全程复习方略文理通用高三数学一轮复习 8.9直线与圆锥曲线的位置关系精品试题

1、【全程复习方略】（文理通用）2015届高三数学一轮复习 8.9直线与圆锥曲线的位置关系精品试题(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=()A.-2B.-C.-4D.-【解析】选D.由y=2x2得x2=y,其焦点坐标为F,取直线y=,则其与y=2x2交于A,B,所以x1x2=·=-.【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊位置探索其值即可.2.(2013·绍兴模拟)无论m为任何数,直线l:y=x+m与双曲线C:-

2、=1(b>0)恒有公共点,则双曲线C的离心率e的取值范围是()A.(1,+)B.(,+)C.(,+)D.(2,+)【解析】选B.直线l:y=x+m的斜率等于1,过点(0,m),双曲线C:-=1(b>0)的两条渐近线的斜率分别为±,由题意得>1,即b2>2,故双曲线C的离心率e=>=,故选B.【加固训练】双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),l1,l2为其渐近线,F为右焦点,过F作ll2且l交双曲线C于R,交l1于M,若=,且,则双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,B.(,)C.(,)D.(,+)【解析】选B.由题意得令l1:y=-x,

3、l2:y=x,l:y=(x-c),由l交双曲线C于R,令解此方程组得R,故有=,由l交l1于M,令解此方程组得M,故有=,由=,得=,所以=-,整理得a2=(1-)c2,即e2=,又,所以e2(2,3),即e(,).3.已知椭圆+=1的焦点是F1,F2,如果椭圆上一点P满足PF1PF2,则下面结论正确的是()A.P点有两个B.P点有四个C.P点不一定存在D.P点一定不存在【解析】选D.设椭圆的基本量为a,b,c,则a=5,b=4,c=3.以F1F2为直径构造圆,可知圆的半径r=c=3<4=b,即圆与椭圆不可能有交点,所以P点一定不存在.4.(2013·衢州模拟)已知任意kR,直

4、线y-kx-1=0与椭圆+=1(m>0)恒有公共点,则实数m的取值范围是()A.(0,1)B.(0,5)C.1,5)(5,+)D.1,5)【解析】选C.直线y=kx+1过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆+=1上或其内部即可.从而m1,又因为椭圆+=1中m5,所以m的取值范围是1,5)(5,+).【误区警示】本题易误选D,根本原因是误认为椭圆的焦点在x轴上,得1m<5,而忽视其焦点可能在y轴上.5.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于()A.3B.4C.3D.4【思路点拨】转化为过A,B两点且与x+y=0垂直的直线与抛物线相交后求弦

5、长问题.【解析】选C.设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),由x2+x+b-3=0x1+x2=-1,得AB的中点M.又M在直线x+y=0上,可求出b=1,则|AB|=·=3.6.直线l:y=x+3与曲线-=1交点的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选D.当x0时,曲线为-=1;当x<0时,曲线为+=1,直线l:y=x+3过(0,3),与双曲线-=1(x0)有2个交点,显然l与半椭圆+=1(x<0)有1个交点,所以共3个交点.7.(2013·衡水模拟)若双曲线-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1(m>b>

6、0)的离心率之积等于1,则以a,b,m为边长的三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选B.设双曲线离心率为e1,椭圆离心率为e2,所以e1=,e2=,故e1·e2=1(m2-a2-b2)b2=0,即a2+b2-m2=0,所以,以a,b,m为边长的三角形为直角三角形.8.(2014·杭州模拟)已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,)B.(,)C.(,2)D

7、.(2,+)【解析】选D.如图所示,过点F2(c,0)且与渐近线y=x平行的直线为y=(x-c).与另一条渐近线y=-x联立解得即点M,所以|OM|=.因为点M在以线段F1F2为直径的圆外,所以|OM|>c,所以>c,解得>2,所以双曲线离心率e=>2,故双曲线离心率的取值范围是(2,+).【加固训练】已知双曲线左、右焦点分别为F1,F2,点P为其右支上一点,F1PF2=60°,且=2,若|PF1|,|F1F2|2,|PF2|成等差数列,则该双曲线的离心率为()A.B.2C.2D.【解析】选A.设|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),双曲线方程为-=

8、1(a>0,b>0),因此有m-n=2a,|F1F2|=2c,=·m·n·=2,m·n=8.又m+n=×4c2=2c2(m+n)2=4c4.由余弦定理cosF1PF2=m2+n2=8+4c2(m+n)2=4c2+24.两式联立解得c2=3c=,所以2a=2,a=1,e=.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2014·湖州模拟)设抛物线x2=4y的焦点为F,经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则|+|=.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知x1+x2=2,且=4y1

9、,=4y2,两式相减整理得,=,所以直线AB的方程为x-2y+7=0.将x=2y-7代入x2=4y整理得4y2-32y+49=0,所以y1+y2=8,又由抛物线定义得|+|=y1+y2+2=10.答案:1010.已知两定点M(-2,0),N(2,0),若直线上存在点P,使得|PM|-|PN|=2,则称该直线为“A型直线”,给出下列直线:y=x+1;y=x+2;y=-x+3;y=-2x.其中是“A型直线”的序号是.【解析】由条件知考虑给出直线与双曲线x2-=1右支的交点情况,作图易知直线与双曲线右支有交点,故填.答案:11.(2014·无锡模拟)若直线mx+ny=4与O:x2+y2=4

10、没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是.【解析】由题意知:>2,即<2,所以点P(m,n)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2个.答案:212.(2013·浙江高考)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于.【解析】设直线l:my=x+1,代入y2=4x得y2-4my+4=0,则yA+yB=4m.因为Q为线段AB的中点,则yQ=2m,xQ=myQ-1=2m2-1,故Q(2m2-1,2m),又|FQ|2=4,所以(2m2-2)2+(2m)2=4m4-m2

11、=0,所以m=±1.答案:±1三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.(2013·厦门模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,a2与b2的等差中项为.(1)求椭圆E的方程.(2)A,B是椭圆E上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(t,0),求实数t的取值范围.【解析】(1)由题意得解得:即椭圆E的方程为+=1.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1x2.又交点为P(t,0),故|PA|=|PB|,即(x1-t)2+=(x2-t)2+,所以t

12、=+因为A,B在椭圆上,所以=4-,=4-.将上式代入,得t=.又因为-3x13,-3x23,且x1x2,所以-6<x1+x2<6,则-<t<,即实数t的取值范围是.【一题多解】(1)同原题.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1x2.()若y1=y2,则线段AB的垂直平分线方程为x=0,即t=0.()若y1y2,则线段AB的垂直平分线方程为y-=-.因为P(t,0)在直线上,所以t=+,因为A,B在椭圆上,所以=4-,=4-.将上式代入,得t=.又因为-3x13,-3x23,且x1x2,所

13、以-6<x1+x2<6,则-<t<.综合()()得实数t的取值范围是.14.(2013·安徽高考)设椭圆E:+=1的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程.(2)设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆E上的第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1PF1Q,证明:当a变化时,点P在某定直线上.【解析】(1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=,从而椭圆E的方程为+=1.(2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,由题设知x0c,则直线F1P的斜率=,直线F2P的斜率=,故直线F2P的方程为y=(x-c

14、),当x=0时,y=,即点Q的坐标为,因此直线F1Q的斜率=.由于F1PF1Q,所以·=·=-1,化简得=-(2a2-1),将代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.15.(能力挑战题)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【解析】(1)依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),且可知左焦点为F(-2,0),从而有解得又a2=b2+c2,所以b2=12.故椭圆C的方程为+=1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=x+t(t0