偏导数的应用 2

1、一、偏导数的几何应用1.空间曲线的切线和法平面设空间曲线的参数方程为假定均可导,不同时为零,曲线上对应于及的点分别为和.割线的方程为当沿着曲线趋于时,割线的极限位置是在处的切线.上式分母同除以得当(即)时,对上式取极限,即得曲线在点的切线方程向量是切线的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦.通过点与切线垂直的平面称为曲线在点的法平面.它是通过点,以切线向量为法向量的平面.因此,法平面方程为【例1】求螺旋线在点的切线及法平面方程.解点对应的参数.因为,所以切线向量,因此,曲线在点处的切线方程为在点处的法平面方程为即【例2】求曲线上点处的切线和法平面方程.解把看作参数,此时

2、曲线方程为在点处的切线方程为法平面方程为即2.曲面的切平面与法线设曲面的方程为是曲面上的一点,假定函数的偏导数在该点连续且不同时为零,设是曲面上过点的任意一条曲线,的方程为,与点相对应的参数为,则曲线在处的切线向量为.因在上,故有此恒等式左端为复合函数,在时的全导数为记,则,即与互相垂直.由于曲线是曲面上过的任意一条曲线,所以在曲面上所有过点的曲线的切线都与同一向量垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在处的切平面.向量是切平面的法向量,称为曲面在处的法向量.切平面方程为过点与切平面垂直的直线,称为曲面在点处的法线,其方程为若曲面方程由给出,则可令于是这时曲面在处的切平面方程为法线

3、方程为【例3】求椭球面在点处的切平面和法线方程.解设故在点处椭球面的切平面方程为即法线方程为【例4】求旋转抛物面在点处的切平面方程和法线方程.解由得切平面方程为即法线方程为二、多元函数极值1. 二元函数的极值【例5】曲面在点有极小值.【例6】曲面在点有极大值.与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的,是一个局部概念.定义1设函数在点的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点都有(或)则称函数在点有极大值(或极小值).而称点为函数的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点统称极值点.2.极值的检验法(1)一阶偏检验定理1(必要条件)设函数在点处有极大值,且在该点的偏导数存在,则必有.证

4、明不妨设在点处有极大值,根据极值定义,对的某一邻域内的任一点,有在点的邻域内,也有,这表明一元函数在处取得极大值.因此,有同理可证与一元函数类似,使一阶偏导数的点称为函数的驻点.由定理1及例5、例6可以看出：二元函数的极值点必然是驻点或一阶偏导数不存在的点.(2)二阶偏检验定理2(充分条件)设函数在定义域内的一点处有二阶连续偏导数,且.记,则(1)当且时,函数在点处有极小值;当且时,函数在点处有极大值;(2)当时,函数在点处无极值;(3)当时,函数在点处可能有极值,也可能无极值.综上可得,具有连续二阶偏导数的函数,其极值求法如下:(1)先求出偏导数;(2)解方程组,求出定义域内全部驻点;(3)

5、求出驻点处的二阶偏导数值:,确定的符号,并判断是否有极值,如果有,求出其极值.【例7】求函数的极值.解先求偏导数解方程组,求得驻点为.在驻点处,于是不是函数的极值点.在驻点处,且,所以点是函数的极小值点,为函数的极小值.3.最大值与最小值如果函数在有界闭区域上连续,则函数在上一定取得最大值和最小值.如果函数的最大值或最小值在区域的内部取得,则最大值点或最小值点必为驻点.因此,求处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值,其中最大值便是函数在闭区域上的最大值,最小值便是函数在闭区域上的最小值.具体问题中,常常通过分析可知函数的最大值或最小值存在,且在定义域内部取得,又知在定义域内只有唯一驻点,于

6、是可以肯定驻点处的函数值便是函数的最大值或最小值.【例8】求函数在上的最大值.解在内(),由解得驻点为.在的边界上()故函数在处有最大值.【例9】要做一容积为的无盖长方体铁皮容器,问如何设计最省材料?解所谓最省材料,即无盖长方体表面积最小.该容器的长、宽、高分别为，表面积为，则有消去，得表面积函数其定义域为由，求得驻点为.由于为开区域,且该问题必有最小值存在,于是必为的最小值点,此时,即长方体长、宽、高分别为,时,容器所需铁皮最少,其表面积为.【例10】某公司每周生产单位产品和单位产品,其成本为产品的单位售价分别为200元和300元.假设两种产品均很畅销,试求使公司获得最大利润的这两种产品的生

7、产水平及相应的最大利润.解依题意,公司的收益函数为因此,公司的利润函数为令,得驻点.利用二阶偏检法,求二阶偏导数，显然二阶偏导数在驻点的值为。由此可见，当产品的周产量均为50个单位时，公司可获得最大利润，其最大利润为（元）三、条件极值如果函数的自变量除了限制在定义域内以外，再没有其他限制，这种极值问题称为无条件极值。但在实际问题中，自变量经常会受到某些条件的约束，这种对自变量有约束条件的极值问题称为条件极值.条件极值问题的解法有两种,一是将条件极值转化为无条件极值,如例9就是求在自变量满足约束条件时的条件极值.当我们从约束条件中解出代入中,得,就成了无条件极值,于是可以求解.但实际问题中的许多

8、条件极值转化为无条件极值时,时很复杂甚至是不可能的.下面介绍条件极值的另外一种更一般的方法拉格朗日乘数法.设是函数在约束条件下的条件极值问题的极值点,如果函数,在点的邻域内有连续偏导数(不妨设),则一元函数在点的导数.由复合函数微分法,有由于是由所确定的,所以代入上式,消去,得即令,则有(*)称满足方程组(*)的点为可能的极值点.我们构造一个函数则(*)等价于于是,用拉格朗日乘数法求解条件极值问题可归纳为以下步骤:(1)构造拉格朗日函数,称为拉格朗日乘数;(2)解方程组得点,为可能极值点；(3)根据实际问题的性质,在可能极值点处求极值.【例11】求平面上点到直线的距离.解设点到直线上动点的距离为,则问题归结为求距离函数在约束条件之下的极小值.构造拉格朗日函数解方程组得代入,得由于最短距离是存在的,所以所以 小结:学习了多元函数的