPQ与梯形ABCD重叠部分的图形形状) .ADCBPMQEFHG图3设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G，过点P作PHAD于点H，则HP=，AH=1在RtHPF中，HPF=90°-60°=30°， HF

27、=3，PF=6FG=FE=PE-PF=PQ-PF=8-6=2又FD=AD-(AH+HF)=6-(1+3)=2，FG= FD=2，点G与点D重合。如图3此时EPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为（把握运动变化的全过程，确定EPQ与梯形ABCD重叠关系是解答本题的关键）第3问：求随着时间t的变化，线段AD被EPQ覆盖线段的长度能否持续一个时段达到最大值。因为当t4时，随着时间的增加，三角形EPQ的大小始终不变，相当于平移变换。这样，线段AD被EPQ覆盖线段的长度达到最大值，且持续到被覆盖线段的右端点到达D点，根据前面的解答知，此时t=5。所以，能4t5解：（1）y=2t；（2）当BP=1时，有两种情形：ADCBPMQE图2如图2，若点P从点M向点B运动，有MB = 4，MP=MQ =3，PQ=6连接EM，EPQ是等边三角形，EMPQAB=，点E在AD上EPQ与梯形ABCD重叠部分就是EPQ，其面积为 若点P从点B向点M运动，由题意得 PQ=BM+MQBP=8，PC=7设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的ADCB