动态复制期权及其交易成本初探

1、动态复制期权及其交易成本初探广发期货投资研究部: 杨威近一年来，我国期货市场波动风险加大，作为市场的参与者，为了规避风险，更需要具有非对称收益的期权产品，然而在我国还未推出期货期权的情况下，投资者如何构建自己的保险组合策略、“绕道购买”期权产品呢？本文将从经典的B-S公式及其推导原理出发，运用MonteCarlo技术展示看涨与看跌期权的复制全过程，并探讨了存在交易费用（成交金额的一定比例）下，期权复制中各项费用的分布情况，通过比较分析 ，得出复制深度实值看涨期权的成本相对较小而且稳定性也较高的结论。一、相关研究简述1973 年，Fischer Black 和Myron Scholes(1973

2、)发表了期权定价和公司财务一文，在一系列严格的假设条件下，通过严密的数学推导和论证，提出了后来被称为“Black-Scholes 模型”(下称B-S模型)的期权定价模型，成为期权定价理论研究中的开创性成果。Black 和Scholes假设标的股票价格服从几何布朗运动，且其波动率是一个常数。在无套利的条件下，利用动态复制（Dynamic Replication）的方法，推导出基于不付红利股票的欧式看涨期权价格必须满足的微分方程。通过解此微分方程，得出欧式看涨期权价格的显式解，称为B-S 公式。该公式现已成了市场参与者所普遍使用的一个定价工具，推动了衍生产品市场的深入发展。但是在现实世界中，进行实

3、时动态复制是不现实的，因而许多学者分别从离散时间和交易费用方面来复制期权从而研究期权的定价。Boyle和 Emanuel(1980)对于不考虑交易成本的短时间段进行间断性避险的误差分布进行的检验表明，忽略泰勒展开式的某些高阶项，避险误差的期望值为零，且避险误差分布服从自由度为1的卡方分布。Leland(1985)提出采用一种修正的波动率来解决交易成本带来的避险误差问题。Kamal和Derman(1999)对分布的方差的研究表明方差与期权的Vega成比例。Toft(1996 ) 继Leland开创性地对B-S模型进行修正以运用于存在交易成本下的期权定价之后，计算了对冲误差的期望值并给出了显式解。

4、Kabanov和Safarian(1997)给出了存在比例交易成本的对冲误差的范围，并认为Leland的避险策略仅是一种推测。Yonggan Zhao和Ziemba(2003)指出，Leland论文中存在数学证明上的漏洞，并用模拟结果证明Leland模型存在问题，他们借鉴Leland的想法也对B-S模型的波动率进行修正，但使用的是内生的使绝对平均误差最小化的修正波动率来进行定价与避险。Davis和Zariphopoulou(1993、1995)，Hodges和Neuberger(1998)等更是利用随机控制方法求效用最大化的方法对期权进行定价，但由于算法复杂等原因并不实用。二、市场无套利假设与

5、组合自融资（Self-Financing）过程经典的金融经济学假设市场上是不存在套利机会的。我们熟悉的远期（期货）价格的定价公式也基于此，远期（期货）的定价公式可简单表示为：这里，S为当前的现货价格，R为无风险利率（为简化起见，这里可不考虑持有现货的收益，而且这里采取单利形式）。可以发现，在期货的定价中，我们并没有使用现货价格的（历史）期望收益率而是使用无风险利率，其原因就是市场的套利行为。假如该资产市场的远期价格高于F，例如为Fu，那么市场参与者就可以在市场上卖空该远期价格（期货上做空），同时以R的利率借贷资本购入现货，假设到期日现货价格为St，那么在此期间，投资者的在远期（期货）上的盈利为

6、Fu-St，现货上的盈利为St-S*（1+R），两者合计盈利Fu-St+St-S*（1+R）=Fu-S*（1+R）0，获得无风险的套利收益，而该套利行为（远期，期货上卖空）将使得期货价格从Fu回归合理价格F，使得套利机会消失，价格被低估时的情形类似，可见市场无套利的假定有其合理性，期权定价原理也是基于市场无套利假设的。组合的自融资过程可以理解为除了初始的投入以外，在整个投资过程中不再投入资金，而且也不从中转移资金，直到投资期结束。上文中构建的套利组合也就是一个自融资的组合过程（一个远期或期货空头，一个债券（借款）空头，一个现货多头），而且，市场的无套利假设也表明自融资过程组合的预期收益率等于无

7、风险收益率。这成为期权定价中微分方程建立的“雏形”。三、动态复制期权原理1、B-S公式介绍基于无风险套利套利的市场均衡以及组合的自融资过程（策略），期权与标的资产的无风险资产组合的收益率必定等于无风险收益率，Black & Scholes（1973）首次提出了一个基本的欧式期权定价公式。其边界条件为：，K为看涨期权的敲定价，那么解上述微分方程可得： 对于看涨期权，动态复制的Delta值对于看跌期权，Delta为2、离散时间下动态复制的实现在现实的投资活动中，我们不可能连续的对复制期权的组合进行实时连续的调整套保，而只能够根据需要以一定的频率或价格触及进行。按照标准的股票价格行为过程，以看涨期权

8、为例，套保率是标的资产的增函数，当股票价格上涨时，套保率也增加（暂不考虑时间因素），在具体的操作中就是价格高的时候买入股票，而价格低（跌）的时候卖出股票，那么，由于这些高买低卖产生的损失以及到期日的支付（max(s-k,0)）就近似于期权费，特别是当套保的频率变高时，复制费与期权的理论价格越接近（不考虑交易成本）。将动态套保的整个时间段划分为等长度的N个间隔，考虑到交易成本，总的复制成本为（看涨期权）：四、动态复制技术在现实中的不足我们知道，B-S公式是在理想的假设下推导出来的，但是在现实的市场中，这些条件并不能得到满足，这些条件（至少）包括：（1） 常波动率（2） 交易成本（3） 市场价格连

9、续而以上的三项对复制期权的成本影响最大，（1）与（3）主要影响复制成本公式右边的第一项，即理论的期权费部分，如果波动率保持常数，市场价格连续，该项将随着N的增加逐步逼近期权的理论价值，而（2）交易成本将影响复制成本公式中的第二项，N越大，第二项费用越大。五、考虑交易成本的动态复制期权策略分析1、标的资产随机路径生成及分析假定为了对动态复制期权策略中成本费用的构成及影响因素，我们通过MonteCarlo方法模拟出资产价格的1000个可能的路径，并假定：（1） 时间1年=240天=240*4小时=240*4*60分钟；（2） 股票初始价格S0=100，期望收益为0.03，波动率25% ；（3） 复

10、制期权的到期日距起始日1年；（4） 复制的交易费用为交易金额的1%；（5） 动态套保的频率分别取3 分钟，15分钟，30分钟，1小时，2小时，1天，3天，6天；（6） 敲定价分别设定为70，80，90，100，110，120，130；（7） 无风险利率5%。2、动态复制成本（不含交易费用，及成本第1项）分析上文中提到动态复制的第一项成本随着时间间隔数N的增大逐步收敛于对应期权的理论价格。根据分析的结果（见图1、表1、2，图2和图3）我们可以得到：（1） 复制成本1基本呈对称分布状；（2） 频率越高，复制成本1方差越小；（3） 频率相同时，无论是看涨还是看跌，平值期权复制成本1的标准差最大，价内

11、与价外期权的复制成本1的标准差逐步减小；（4） 频率相同时，看涨期权复制成本1的标准差与均值得比值随着敲定价的调高而变大，对于看跌期权，则随着敲定价的调高而减小。由以上分析可知在频率一定（控制一定的复制标准差下）时，无论是复制看涨还是看跌期权，实值期权复制的成本相对较低。图1：不同频率下动态复制成本（第一项）分布表1：动态复制看涨期权成本1的均值与方差情况敲定价708090100110120130B-S期权费33.86 25.41 18.14 12.34 8.03 5.03 3.05 15mins均值33.86 25.41 18.15 12.34 8.04 5.03 3.05 方差0.05 0

12、.08 0.11 0.14 0.15 0.14 0.14 30mins均值33.85 25.41 18.14 12.34 8.04 5.03 3.05 方差0.07 0.12 0.16 0.19 0.21 0.20 0.19 1hours均值33.85 25.41 18.14 12.34 8.03 5.04 3.05 方差0.10 0.16 0.22 0.27 0.29 0.29 0.27 2hours均值33.85 25.41 18.13 12.32 8.01 5.02 3.04 方差0.14 0.23 0.30 0.40 0.42 0.41 0.38 1day均值33.85 25.41 1

13、8.13 12.32 8.03 5.05 3.06 方差0.22 0.33 0.42 0.54 0.59 0.56 0.53 3days均值33.84 25.39 18.12 12.31 8.03 5.06 3.06 方差0.38 0.57 0.75 0.89 1.00 0.95 0.93 6days均值33.85 25.37 18.11 12.33 8.04 5.09 3.10 方差0.49 0.77 1.03 1.26 1.41 1.37 1.25 表2：动态复制看跌期权成本1的均值与方差情况敲定价708090100110120130B-S期权费0.441.513.757.4612.661

14、9.1726.7115mins均值0.441.513.767.4712.6719.1826.71方差0.050.080.110.140.150.140.1430mins均值0.441.513.757.4612.6719.1826.71方差0.070.120.160.190.210.200.191hours均值0.441.513.757.4612.6719.1826.71方差0.100.160.220.270.290.290.272hours均值0.441.513.747.4412.6519.1726.70方差0.140.230.300.400.420.410.381day均值0.441.503

15、.747.4512.6619.2026.72方差0.220.330.420.540.590.560.533days均值0.431.493.737.4312.6619.2026.72方差0.380.570.750.891.000.950.936days均值0.431.473.727.4512.6719.2426.76方差0.490.771.031.261.411.371.25图2：期权复制成本的标准差图3：期权复制成本的标准差与相应均值的比值3、动态复制交易费用（成本2）分析在实际的动态复制期权中，人们更关心的可能是复制成本的第二项，即交易成本，由于动态复制中要不停的（按一定频率）进行相应资产的

16、买卖，从而保证与期权相对应的风险头寸，这时就不得不考虑交易成本。首先，对于交易成本直观的看法是频率越高交易成本越高，将相应的成本2数据进行分析，我们可以发现其分布情况与频率以及敲定价之间的关系（见图4、图5）。图6向我们展示了在不同复制频率与敲定价格下成本2的均值变化情况，综合以上的分析，我们总结出以下几点：（1） 复制成本2的分布程非对称状；（2） 无论复制看涨还是看跌期权，敲定价越高，成本2的方差越大；（3） 成本2的均值在复制平价期权时最高，而其他情况逐步减小；（4） 综合（2）与（3），复制低敲定价的看涨与看跌期权，其成本2都相对较小，而且具有更小的稳定性（方差）。图4：不同频率与敲定

17、价下复制看涨成本2分布情况图5：不同频率与敲定价下复制看跌成本2分布情况图6：不同频率与敲定价下复制成本2均值与B-S期权费的比率4、动态复制两项费用总体分析由以上对两项费用的综合分析，可以得到以下几点结论：（1） N值越大（频率越高），第一项费用的稳定性越好（方差越小），第二项费用的成本越大，稳定性也差；（2） N值一定的情况下，对于看涨和看跌期权，平值期权复制的第一项费用稳定性较差，第二项费用的均值也较大；第二项费用的稳定性随着敲定价的增高而变差；（3） N不变，考虑到期权的理论价格（B-S价格），深度实值看涨期权的单位期权费对应的方差较小，第二项费用的均值较小，稳定性也较高；但对于深度实值的看跌期权，第二项费用的稳定性却较差；对于深度虚值