再论实数系完备性相关定理的证明

1、学生研究与讨论 -关于实数系完备性相关定理等价性的研究实数系完备性相关定理的新证法郎风华 （重庆邮电学院，重庆 400065）摘要：本文首先论证柯西收敛准则，然后由此出发依次论证实数系的其它六个基本定理，并最终形成一个完美的论证“环”。同时文中指出并验证有理数集不具有完备性。关键字：实数；完备性；柯西收敛准则；区间套定理；致密性定理；有限覆盖定理；聚点定理1 引言实数系的完备性是实数的一个重要特征，与之相关的七个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的，它们从不同的角度刻划了实数系的完备性或连续性，并且它们是论证其

2、它一些重要定理和规则的依据，如一致连续性定理等。因此在理论上具有重要价值。传统的论证方法一般是假定某一定理成立（如假定确定存在定理），然后在此基础论证其它的定理，这种论证本身具有不严谨性和不可靠性；还有论证方法是从Dedekind切割定理入手，然后论证确界存在定理，但这又带来了一个问题如何证明戴德金特连续性公理（Dedekind切割定理，这个定理是戴德金特等人在用有理数构造实数的工作出给出的证明，但定理的证明相当繁琐且难懂）。柯西收敛准则给出了极限存在的充要条件，在理论上具有重要价值。笔者就从柯西收敛准则的证明入手，避开了证明戴德金特连续性公理等实变函数的内容，从而使问题得以巧妙的解决。本文的

3、论证流程如下图所示：43876521确界存在定理单调有界定理Start区间套定理致密性定理聚点定理有限覆盖定理柯西收敛准则 图1实数完备性论证流程图 2 实数系完备性相关定理的论证2.1 柯西收敛准则柯西收敛准则：数列xnR收敛的充要条件是： 0，NN+, n,mN有|xnxm| 0，NN+, nN及pN+ 有|xn+pxn| 0，N,n,mN有若1，则|xma|-|xna|=(-1)|xna|，由三角不等式知|xma|-|xna|xnxm|，(-1)|xna|xna|，由极限的定义知数列xn收敛，且。若1，则|xna|-|xma|=(1-)|xna|，由三角不等式知|xna|-|xma|xn

4、xm|，(1-)|xna|xna|，由极限的定义知数列xn收敛，且。 若=1，则xn+xm=2a或者xn=xm.若xn+xm=2a，则|xnxm|2|xna|xna|,同理由极限定义知xn收敛。，其极限也为a；若xn=xm，|xnxm|0N时，其值已经不再变化了，即达到了稳态。必要性：数列xn收敛，不妨设其极限值为a，即，则由数项极限收敛的定义知，0，N,n,mN时，有|xna|，|xma|，由三角不等式得，|xnxm|(xna)-(xm-a)|xna|+|xma|+=。综上知，柯西收敛准则成立。柯西收敛准则表明实数列xn必存在实数极限，这一性质集中体现了实现了实数系的完备性，但是有理数集并不

5、具有这种完备性：如是由有理数构成的集合，但e，而e是无理数。从而说明Cauchy收敛准则在有理数集中不成立。2.2柯西收敛准则 确界存在定理上确界的定义：数集S的最小上界称为数集S的上确界，记作=sups。上确界的等价定义1：需满足(),x；(),使得。上确界的等价定义2：需满足(),xn时有=()，由此可见数列是基本列，由柯西收敛准则知实数列收敛，不妨设。下证M即是S的上确界：(),，都有x,而M是的极限且是单调减少的，xM，即M是S的一个上界；()对由条件(2)知0，故，使得，而M，。由条件(3)知中有S的点（至少），从而由上确界的等价定义2知，M是S的上确界。同理可证“有下界的非空实数子

6、集必有下确界”。确界定理反映了实数系连续性这一基本性质，从几何意义上讲就是实数全体分布在数轴上并且没有“空隙”，否则若有“空隙”，则“空隙”的左边没有上确界，而“空隙”的右连没有下确界。而有理数集在数轴上是有“空隙”的，因此它不満足确界存在定理，也就是说：Q内有上界的集合S未必在Q内有它的上确界，如：Tx|xQ, 02，可以证明它在Q内是没有上确界。简证如下：不妨设T在Q内有上确界，记supT=(m,n并且m,n互质)，则有13，而是无理数，故只可能是以下二种情况：(1) 若12，记，从而有0t1, 令r= ，显然有。及 0。从而说明，这与是T的上确界矛盾。(2) 若23，记，同样有0tN时，

7、由的单增性知：，即，由极限的定义得：。若是单调下降的，可用上面类似的方法证明。单调有界定理是数列收敛的充分条件，即只有数列同时满足有界和单调这两个条件，才收敛，若只满足其中一个条件，则不一定收敛。反之，若收敛，则必有界（收敛数列必有界），但不一定单调，如数列收敛而不单调。同样单调有界定理在有理数域内是不一定成立的。如是由有理数构成的单增有界数列，但e，而e是无理数。2.4单调有界定理 区间套定理区间套定理：设，n=1,2, 是一列有界闭区间，满足(),都有,即；() 。则使得，且是一切闭区间的惟一公共点：。满足上述两个条件的闭区间列称为区间套。证明：由条件()知：数列是单调增加且有上界(实际上

8、，()都是的上界).同理也可知数列是单调减小且有下界(其实，(也都是的下界)。由上述的单调有界定理得，数列与都收敛，设，由条件()知=0+=，且有sup=inf，n=1,2, ，即属于所有的闭区间。若也属于所有的闭区间，则同样可得：，n=1,2, ，当时，由极限的夹逼性得，由此即说明了区间套的公共点是惟一的。 区间套定理由一个闭区间套来确定惟一的点，其核心思想是把整体的性质收缩到局部（某点的领域）。当把区间套定理中的无限闭区间序列换成开区间序列或者是无限闭区间的序列时，所有区间的公共点就不能保证一定存在，如数列就找不到满足条件要求的。利用（是无理数）的不足近值序列1.4，1.41，1.414，

9、和过剩近似值序列可以验证有理数集不满足闭区间套定理。2.5区间套定理 有限覆盖定理有限覆盖定理：任何闭区间的任何开覆盖中都存在有限子覆盖。有限覆盖定理的另一种描述：设a,b是有界闭区间，是一族开区间，使得(这个开区间族一般称为是a,b的一个开覆盖)，则可从中选出有限个开区间，使得(这有限个开区间称为原来开覆盖的有限子覆盖)。证明：令E，反设，即a,b不能被E中的有限个区间所覆盖。现等分a,b为二个子区间和，则其中至少有一个子区间不能被E的任何子覆盖所覆盖。否则将导致a,b也能被E的有限个子区间所覆盖而矛盾。若不能被E中的有限个子区间所覆盖，则令=a, =,否则若不能被E中有限个子区间的覆盖=，

10、=b。若两个区间都不能被E中有限个区间所覆盖，则可任选其中之一作为，于是得闭区间,按同样的方法把区间二等分，把不能被E中有限个区间所覆盖的那个区间记作,按上述步骤无限进行下去，于是得一闭区间列,。并且满足如下条件：(1) ；(2) ；(3)任一都不能被E中的有限个区间所覆盖，由条件（1）（2）知，是满足区间套定理的闭区间套，故由闭区间套定理知，存在惟一的，使得。E覆盖，而，即。令=min。，由数列极限的定义知，使得n时，有 n时，有令 ，于是当nN时，有，得，即E中有一个区间可覆盖所有形如(nN)的区间。这与条件（3）矛盾，从而假设不成立，故得证。有限覆盖定理又叫海涅波雷尔(Heine-Bor

11、el)定理。它把某点领域中的“局部”性质扩充到整个区间上，它的重要作用在于把有限转化为无限，从而具有重大的理论价值。对闭区间成立的有限覆盖在开区间和半开半闭区间中是不成立的，如开区间集合是开区间（0,1）的一个开覆盖，但从中不能取出（0,1）的有限子覆盖。由此可见，有限覆盖定理反映了闭区间的一种特性：紧性，故有时称有限覆盖定理为紧性定理。下面举例说明有限覆盖定理在有理数集Q中不成立：把1,2中的所有有理数集合记作，下面构造的一个开覆盖，使其任何有限开覆盖都不能盖住。，存在有理数，使，这样就得到了的一个开覆盖，任取的一个有限开覆盖，设为，由于这些开区间都不含，且其2n个端点都是有理数，故若设这2

12、n个有理数与最靠近的是q，则在q与之间的所有有理数都在上述n个开区间之外，从而说明了的任一有限开覆盖都不能盖住。2.6有限覆盖定理 聚点定理定义：设点集SR， R，如果的任何邻域中都含有S中异于的点,则称为点集S的聚点点是点集S的聚点的三个等价定义：（）在的任何邻域内含有S中的无穷多个点；（）在的任何空心邻域内至少含有S中的一个点；（）存在两两不相同的点列xn，且。聚点定理：有界无穷点集至少有一个聚点。证明：不妨设有界无穷点集S,若S有聚点，则必含于内。现反设内的每一点都不是S的聚点，则使得(表示x的邻域)为有限点集。记,则H为的一个开覆盖。由有限覆盖定理知，存在H中的有限个开区间，使得，由于

13、()为有限集，S为有限点集，与假设矛盾，故在内至少有S的一个聚点。 同样可以利用（是无理数）的不足近值序列1.4，1.41，1.414，来验证聚点定理在有理数集Q内不成立。2.7聚点定理 致密性定理定义：设xn一个数列，而是一列严格单调增加的自然数，则也形成一个数列，称为数列xn的子列，记作。致密性定理：任何有界数列必有收敛的子序列。证明：不妨设xn是有界数列，(1)若 ，且在xn中出现无限次，则由这些项构成的数列就是xn的一个收敛子列，其极限就是；(2)若任何一个数在xn中至多出次有限次，于是xn中无穷多个互不相同的项。从而由这无穷多个互不相同的子项构成了子集就是有界无穷点集，由聚点定理知必

14、存在聚点，由聚点的定义知，其任意邻域内都含有无穷多项，现考察它的邻域，首先在中取一项，记作，又因为在中含xn中的无穷多项，故可在其中下标大于的一项，记作，当取定之后中，同样由于在中仍含有xn的无穷多项，故可取下标大于的一项，记作，从而得，从而由极限的定义得，为的收敛子序列。 综上知，致密性定理成立。 致密性定理又叫做波尔查诺维尔斯特拉斯（Bolzano-Weierstrass）定理，它同有限覆盖定理一样，都反映了闭区间的紧性，因此它也称做是紧性定理。同样可以用（是无理数）的不足近值序列1.4，1.41，1.414，来验证致密性定理在有理数集Q内不成立。2.8致密性定理 柯西收敛准则柯西收敛准则

15、（充分性部分）：若实数列满足：，有则收敛。证明：，有，其中是有界的，由致密性定理知，必存在收敛的子列，不妨设。(由子列的定义知)，有,即，当时，有,由极限夹逼定理知，从而数列是收敛的。柯西收敛准则（必要性部分）：若实数列收敛，则满足：时，有成立。证明：设xn收敛于，按照收敛的定义，0，N,n,mN时，有|xn|，|xm|，于是|xnxm|(xn)-(xm-)|xn|+|xm|+=。参 考 文 献1 Botsko MW. A unified trestment of various theorems in elementary analysis, AmerJ. Math, Monthly, 19

16、87(94):450-452.2 Polga G.Szego G. Problems and Theorems in AnalysisM. Spring-Verlag-Berlin,1972.1.3 崔宝同. 数学分析的理论与方法M. 北京：科学技术文献出版社,1990,94-107.4 胡雁军，李育生,邓聚成等.数学分析中的证题方法与难题选解M.河南大学出版社,1987.8,153-160.5 汪林.数学分析问题研究与评注M.北京：科学出版社,1995,38-42.6 葛显良. 应用泛函分析M. 浙江大学出版社,2002.6,11-14.A Novel Proof for Solving t

17、he Problem about Correlative Theorems of Completability of Real Number Series LANG Feng-hua TIAN You-xian Xian Ji-qing(Chongqing University of Posts & Communications,Chongqing 400065,China)Abstract: In this paper, We present a novel proof scheme for proving Cauchy convergence theorem, then prove the

18、 other correlative theorems based on Cauchy Convergence theorem,and form a ideal proof loop. This paper also point and validate that the rational number dont have a completability.Key Words: Real number; Completability; Cauchy Convergence Rule; Interval Sequence Theorem; Bolzano-Weierstrass Theorem;