矢量分析（课堂PPT）

1、：AA：一个只用大小描述的物理量。：一个只用大小描述的物理量。AAeA：AeAeAAA1.1 矢量代数矢量代数：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 ：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 A矢量的几何表示矢量的几何表示：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAAcoscoscoszyxAeeeezAxAAyA

2、zxyO（1）矢量的加减法）矢量的加减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的减法矢量的减法BAABB在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：()()ABCABCABBA（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A B

3、B A1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角ABA B A B 0BA/A BAB（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为BAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若 ，则，则（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算CBCAC)BA(CBCAC)BA()BA(C)AC(B)CB(A C)BA(B

4、)CA()CB(A 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为。1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系z zx xy y),(111zrPrz1R1. 直角坐标系直角坐标系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxz

5、zddddd体积元体积元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐标变量坐标变量zyx,坐标单位矢量坐标单位矢量zyxeee, 点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddddddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐标变量坐标变量zeee,坐标单位矢量坐标单位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzd

6、ddd线元矢量线元矢量zVdddd体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元2. 圆柱坐标系圆柱坐标系 ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr ,r坐标变量坐标变量 e ,e ,er坐标单位矢量坐标单位矢量rerr 位置矢量位置矢量dsindddrererelr线元矢量线元矢量dddsind2rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量球坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元3.球坐标系球坐标系 xeyezeeezecossin0cossi

7、n0001直角坐标与直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标与圆柱坐标与球坐标系球坐标系直角坐标与直角坐标与球坐标系球坐标系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinofxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系fxeyeeeoqrz单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系qqzeeree4. 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系q 如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标

8、量，称该场为。 ：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为。 ：流速场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为，反之为，反之为。1.3 标量场的梯度标量场的梯度时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： 、) t , z , y, x( u) t , z , y, x(F从从看，场是定义在空间区域上的函数：看，场是定义在空间区域上的函数：、)z ,y,x(u)z , y, x(F静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为

9、：1.3 标量场的梯度标量场的梯度: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。C)z,y,x(u ：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；列不同的等值面，形成等值面族；标量场等值面充满场所在的整个空间；标量场等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 ：: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )：方向导数表示场沿某方向的空间变化率：方向导数表示场沿某方向的空间变化率

10、。00coscoscos|limMluuuuullxyz ： l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向减小；方向减小； l0ul u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 l：方向导数既与点：方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关。方向有关。：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、：zueueueuz1圆柱坐标系圆柱坐标系 ureurerueursin11球坐标系球坐标系zueyuexueuzyx

11、直角坐标系直角坐标系 ：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向： ，其中，其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|luuel luelu标量场的梯度是标量场的梯度是，它在空间某，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度在该方向上的投影。： u)u(f)u(fuvvu)uv(vu)vu(uC)Cu(C0标量场的梯度

12、标量场的梯度通过该点的等值面（或切平面）通过该点的等值面（或切平面） (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为PzyxP)zyx)(zeyexe( 22 zyx),(zyxeee)eyexe( 2222111 设一标量函数设一标量函数 ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空间标量场。求：描述了空间标量场。求： (1) 该函数该函数 在点在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向的处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的

13、方向导数值与该点的梯度处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。ozoyoxlcosecosecosee604560 表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el 方向的方向方向的方向导数为导数为)eee()eyexe(elzyxzyxl21222122 212 yx而该点的梯度值为而该点的梯度值为 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 显然，梯度显然，梯度 描

14、述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，的最大变化率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。PPPl 对于给定的对于给定的P P 点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)1221222Pxyl：形象直观地描述了矢量场的空间分：形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。)z , y, x(Fzd)z , y, x(Fyd)z , y, x(Fxdzyx ：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM Fdrrrdr1.4

15、矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 ndddSSFSF eSnddSe S其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；dSnddF eS穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量SSSeFSFddn0通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出0有

16、净的矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：用极限方法得到这一关系：称为矢量场的称为

17、矢量场的。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。体积之比的极限。F VS)z , y,x(Flim)z , y,x(FSV d0圆柱坐标系圆柱坐标系)F(sinr)F(sinsinr)Fr(rrFr 11122zFF)F(Fz 球坐标系球坐标系zFyFxFFzyx 直角坐标系直角坐标系 GF)GF(fFFf)Ff(k(Fk)Fk(fC)fC()C(CC为常量)为常矢量0000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy

18、 zF x y zx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 由此可知，穿出前、后两侧面的净由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为通量值为 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的微体积点的微体积 V 为一直平行六面体，如为一直平行六面体，如图所示。则图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzxyPF 根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为穿出该六面体的净通量为z

19、FyFxFVSFFzyxSVdlim0zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSdVSVFSFdd体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发，可从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。在电磁理论中有着广泛的应用。 例如：流速场。例如：流速场。 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通不是

20、所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。分不为零。1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即流成正比，即SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00 上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。 磁感应线要磁感应线要么穿过

21、曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线q 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为，又称为，又称为。ClzyxFd),( 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即q 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为。电流是。电流是磁场的旋涡源。磁场的旋涡源。 矢量场的环流给出了矢量场与积分回

22、路所围曲面内旋涡源矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。矢量场的旋度。 SCMFnF CSlFSFd1limrot0n称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的的。n：其值与点：其值与点M 处的方向处的方向 有关。有关。n 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0 时，极限时，极限n而而 推导推导 的示意图如图所示

23、的示意图如图所示。rotxFoyz yCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 rotxF41321dddddllllClFlFlFlFlF)()(4321zFyFzFyFzyzy2)(2yyFMFFMzzz2)(3zzFMFFMyyy2)(1zzFMFFMyyy2)(4yyFMFFMzzz于是于是 同理可得同理可得故得故得zyzFyFlFyzC)(dzFyFSlFFyzCSxdlimrot0 xFzFFzxyrotyFxFFxyzrot：矢量场在：矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环点的环 流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积流面密度

24、最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积 元的法线方向，即元的法线方向，即：旋涡源密度矢量。：旋涡源密度矢量。：maxnnrotFeFFeFnnrotyFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzxzzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系zyxzyxFFFzyxeeeFfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(uSCSFlFdd 斯托克斯斯托克斯定理是闭合曲线定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有换关系式，也在电磁

25、理论中有广泛的应用。广泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度；

26、：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场（1）无旋场）无旋场0dClF： ，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，0F无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静

27、电场例如：静电场0EEuF()0Fu （2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即：0dSSF0 F无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场AB0BAF0)(AF（3）无旋、无散场无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）0F （4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分( )( )( )( )( )lCF rF rFru rA r ()0u Fu 02 u0F 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算2u：

28、2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐标系直角坐标系：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr 圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系uu2)(1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算2F：2222xxyyzzFeFeFeF即即22()iiFF：对于非直角分量，：对于非直角分量，22()iiFF 直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：22()FF(, , )ix y z)()(2FFF 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标