任意项级数绝对收敛敛201046

1、注意：下次上课千万别缺课，内容重要。预习幂级数注意：通项极限不是零级数发散。即发散.不能推出收敛。例发散，但. §7.4 任意项级数，绝对收敛教学目的：弄清交错级数的概念，掌握莱布尼茨判别法；掌握任意 项级数的绝对收敛与条件收敛概念，能灵活正确运用各 种判别法判断所给级数的敛散性.重点：掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，并能灵活正确 判断所给级数的敛散性.难点：灵活正确判断所给级数的敛散性.教学方法：讲练结合教学过程：本节将讨论不限制项的正负的级数-任意项级数.一、交错级数及其敛散性1.【定义】形如 或的级数称为交错级数.其中 , （）.2.【定理7.10】(莱布尼茨定理):

2、设为交错级数, 若满足(1) ,（）； (2) , 则 收敛, 且级数和,其余项的绝对值.证明: (1) 记为级数的部分和. 考察级数. 由于 有可见单调上升且有上界,由极限存在准则知 .(2) 即不论是奇数还是偶数,当时,总有, 故 收敛.(3) 注意到级数也满足本定理的两个条件, 例1 (1)证明级数是收敛的,并估计误差.证明 令 由于且,故 原级数收敛. （ 由莱布尼茨定理知 ）且其和 ,其误差为.（2）判断级数的敛散性.解 因为,由于,由莱不尼兹定理知原级数发散.练习：判断下列级数的敛散性（1） （收敛，可以证明时， ）（2）（收敛）（3）（收敛）二、绝对收敛与条件收敛1.【定理7.1

3、1】对于任意项级数, 若收敛 ，则 收敛. （ 反之不然.）证明 因 ,又因为 收敛，所以由正项级数的比较判别法知 收敛. 由,且、均收敛 故 收敛.反之不然. 例如收敛, 但 发散.2.【定义】(1)若 收敛；则 级数收敛且绝对收敛.(2)级数收敛，但发散, 则收敛且条件收敛.例如: 而级数条件收敛; 级数绝对收敛, 级数绝对收敛.3【定理7.12】如果任意项级数满足条件 或 ,则 (1) 若,级数收敛，且绝对收敛. (2) 若,级数发散.证明 时，正项级数收敛收敛.当时,时，发散.例2 判断下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；解（1）故 原级数收敛且绝对收敛.（2）因为 所以

4、对，原级数收敛且绝对收敛.由上两题得重要结论：.（3），当时，原级数收敛且绝对收敛；当时，原级数发散.当时，级数成为调和级数，它是发散的；当时，级数成为，它是条件收敛的级数.（4），当时，原级数收敛且绝对收敛；当时，原级数发散.其中 时，级数通项的极限不为零.例3 判断下列级数的敛散性（1）解 因为且级数收敛,由正项级数的比较判别法知级数收敛, 故 原级数收敛且绝对收敛.（2）解 ，,所以 收敛，故原级数绝对收敛.另解: ,收敛原级数绝对收敛.练习:(1) 判断敛散性.提示 因为,级数收敛原级数收敛且绝对收敛.（2）：原级数绝对收敛.（3）：原级数绝对收敛. (4) ：，且为收敛的P级数，所以

5、原级数收敛且绝对收敛.（5）：发散，所以发散.又令， ，即在 上 单调递减，即时级数满足,（），故原级数条件收敛.（）例4 (88.3) 设级数 与 均收敛,求证（1）绝对收敛.（2）收敛.（3）收敛.证 （1） 因为,且与均收敛,所以 收敛,由正项级数的比较判别法知收敛故 收敛且绝对收敛.（2）因为级数 与 均收敛,又由（1）知收敛，又由 得收敛.（3）由于 ， 级数 与 均收敛 收敛.再由正项级数的比较法得 级数 收敛 .提问: （1）下列级数条件收敛的有( ).(a) (b) (c) (d)分析 发散.绝对收敛.答案 （a） .（2）下列级数绝对收敛的有( ).(a) (b) (c) (

6、d) 答案（ c,d）. （3）下列级数发散的有( )(a) (b) (c) (d)答 由莱不尼兹定理可知收敛不选(a),由知发散选(b),由收敛知绝对收敛不选(c),由知收敛不选(d).（4）(94.3) 设常数,而级数收敛,则级数 （ ）.(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与有关.答(C).因为,由题设知收敛,又收敛, 则原级数收敛且绝对收敛.(5) 级数收敛，则级数 （ B ）（A） 条件收敛.(B)绝对收敛.(C)发散.(D) 敛散性不定.解 收敛，收敛，所以收敛，且绝对收敛.（6）(06.4) 若级数收敛,则级数( ) (A)收敛 (B)收敛(C)收敛 (D)收

7、敛答 (D).由收敛可知收敛,所以收敛.例5 判断下列级数的敛散性（1）讨论级数的敛散性.提示：收敛正项级数收敛.（2）判别级数的敛散性.且收敛收敛.（3）解：令 又级数 收敛，所以正项级数收敛.(4)解该级数为,由,且发散知原级发散.(5)解,而, 该级数发散.(6)解 由于,是一个公比为的收敛几何级数，所以由正项级数的比较判别法可知原级数收敛.（7）.解 令， 因为级数 收敛，故级数 收敛.另解：令 原级数收敛.（8）.解：，所以正项级数 收敛， 故 原级数收敛.练习：判定下列级数哪些是绝对收敛,哪些是条件收敛: (1)解 因为,又,有,而调和级数发散,由比较判别法可知级数发散,但由于,且,由莱不尼兹定理知级数收敛,故原级数条件收敛.(2)解 ,由于和都收敛,则收敛,所以原级数绝对收敛.(3) =解 设,原级数可看作,因为 ，则收敛,所以绝对收敛,故原级数绝对收敛.例15 设，并且级数与都收敛，证明 级数 收敛.证明 设则即级数与都是正项级数.因为级数与都收敛，所以级数收敛，又由，所以由正项级数比较判别法知级数也收敛；由 而，且 与 都收敛，故