动点最值问题解法探析

1、动点最值问题解法探析一、问题原型：如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题二、基本解法：对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。三、一般结论：(在线段上时取等号)（如图1-2）线段和最小，常见有三种类型：（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间

2、线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。1.两个定点+一个动点。如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是。解析：与关于直线对称，连结，则。连结,在中，则故的最小值为例2（2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中，。（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。解析：（1）对称轴为，由对称性可知：。根据、三点坐标，利用待定系数法

3、，可求得抛物线为：（2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。设直线解析式为：。把、代入得，。当时，则2.两个定点+两个动点。两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。例3如图4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于河宽，且垂直于河岸。将向上平移河宽长到，线段与河北岸线的交点即为桥端点位置。四边形为平行四边形，此时值最小。那么来往、两村最短路程为：。例4(2010年天津市中

4、考)在平面角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，为边的中点。（1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；（2）若，为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点，的坐标。解析：作点关于轴的对称点，则，。（1）连接交轴于点，连接，此时的周长最小。由可知 ，那么，则。（2）将向左平移2个单位（）到点，定点、分别到动点、的距离和等于为定点、到动点的距离和，即。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在上截取，连接交轴于，四边形为平行四边形，。此时值最小，则四边形的周长最小。由、可求直线解析式为，当时，即，则。（也可以用（1）中相似的方

5、法求坐标）（二）“|动定|+|动动|”型：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。例5（2009年陕西省中考）如图6，在锐角中，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为 4 。解析：角平分线所在直线是角的对称轴，上动点关于的对称点在上，当时，最小。作于，交于， 作交于，例6如图7，四边形是等腰梯形，、在轴上，在轴上， ，抛物线过、两点。（1

6、）求、；（2）设是轴上方抛物线上的一动点，它到轴与轴的距离之和为，求的最大值；（3）当（2）中点运动到使取最大值时，此时记点为，设线段与轴交于点，为线段上一动点，求到点与到轴的距离之和的最小值，并求此时点的坐标。解析：（1）由，可得：、；根据、的坐标可求出抛物线解析式为（2）设，且，则，用零点分段法可求得，。当时，。此时，则。（3）轴与直线关于对称，作轴于，动点关于的对称点在直线上，当垂直于直线时，的值最小。，根据和可求直线的解析式，则有。由可知，。作，过点作轴的平行线，交于，那么。作于，则，当是于的交点时，与重合，有最小值5。函数，此时，则，即。3.“|定动|+|动动|+|动定|”型：两定点

7、到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。例7（2009年漳州中考）如图8， ，是内一点，、分别是和上的动点，求周长的最小值。解析：分别作关于、的对称点、，连接，则，当、在线段上时， 周长最小， ， 。 则周长的最小值为例8高速公路与沪渝高速公路垂直，如图9建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（）位于两高速公路同侧，到直线的距离为，到直线和的距离分别为和。请你在旁和旁各修建一服务区、，使、组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。解析：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，。当、在线段上时，最小。过、分别作轴、轴的平行线交于。在中，交轴于，交轴于。，而 四边形的周长

8、最小值为：线段和的最值与定值”问题初探学生常常找不到解题的突破口，此类试题往往同根而异形，利用两个“典型题例”进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。 所谓“典型题例”，就是某些题例虽然不是几何公理或定理，却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题的解答。下面就“线段和的最值与定值”问题，运用两个“典型题例”的源命题进行探讨。 一、关于线段和的最小值 源命题（北师大版七年级下册P228 第七章习题7.3“问题解决”第2 题）： 如图1 所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短？ 本题的解答是：作出点B 的轴对称点B

9、1，连接AB1 交直线l于点P，则点P为所求的奶站位置。 利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例： 【关联题1】（2008 年湖北荆门市中考题） 如图2，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_ 析解：利用菱形的对称性，在AD 上找出点M 关于AC 的对称点M（即AD 的中点），连结MN交AC 于P，则PM+PN 的最小值为线段MN 的长，而M、N 分别为边AD、BC 的中点，故MN 的长等于菱形的边长5。 【关联题2】（2007 年乐山市中考题）如图3，MN 是O的直径，M

10、N=2，点A 在O 上，AMN=30，B 为弧AN 的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（ ） 析解：连结OA，由AMN=30得AON=60，取点B 关于MN 的对称点B，中国教育文库:www.china-连结OB、AB，AB交MN 于点P，则AB的长为PA+PB 的最小值，且易知AOB=90，即AOB为等腰Rt，故 。 【关联题3】（2008 年湖北黄石市中考题） 如图4，在等腰ABC 中，ABC=120，点P 是底边AC 上一个动点，M、N 分别是AB、BC 的中点，若PM+PN 的最小值为2，则ABC 的周长是（ ） 析解：把等腰ABC 沿AC 翻折可得一菱形，由上面

11、【关联题1】的解答可知，PM+PN 的最小值就是菱形的边AB 的长，故AB=2，由AB=BC=2，ABC=120易求得 ，因此ABC 的周长是( )。 【关联题4】（威海市2009 年中考题） 如图5，在直角坐标系中，点A，B，C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C 三点的抛物线的对称轴为直线l，D 为对称轴上l 一动点，(1)求抛物线的解析式； (2)求当AD+CD 最小时点D 的坐标； (3) 以点A 为圆心，以AD 为半径作A，证明：当AD+CD 最小时，直线BD 与A 相切。 写出直线BD 与A 相切时，D 点的另一个坐标。 析解：（1）可设y=a(x+1)

12、(x-3)，再代入点C 坐标，即可求得y=-x2+2x+3。 （2）利用点A、B 关于直线l：x=1 对称，连结BC 交l 于D，则此时AD+CD 取得最小值；设l与x轴交点为E，由BEDBOC 可求得DE=2，BD=2姨2 =AD，所以D 的坐标为(1，2)。 （3）如图6,连结AD，由点A、B、D、E 的坐标易知ADE 和BDE 均为等腰Rt，故ADE=BDE=45所以ADB=90，所以直线BD 与A 相切。 由对称性知点D 的另一个坐标是（1，-2）。 上述源命题还可作进一步引申： 【引申题】小明在某景区游玩，他打算从景点A 到河边（直线l）走一段（长度为已知线段a）再到景点B，怎么走最

13、近？ 析解：如图7，本题的关键是确定直线l 上的两点D、E，因DE=a 为定长，故只需AE+BD 为最小即可；作线段ACl且AC=a，作点C 关于直线l 的轴对称点C，连接CB 交直线l 于点D，在直线l 上截取DE=a，连接AE，则小明应走的路线是AEEDDB。理由是：连接CD，则CD=AE=CD，因DE=a 为定长， 故只须AE+BD(=CD+BD)最小即可。 【关联题1】已知平面直角坐标系内两点A（2，-3），B（4，-1）,(1)若C（a，0），D（a+3，0）,是x 轴上的两个动点，则当a=_时，四边形ABCD的周长最短。 （2）设M、N 分别为x 轴和y 轴上的动点，是否存在这样的

14、点M（m，0），N（0，n）, 使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m、n 的值；若不存在，请说明理由。 析解：（1）如图8，本题中AB 和CD（a+3-a=3）均为定长，故只需AC+BD 取最小值即可； 平移点A 到A1，使AA1=CD=3，作点A1关于x 轴的对称点A2，连结A2B 交x 轴于D，作ACA1D 交x轴于点C，由上述“引申题”结论知此时AC+BD 取得最小值；求得直线A2B 的解析式为y=4x-17，可得 （2）如图9，本题中AB 为定长，分别作点A、B 关于y轴、x 轴点对称点A1、B1，连接A1B1 交x 轴于M，交y轴于N，则根据上述“源命题”的结论，M、N 为

15、所求的点；易得直线A1B1的解析式为 ，令y=0 得 二、关于线段和为定值问题 关于线段和为定值问题，可由一个较经典的源命题进行引申发散。 源命题：（来自马复主编讲堂中考冲刺P123）等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。如图，已知点P 是等腰ABC 的底边BC 上一点，PFAB 于F，PGAC 于G，BDAC 于D；求证：PF+PG=BD。 本题的证明主要有“截长补短”法和“面积法”，略证如下： 略证一：如图10，作PEBD 于E，则四边形PEDG 是矩形，所以PG=ED；易证PBFBPE，所以PF=BE，所以PF+PG=BD。 略证二：如图11，连结AP，点P 到两腰的距离分

16、别为r1，r2，腰上的高为h，则有SABP+SACP=SABC，即12ABr1+12ACr2= 12ACh，所以r1+r2=h（定值）。 利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例： 【关联题1】如图12 在矩形ABCD 中，对角线AC、BD 交于点O，点P 为BC 边上一动点，过点P 作PEBD 于E，PFAC 于F，AB=3,BC=4，求PE+PF的值。 析解：依矩形性质可知OBC 为等腰，P 是其底边上一点，作CHBD 于H，应用源命题结论得PE+PF=CH=2.4。 【关联题2】（2009 年佳木斯市中考题）如图13，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B

17、落到点B的位置，AB与CD交于点E。 （1）试找出一个与AED 全等的三角形，并加以证明； （2）若AB=8，DE=3，P为线段AC 上任意一点，PGAE 于G，PHEC 于H。试求PG+PH 的值，并说明理由。 析解：（1）AEDCEB (证明略)；（2）由（1）知AE=CE，即AEC 为等腰，且ADCD 于D，应用源命题结论可得PG+PH=AD， 因为AB=CD=8，DE=3， 所以CE=AE=5，所以AD=4=PG+PH。 三、理解与应用 如图14，在边长为3 的正方形ABCD 中，点E 为对角线BD 上的一点，且BE=BC，F 为CE 上一点，FMBC 于M，FNBD 于N，试利用上述

18、结论求出FM+FN 的长。 析解：依题意，F 为等腰EBC 底边EC 上一点,连结AC 交BD 于O，则ACBD 于O，且AC=3 ，应用源命题结论可得 。例谈求线段和的最小值问题平面几何中线段和的最小值问题是初中学生较难解决的问题之一，也是棘手问题。笔者就这个问题浏览了05年度全国部分省市的有关中考试题，本文下面将结合中考试题为例予以剖析，供参考。一、以正方形为载体，求线段和的最小值例1. 如图1，四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且CE1，P是对角线BD上任一点，则PEPC的最小值是_。图1分析：由于BD是正方形ABCD的对角线，连接AP，易证ADPCDP，所以PAPC，此

19、时求PEPC的最小值就转化为求PAPE的最小值，连接AE，在PAE中，因为PAPE以AE，故当点P为A与BD的交点时（即当A、P、E三点共线时），PAPE的最小值为AE，由勾股定理可求AE，所求问题可解。解：连接PA，BD为正方形ABCD的对角线ADCD，ADPCDP又DPDP，ADPCDPPAPC连接AECE1，BE3在RtABE中，根据三角形中两边的和大于第三边可知，当P为AE与BD的交点时，PAPE的最小值为AE，即PAPEAE，PAPE5，即PEPC5，PEPC的最小值为5（仅当A、P、E三点共线时取等号）。例2. 如图2，正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AB、BC上，AE3，

20、CF1，P是对角线AC上的一个动点，则PEPF的最小值是（ ）图2A. B. C. D. 分析：因为动点P在正方形ABCD的对角线AC上，在AD边上取点G，并截取AEAG，易证PGAPEA，所以PGPE，所求PEPF的最小值就转化为求PGPF的最小值，连接FG，在PFG中，PGPF的最小值就是FG（仅当F、P、G三点共线时取得最小值）。解：在AD边上取点G，并截取AGAE，连接PGAC是正方形ABCD的对角线PAGPAE，又APAPPAGPAE，PGPE连接FG，过点G作GHBC，垂足为HAGAE3，而四边形ABHG为矩形，BHAG3，GHAB8又CF1，HC5，HF514在RtFHG中，由勾

21、股定理，得在PFG中，PGPFGF（仅当F、P、G三点共线时取等号），即PEPF的最小值为故应选D。二、以菱形为载体，求线段和的最小值例3. （05，南充）如图3，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，M、N分别是AB，BC边上的中点，PMPN的最小值是（ ）图3A. 2 B. 1 C. D. 分析：因为动点P在菱形ABCD的对角线AC上，取CD边的中点G，连接PG，则易证PCGPCN，从而PGPN，因此求PMPN的最小值就转化为求PMPG的最小值，连接MG，在PMG中，PMPG的最小值就是MG，即PMPGMG（仅当M、P、G三点共线时取得最小值）。解：取CD的中点G，连接PGAC是菱形ABC