傅立叶级数及积分

1、第二篇 傅里叶级数和积分(Fourier series and Fourier integral)在函数的泰勒、罗朗展开式中，我们采用的是一系列幂函数作为基本函数族。这些基本函数族乘以不同系数后进行迭加便构成不同函数的展开式，然而幂函数没有周期性。尽管幂函数在研究解析函数中具有特别重要的地位，但周期函数展开为幂函数以后，周期性就很难直接体现出来，因此在研究周期函数时便需要采用其它函数作为基本函数。§24 周期函数的傅里叶级数采用满足条件的一系列谐函数1，及作为基本函数族。该基本函数族中任意两者彼此正交，或者说两者的乘积在一个周期上的积分为零，即 可以证明，上述谐函数族是完备的，即任意

2、分段连续的周期函数均可用上述谐函数族展开，且当时。原函数和展开式间的平方平均误差，亦即周期函数可展开为 上式称为周期函数的傅里叶级数展开，和称为傅里叶系数容易求出关于傅里叶级数的收敛性问题有：狄里希利(Dirichlet)定理：若周期函数满足狄里希利条件 处处连续或者在每个周期中只有有限个间断点，并且在间断点的跃度是有限的 在每个周期中只有有限个极值，则傅里叶级数收敛于 关于希尔伯空间(Hilbert space)：希尔伯空间是无限维的。它由无限多个彼此正交且完备的基矢构成。周期函数的傅氏级数相当于该空间的矢量在基矢1，及上的表示，该空间的一个点由()表示，除前述谐函数族外，还有许多完备的函数

3、族可作为希尔伯空间的基矢。因此还可以利用其它的完备函数族将作广义傅里叶级数展开。例 在周期上 将其展开为傅氏级数该函数满足狄里希利条件，则则 在计算傅里叶系数时，经常用到 （k为整数，为实数）§2.5 奇的和偶的周期函数对于奇函数 对于偶函数 的导数 例1 研究的频谱 注意 Gibbs现象（9%）峰值位置随项数增多向跳变点靠近，峰值超出跳变值的9%例2、在这个周期上，（非整数），将其展开为傅立叶级数。§2.6 有限区间上的函数的傅里叶级数 关于时间、空间的周期函数均要求自变量的取值范围为无限，即从-到+。而实际物理系统无论是时间还是空间均为有限，因此这样的函数能否展开为傅里

4、叶级数，前提是什么？可将函数在无限的时间、空间范围内作解析延拓，由于函数在定义域外没有定义，因此可以有无数种延拓方式。实际情况应依据边界上的函数取值，进行奇或偶延拓等例3、，定义在上，要求的值在边界上为零，试根据这一要求将展开为傅立叶级数。例4、，定义在上，要求的导数在边界上为零，试根据这一要求将展开为傅立叶级数。例5、在区间上定义了函数。试根据条件将展开为傅立叶级数。§2.7 复数形式的傅里叶级数由 则可采用如下基本函数簇 ，1， 从而把周期函数注意到则有：第七章 傅里叶积分§28. 非周期函数的傅里叶积分非周期函数看成周期为的周期函数，由实数形式的傅氏展开式 令分别为则

5、上式可表示为注意到 当周期趋于时因此，对于周期为的周期函数令 则周期为的非周期函数f(x)的傅氏级数变为傅氏积分其中A(w)和B(w)为f(x)的傅里叶变换式。由复数形式的傅氏展开式： ， 则当周期时，其中，称为f(x)的傅氏变换，可记为 傅氏积分的性质: 的傅氏变换 的傅氏变换= 延迟定理 位移定理 卷积定理傅氏变换和拉氏变换的关系：傅氏变换是拉氏变换中p取纯虚数iw的特殊形式，傅氏变换中对f(x)的要求比较严格，而拉氏变换中仅要求f(x)随x的增长速度不快于周期函数和非周期函数的频谱的区别：周期函数的傅氏变换式频谱是分立的，而非周期函数的傅氏变换式中的频谱是连续的。三维空间中的傅氏变换式 例1. 研究矩形脉冲 的频谱。解： 例2 把展为傅氏积分（ 称为抽样函数）解：利用公式()则：tf(t)10.220.13wA(w)01练习 P 104 2,4§ 29 函数和它的傅里叶积分函数是数学物理中很重要的数学概念，它描写空间中的点源和时间上瞬时源，它是广义函数。§ 29.1 一维函数的定义在物理上通常需要描写自变量取某个特定值时函数值为无穷大，而自变量取其他值时，函数值为零，但函数沿定义域的积分值有限。即：§29.2 函数的性质1. 对于任意缓变的连续函数2. 3. 4. 即在积分号下的作用同零。5. AB6. 7. 8. 由9. 10. u（x）