全国大学生数学竞赛中北大学选拔赛试题

1、2010年全国大学生数学竞赛中北大学选拔赛试题 总分得分一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1以下说法错误的是（A）设与分别是上的奇函数与偶函数，则与都是上的偶函数；（B）若是可导的奇函数，则其导函数是偶函数；（C）若为上的奇函数，且存在反函数，则其反函数为奇函数；（D）若为（-a,a）上（a>0）的偶函数，且存在原函数，则为奇函数。2 是 的间断点，则其类型为（A）无穷间断点； （B）跳跃间断点； （C）可去间断点； （D）振荡间断点；3. 设为微分方程的解，则在处 （A）的邻域内单增； （B）的邻域内单减；（C）取极大值； （D）取极小值.4下列级数中，收敛的是（A）；

2、（B）；（C） ； （D）.5 若点为曲线的拐点，则（A）必有存在且等于0； （B）必有存在但不一定等于0；（C）如果存在则必有； （D）如果存在，则必不等于0.二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1表示单位球面外侧，则 .2设是以为周期的周期函数，且又设的傅立叶级数展开式的和函数为，则= 3表示由曲面围成的立体，则= 4 设函数在处可导，且, 则 5设为椭圆，其周长为，则 。三、解答题（本大题共5小题，每题8分，共40分）1讨论下面函数在处的连续性 2 已知函数在（）上连续，且其导函数的图形如图所示，求函数的所有极值点、极值和拐点。3 表示从沿上半圆周到一段弧，其中，曲线积分，求

3、的最大值。4. 求级数的收敛域5. 证明函数，在原点处可微。四、（本大题共5小题，每题6分，共30分）1试确定常数.使得当时,与互为等价无穷小2. 交换积分次序 3. 已知都在闭区间上连续，且，单调增，证明： 4. 已知连续函数满足，判定级数的敛散性，并求极限数学竞赛试题评分标准一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分） D,B,D,A,C二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1 ； 2. ; 3. ; 4. ； 5. 12 三、解答题（本大题共5小题，每题8分，共40分）1解：因为：，3分，3分所以：, 1分因此函数在处连续。1分2. 解：根据导数的符号可以判断出，极值点分别

4、为：“”，或极值分别为“”，3分如果没有考虑到考察的是函数也可以不扣分 不可导点为0，再结合左右导数的符号判断，极值点还有0，的极值点1为或极值为 2分拐点3分3解：以表示线段上到的一段，表示半径为的上半圆域，由格林公式得：2分 =1分 = 1分，得 1分容易判定为极大值点，2分极大值为 1分4解：令，于是级数化为，1分容易求出新级数的收敛域为2分由于 1分解不等式 2分得收敛域为2分5解： 2分同理，于是 2分由2分根据夹逼准则，可得，因此可微。2分注：只要写出微分概念就可得2分。四、（本大题共5小题，每题6分，共30分）1解： （本题使用泰勒公式方便，下面就是泰勒公式） 2分 2分为使上述极限为1，显然应有： 2分注：使用罗比达法则，需要使用3次，只要正确使用2次就得3分，第三次1分，结果2分。2解：6分草图正确，其余不对可以给1分。上面两部分对一部分可以给3分。3证明： 2分2分1分1分注：若用定积分和单调性，则构造辅助函数得2分，求导数2分，结果2分。4. 解： （1）两边求导数得 （2）1