拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

1、引言错误!未定义书签。1 拉普拉斯变换以及性质1.拉普拉斯变换的定义错误!未定义书签。拉普拉斯变换的性质错误!未定义书签。2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤错.误!未定义书签。3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用错.误!未定义书签。初值问题与边值问题错误!未定义书签。常系数与变系数常微分方程错误!未定义书签。含函数的常微分方程错误!未定义书签。常微分方程组错误!未定义书签。拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用错误!未定义书签。拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广错误!未定义书签。4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用错.误!未定义书签。齐次与非齐次偏微分方程错误!未定义书

2、签。有界与无界问题错误!未定义书签。5 综合比较，归纳总结错.误!未定义书签。结束语错.误!未定义书签。参考文献错.误!未定义书签。英文摘要2.1.致谢错.误!未定义书签。拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学生岳艳林指导老师韩新华摘要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程(初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广)与典型偏微分方程(齐

3、次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题)中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在t内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t为自变量的函数通常在t0时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换1。1拉普拉斯变换以及性质拉普拉斯变换的定义设函数”1)当10时有定义，而且积分f(t)estdt(s是一个复参量)在$的

4、某0一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为F(s)f(t)estdt.我们称上式为0函数f(t)的Laplace变换式.记为F(s)Lf(t),F(s)称为f(t)的Laplace变换(或称为象函数).若F(s)是f(t)的Laplace变换，则称f(tF(sLaplace逆变换(或称为象原函数)，记为f(t)L1F(s)2.Laplace变换的存在定理若函数f(t)满足下列条件：1在t0的任一有限区间上分段连续;2当t时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数M0及c0,使得f(t)Mect,0t成立(满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c为它的增长指数).则f(t)

5、的Laplace变换F(s)=f(t)estdt在半平面Re(s)c上一定存在，右0端的积分在Re(s)c1c的半平面内，F(s)为解析函数2.拉普拉斯变换的性质线性性质若,是常数，Lfi(t)Fi(s),Lf2F2(s),则有Lfi(t)f2(t)Lfi(t)+Lf2(t),L1Fi(s)F2(s)L1Fi(s)+L1F2(s).微分性质若Lf(t)F(s)4mLft)sF(s)f(0).高阶推广若Lf(t)F(s),则有Lf(t)s2F(s)sf(0)f'(0).,-LIrrnnl/niX/zxn2r/fr(n2)/fr(n1)/c为攵，Lf(t)sF(s)sf(0)sf(0)sf

6、(0)f(0).积分性质若Lf(t)F(s)4JLtf(t)dt-LF(s).0s位移性质若Lf(t)F(s),则Leatf(t)F(sa)(Re(sa)c).延迟性质若Lf(t)F(s),Xt0时f(t)=0,则对于任一非负实数，有Lf(t)esF(s),或LiesF(s)f(t)2.相似性性质若Lf(t)F(s)，则Lf(at)-F(-).aa卷积性质若Lfi(t)Fi(s),Lfz(t)Fz(s),则Lfi(t)if2(t)Fi(s)Fz(s),t其中fi(t)if2(t)0fi()f2(t)d称为fi(t)与f2(t)的卷积3.由于从定义以及性质求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换困难且复杂

7、，在控制工程中，常常通过查阅已编好的“拉氏变换对照表”来实现。拉氏变换对照表列出了工程上常用的时间函数及其对应的拉氏变换，可以根据该表查找原函数的象函数，或者从象函数查找原函数。对于表中不能找到的形式，可以把它展开成部分分式，再求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换。以下是本文将用到的几种常用的拉普拉斯变换函数对3:原函数象函数原函数象函数11stn（n为整数）n!n1ste1s1sinatt,aarctanssint22scosts22ssht22schts22stsint2s222(s)tcost22s222(s)(t)1erfc()1a/s一es表一：拉普拉斯变换函数表2用拉普拉斯变换求解微分方

8、程的一般步骤像其他方法求解微分方程一样，应用拉普拉斯变换求解微分方程也有规范的步骤，其一般步骤4如下：1、根据自变量的变化范围和方程及其定解条件的具体情况来决定对哪一个自变量进行拉普拉斯变换，然后对线性微分方程中每一项取拉普拉斯变换，使微分方程变为s的代数方程；2、解象函数的代数方程，得到有关变量的拉普拉斯变换表达式，即象函数；3、对象函数取拉普拉斯逆变换，得到微分方程的时域解。流程图法5如下：原函数微分方程的解取拉普拉斯变换微分方程取拉普拉斯逆变换象函数的代数方程解代数方程图一：拉普拉斯变换求解微分方程的流程图拉普拉斯变换在物理和工程等领域有着广泛的应用，通过拉普拉斯变换，可 以方便地对线性

9、控制系统进行分析、研究，可以对一些级数进行求和， 还可以求 解微分方程10接下来重点讨论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用。3拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 初值问题与边值问题例：求解初值问题 y'' 4y' 3y et,y(0) y'(0) 12.解：设Y(s) Ly(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，有s2Y(s) sy(0) y'(0) 4sY(s) y(0) 3Y(s)结合初始条件，有s2Y(s) s 1 4sY(s) 13Y(s)2整理展开成部分分式，有Y(s) s6s 6(s 1)2(s 3)1122 (s 1)2由拉普拉斯变换函数表

10、由拉普拉斯变换函数表1s n!n 1set,可知Lt 11e ,L r3t etn,并结合位移性质Le tf(t) F(s ),对方程两边同时求反演,17 ty(t) L 1Y(s),et4例：求解边值问Vy0,y(0)0,y'(2)12.解：设Y(s)Ly(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，有s2Y(s)sy(0)y'(0)Y(s)0,结合初始条件，有s2Y(s)y'(0)Y(s)Q'整理展开成部分分式，有Y(s)爱y'(0)-(s212s111由拉普拉斯变换函数表Le:可知L'ss1对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为1 1'_

11、tt'一y(t)L1Y(s)2y(0)6et)y(0)sinht._1sinh 2所以，方程的解为y(t)sinhtsinh2为了确定y'(0),将条件y(2)1代入上式可得y'(0)常系数与变系数常微分方程例：求解常系数微分方程y2yy0,y(0)0,y(1)22.解：设Y(s)Ly(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，有2 '一sY(s)sy(0)y(0)2sY(s)y(0)Y(s)0,结合初始条件，有s2Y(s)y'(0)2sY(s)Y(s)0,整理展开成部分分式，有Y(s)y (0)s2 2s 1y (0)(s 1)21),由拉普拉斯变换函数表L

12、普tn,并结合位移性质Letf(t)F(ss11可知L一tet.(s1)2对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为y(t)L1Y(s)y'(0)tet,2为了确定y(0),将条件y(1)2代入上式可得y(0)-,e2,所以，方程的斛为y(t)LY(s)一te2te.e例：求解变系数微分方程ty2yty0,y(0)1,y(0)5,(C0为吊数)2.解：设Y(s)Ly(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，Lty''2Ly'Lty0,即LtyLy4Lty0,亦即s2Y(s)sy(0)y'(0)2sY(s)y(0)Y(s)0,dsds两边积分可得2sY(s)s2

13、Y(s)y(0)2sY(s)y(0)Y(s)0,dsds结合初始条件，有2sY(s)s2Y(s)12sY(s)1Y(s)0,dsds一一，-d1整理可得？Y(s)二一,dss21两边积分可得Y(s)arctansc,1欲求待止系数c,可利用limY(s)0,所以从c,Y(s)一arctansarctan-,s22s由拉普拉斯变换函数表L1arctan'a1sinat,可知L1arctans1sint.stt对方程两边同时求反演，可得方程的解为y(t)L1Y(s)1sint.含函数的常微分方程例：质量为m的物体挂在弹簧系数为k的弹簧一端，当物体在t0时在x方向受到冲击力f(t)A(t)(

14、t),其中A为常数。若物体自静止平衡位置x0处开始运动，求该物体的运动规律x(t)2.解：根据牛顿定律，有mxf(t)kx,其中kx由胡克定律所得，是使物体回到平衡位置的弹簧的恢复力。所以，物体运动的微分方程为mx'kxf(t)(t0)，且xx0.这是二阶常系数非齐次微分方程，对方程两边取拉普拉斯变换，设Lx(t)X(s),Lf(t)LA(t)A,并考虑到初始条件,则得2msX(s)kX(s)A,如果记o2K,有x(s)212.mms011由拉普拉斯变换函数表L1p2sint,可知L1工2sin°t.ssooA对方程两边同时取反演，从而方程的斛为x(t)sin0t.moA，,

15、一一可见，在冲击力作用下，运动为一正弦振动，振幅是上,角频率是0,称0m0为该系统的自然频率(或称固有频率)。常微分方程组例：求解三维常微分方程组''xxyz0,xy''yz0,x(0)1,y(0)z(0)x'(0)y'(0)z(0)02''xyzz0,解：设X(s)Lx(t),Y(s)Ly(t),Z(s)Lz(t),对方程组的两个方程两边分别取拉普拉斯变换并结合初始条件，有2(s21)X(s)Y(s)Z(s)0,2X(s)(s21)Y(s)Z(s)02X(s)Y(s)(s21)Z(s)0.解该方程组，整理展开成部分分式，有X(s

16、)(s21)(s2 2)3 s2sY(s) Z(s) 2 2 -(s 1)(s2)ss2 2113ss2 1取其逆变换，可得原方程组的解x(t) 2 cos1h(.2t)-cost,y(t) z(t)1cosh(.2t)1cost.33拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用形如ya1y(n1)an。'ayf(x)的方程称为n阶常系数非齐次线性微分方程，这里a1,a2,an1,an为常数，f(x)为连续函数。我们平时用到的f(x)主要有三种形式：f(x)ef(x)exp(x)(其中p(x)pixP2X2Lpnxn),f(x)sinx、f(x)cosx6.该非齐次微分方程的解即该非齐

17、次微分方程的特解与对应的齐次微分方程的通解。对于该方程的通解可用多种方法求特解，如：比较系数法、常数变易法、算子法等。下面将用拉普拉斯变换法求解该方程的特解。设Y(s)Ly(t),F(s)Lf(x),为求特解令初始条件为零，对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到Y(s)F(s)nn1sa1san1s,下面结合f(x)的三种形式an分别作介绍(Df(x)此时，Y(s)1,nn'l(s)(sasan1san)、，/ABsn1对其进行部分分式分解，令Y(s)nBsn1s(sasCsn2Danisan)'.一，、一一A4.则该齐次微分方程特解的形式与自由项f(x)有关，也就是说与变换项上有

18、关;sDQn1pQn2对应的齐次微分方程的通解由nn1(sa1san1s决定，只要该项分母中不an)含有特解因子s,则特解只取决于-7os-H-nn1右sa1sanisans0,则A(s)Y(x)1/nn1、(sasan1san)即相应的拉普拉斯变换特解为Y(x)0s(sn1n1、asan1san)s.对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为y(t)L1Y(s).例：求解常系数线性齐次方程y'y'e2x的特解。解：设Y(s)Ly(t),令初始条件为零,对方程两边同时取拉普拉斯变换，有(s2s)Y(s)1s-2整理展开成部分分式，有Y(s)1(s 2)(s2Bs Cs)此

19、时(s2s)|s20,则11Y (X)n1s (sa1san is an)1s-2s 2对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为11 1y (t) L1Y(s) L12nn 1右 s asan 1s an111 2x-es 22一(s)mn ms (sn m 1bisbn m) 0,''n m 1' n m 2AB s C s令Y(s) ；TmT/ nmn m1(s ) (s1blsDbn m)同理，相应的拉普拉斯变换特解为11Y (x) !一r m 1 n m . n m 1(s ) (s bsbn m)s .例：求解常系数线性齐次方程v' 5y

20、9;' 8y' 4ye2x的特解。解：设Y(s) Ly(t),令初始条件为零,对方程两边同时取拉普拉斯变换，有(s3 5s2 8s4)Y(s)此时s3令 Y(s)1(s 2)(s3 5s2 8s 4)5s2 8s 4s 2 0,A As B(s 2)3 (s 1)1(s 2)(s2)2(s 1)'则相应的拉普拉斯变换特解为1.Y(X)；-ml . n m(s) (sn m 1b1sbn m )13.(s 2) ss 21(s 2)3,对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为111122xy(t)LY(s)L3xe(s2)2(2) f (x) e xp(x)(其中

21、 p(x) rx P2X2nPnx).例：求微分方程y5 y 6 y xe2x的特解。解：设Y(s)Ly(t),令初始条件为零,对方程两边同时取拉普拉斯变换，有(s2 5s6)Y(s)(s2)21_ 22(s 2) (s_一 2 一5s 6)(s 2) (s 2)(s 3)此时s25s 6 s 20,As B(s 2)2Cs D-2s 5s 6As BY(s) (s2)2s3s 2s2 4s1s2 5s 61 ss-2,2s 4s 421s4s 41 s(2 s)(1 s)相应的拉普拉斯变换特解为Y (s) As B(s 2)21(s 2)2(s11(s 2)3,对方程两边同时求反演，整理可得

22、原微分方程的特解为11112xy (t) L1Y (s) L1 2 3( xe2x(s 2) (s 2)1xe2x)22x 1xe (1 一 x).2(3) f (x) sin x、f (x) cos x例：求解微分方程V 4y' 5y sin2x的特解7。解：设Y(s) Ly(t),令初始条件为零,对方程两边同时取拉普拉斯变换，有(s2 4s 5)Y(s)2s24令 Y(s) A丑2cs D ,s2 4 s2 4s 522As B Y(s)(s2 4)s2 4s 5s2424s 12(4s 1)s24(4s1)(4s 1)s22(4s 1)16s2 12(4s 1)s2 465-相应

23、的拉普拉斯变换特解为Y (s)AsB 2(4s 1)s2 465(s2 4)1(865sin2x).对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为11s21y(t)L1Y(s)Lt82/21*(8cos2xs4s465拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广对于n阶常系数线性齐次微分方程y(n)a1y(n1)aniyany0满足以下两个引理8:引理1n阶常系数线性齐次方程的解(积分曲线)具有平移不变性。也就是说，若y=y(x)为n阶常系数线性齐次方程的一个解，则对任意的常数c,yy(xc)也是n阶常系数线性齐次方程的解。引理2若yy(x,xO,yo)为n阶常系数线性齐次方程的一个解，yy(x,

24、x0,yo)经平移后变为yy(xxo,O,yo),则yy(xxo,O,yo)也是n阶常系数线性齐次方程的解。下面给出利用拉普拉斯变换方法求解三阶常系数线性齐次方程ypy'qy'ryo满足在任意点的初始条件1''2y(xo)yo,y(xo)yo,y(xo)yo的解。设方程的解为yy(x,xo，yo)y(xxoOy。),这样，我们便将初值点平移到了xxoo点，于是可用如下的拉普拉斯变换方法求解该初值问题。令y(t)y(xxo。yo)(其中tx%),''''(2)(3(3)y(o)y0,y(o)y0,y(o)yo,y(o)yo.设Y(s

25、)Ly(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到LypyqyryO,由拉普拉斯变换的导数性质Lf'(t)sF(s)f(O)以及高阶导数推广Lfn(t)1snF(s)sn1f(O)sn2f'(O)sf(n2)(O)f(n1)(O)可得ihjsissss-/issis/siw/si2)siFli',s3Y(s)s2y(0)sy(0)y(0)ps2Y(s)sy。y(0)qsY(s)y(0)rY(s)0.结合初始条件，有321221_sY(s)syosyoy0psY(s)sy°y0qsYy0rY(s)0.整理可得Y(s)-21(s2psq)y°(sp)y01

26、y。2.spsqsr对上式两边同时取拉普拉斯逆变换，可得111.212-LY(s)L-2(spsq)y°(sp)y°y°.spsqsr进行变量还原，便得到所求初值问题的解为yy(x,X0,yO)y(xX0,0,y0)y(t)y(x%).例：求解二阶常系数线性齐次方程 yy 0,该方程满足初始条件y(4) 1,y'(4)1网解：首先转化初值条件y y(x-1)4y(x - ,0,1) y(t)(其中 t x -).44设Y(s)Ly(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到Ly'' y 0,即s2Y(s) s 1 Y(s)0.整理成部分分式，

27、有Y(s)s 1s2 1s 122s21s211a1a由拉普拉斯变换函数表L歪2cost,可知Lcost,ss1、，11由拉普拉斯变换函数表L07sint,可知L工sint,s22s21对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为y(t) L1Y(s) cost sint.cos(x ) sin(x )2 cosx.变量还原，得到原初值问题的解为yy(x,-,1)y(x二,0,1)y(t)costsint444拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用齐次与非齐次偏微分方程例：求解齐次偏微分方程2u2xy,(x0,y),xyUy0X2,ux03y.2解：对该定解问题关于y取拉普拉斯变换，并利用微分性质及

28、初始条件可得Lu(x,y)U(x,s),u2L一sU(x,s)u(x,0)sUx2,y2uuunudUcLL(一)sLyos2x,xyyxxxdx22xLxy,sLux0Ux04-.s这样, 题：原定解问题转化为含参数的一阶常系数线性非齐次微分方程的边值问dU sdx2x2 x 2， sU x032 . s方程嘤2x2x可转化为s sdU2xdx解此微分方程，可得其通解为U3 x3s32c,其中c为常数。s为了确定常数c,将边界条件U3,代入上式，可得 s32 . s3所以，U(x,s) 93s32 . s由拉普拉斯变换函数表1,1 x-1,可知 L 一ii广3i由拉普拉斯变换函数表L点tn,

29、可知Ljy2,L423y.132s3s2s方程两边取反演，从而原定解问题的解为32u(x,y)L1U(x,s)-3y6例：求解非齐次偏微分方程2a2g,(g为常数)，(xxu0,t0),0, t0.0,2解：对该问题关于t取拉普拉斯变换，并利用微分性质及初始条件可得Lu(x,t)U(x,s),2L-us2U(x,s)su|t0qs2U,tttoLgg,s22.2LTLu(x,t)4yU,xxdxLux°Ux。0.这样，原定解问题转化为含参数s的二阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题:d2U121gs2U,22s2,dxaasUn0,limU0.x0飞,22./方程驾2s2U49可转化

30、为驾s2U4R,dxaasdxaas解此微分方程，可得其通解为U(x,s)aceC2e三,其中G,Q为常数3s为了确定常数G,0,将边界条件U|x00,limU0代入上式,s可得G0,C2s所以，U(x,s)耳(1 e aX) sg_ sx _s a i n!由拉普拉斯变换函数表L 二s由拉普拉斯变换函数表L1£stn,可知 L1当 |t2.tn,并结合延迟定理L1est0F(s)f(t M)，x可知L ”7(t ¥u(t ?.方程两边取反演，从而原定解问题的解为x11r g g c * g *2 g x 2 . xu(x,t) L U(x,s) L 33 e t (t )

31、 u(t ).s s2 2a a(或)gt，x；2 aI29(t,t2 2a有界与无界问题例：求解有界偏微分方程u 2 u2 a ,(0 x l,t 0), txUx0 0,ux l (t),Iuut 00,0.t t 02解：对该定解问题关于t取拉普拉斯变换，记Lu(x,t)U (x,s),2Lfs2U sut 0s2U,d2Udx2LuxoUxo0,LuxlUxl(s).这样，原定解问题转化为含参数s的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题:d2U dx2Ux02当U a0,U0,(s).该方程的通解为 U (x, s)数。s_xGeas_xc?e a ,其中C1,C2是常为确定常数Cl,C

32、2 ，将边界条件U0 0,代入上式，可得c1c20,即 gc2;将边界条件U(s)代入上式,可得(s).sic1ea.slc2e a因此Gc2slea(s)s-le a从而U (x,s)s _xea(s)下eae (s)s(l x) a es _xe a3e a-(l x) as _ x(ea(s七 (eas(3l x)e asl )(e a自 sle a )(e a±(3l x)e a4ls1 e a4ls1 e a为了求U (x, s)的拉普拉斯逆变换，注意到分母为4l一se a ,所以逆变换u(x,t)是周期为生的关于1的周期函数。根据周期函数的拉普拉斯变换式，其中 a明是以里

33、为周期的周期函数，即al (t)(s4l一s1 e a4l:()es d ,由拉普拉斯变换函数表L11(s4l se a并结合延迟定理L1e st0F(s)f(t t0),9s可知 L1(slle a (ts1 e al x l x)u(t ).a a同理可知L 1 _(s)41-s1 e a(t1 x、)u(t a3).aL 1 _(s) 41 _s1 e a31 xse a (t3 x、)u(t a31 x ). aL1_(s)41s1 e a(t31 x、)u(t a31 x ). a方程两边取反演，从而原定解问题的解为i1u(x,t) LU(x,s) (t -(t 3Mu(t M)aa

34、(tx 1 x-)u(t ) a31 x)u(t a311 x 1 x(t )u(t ) aa).a其中u（a）为单位阶跃函数,即 u(a) 0,a 0, 1,a 0.例：求解无界偏微分方程2a2hu, （h为常数），xUo（常数），0.(x 0,t0),2解：对该问题关于t取拉普拉斯变换，记Lu(x,t)U(x,s),L12 lT xsU (x, s) u2Lu(x,t) xLux 0Uox 0ssU,d2U dx2这样，原定界问题转化为含参数s的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题:d1 2Udx2U x0shU0,au0,limU0(为自然定解条件).sx解此微分方程可得通解为.：shs

35、hxxU(x,s)c1eac2ea，其中c1,c2为常数。为确定常数g,.,将边界条件Ul0%代入上式，可得ciC2u0;x0ss将边界条件limU0代入上式，可得G0.x因此，C2U0.sshx所以，U(x,s)U0ea.s./shUn-x从而U(x,t)L1U(x,s)L1ea,s由拉普拉斯变换函数表L1-1,可知L1色u。ss由拉普拉斯变换函数表L11ea'erfc(a_)2ae2ds2、t,2tr.11-s可知L1easx、Ft)2xed.2at如果令f2d，显然f(0)0,由导数性质Lf(t)sF(s).,f(0)可知f-s，亦即L1eaf(t)2e).d(x)dt2atx2

36、x.4a2t2atte由位移性质Letf(t)F(s),x24a2t八 hte2at t efshx可知L1eaxL1s ea ,sxQ(方ht)2att由卷积定理Lfi(t)if2(t)Fi(s)F2(s),、:sh可得U(x, t)L1当L1e=X,s令At,最后可得该定解问题的解为x2x e (初2at. tht)rjshu(x,t)L1当L1eXU0sUo()X2a(t).(tx2【4a2(t-e)h(t)d2u0二232hx2(2l)e4ad.5综合比较，归纳总结从以上的例题可以看出,用拉普拉斯变换方法求解微分方程有如下的优缺点113.拉普拉斯变换对像函数要求比傅里叶变换弱，其使用面

37、更宽。但拉普拉斯变换像其他变换一样都有其局限性，只有满足其存在定理时才可以使用拉普拉斯变换。而在微分方程的一般解法中，并没有任何限制；用拉普拉斯变换方法求解微分方程，由于同时考虑初始条件，求出的结果便是需要的特解。而微分方程的一般解法中，先求通解，再考虑初始条件确定任意常数，从而求出特解的过程比较复杂；零初始条件、零边界条件使得拉普拉斯变换方法求解微分方程更加简单。而在微分方程的一般解法中，不会因此而有任何简化；用拉普拉斯变换求解微分方程，对于自变量是零的初始条件，求其特解是非常方便的。但微分方程的一般解法并没有简化；用拉普拉斯变换方法求解微分方程，对方程的系数可变与否、对区域有界与否、对方程

38、和边界条件齐次与否并无特殊关系。而在微分方程的一般解法中，会遇到很多困难；用拉普拉斯变换方法求解微分方程组，可以在不知道其余未知函数的情况下单独求出某一个未知函数。但在微分方程的一般解法中通常是不可能的；拉普拉斯变换可以使解n个自变量偏微分方程的问题，转化为解n1个自变量的微分方程的问题，逐次使用拉普拉斯变换，自变量会逐个减少，有时还可将解n个自变量偏微分方程的问题最终转化为解一个常微分方程的问题，比微分方程的一般解法更为简单、直接；比较系数法和常数变易法只需进行代数运算和积分运算，要求相对较低。相比之下，算子法要先将方程化为算子形式然后利用算子的性质进行分解，对初学者而言要求相对较高，然而算

39、子法却具备比较系数法和常数变易法无法具备的应用条件，有适应面广、计算量小、准确度高、简单易行的特点。结束语通过列举拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用，可以看出拉普拉斯变换是一种特别成功的数学方法，求解微分方程的步骤比较明确、规律性比较强、思路清晰且容易掌握。灵活使用拉普拉斯变换，可以巧妙地推出一些复杂问题的答案，便于学生理解进而提高教学质量。参考文献1 李高翔.拉普拉斯变换在微分方程组求解中的应用J.高等函授学报,2009，22(3):22-24.2 张元林.工程数学积分变换(第四版)M.北京:高等教育出版社,2003：68-138.3 梁昆淼.数学物理方法(第三版)M.北京:高等教育出版社,1998：120-121.4黄会芸.拉普拉斯变换在高等数学