统计 习题CH05

1、.第五章第五章 常用概率分布常用概率分布.第一节第一节 二项分布二项分布 一、二项分布的概念与特征 基本概念：如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为，阴性结果的发生概率均为（1） ；而且各个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察 n个人，发生阳性结果的人数 X 的概率分布为二项分布，记作 B（n,） 。 二项分布的概率函数： XnXXnCXP)1 ()( 二项分布的特征： 二项分布图的形态取决于与 n，高峰在=n处。当接近 0.5 时，图形是对称的；离 0.5 愈远，对称性愈差，但随着 n 的增大，分布趋于对称。 二项分布的总体均数为 n 方差为 )1 (2 n 标准差为 )1 (n 如果

2、将出现阳性结果的频率记为 nXp 则p的总体均数为 p 标准差为 np)1 ( .第一节第一节 二项分布二项分布 二、二项分布的应用 二项分布出现阳性的次数至多为 k 次的概率为 XnXkXkXXnXnXPkXP)1 ()!( !)()(00 出现阳性的次数至少为 k 次的概率为 XnXkXkXXnXnXPkXP)1 ()!( !)()(00 .第二节第二节 Poisson分布分布一、Poisson 分布的概念与特征 基本概念：Poisson 分布可以看作是每个观察对象阳性结果的发生概率很小，而观察例数 n 很大时的二项分布。除二项分布的三个基本条件以外， Poisson分布还要求 接近于 0

3、。有些情况和 n 都难以确定，只能以观察单位（时间、空间、面积等）内某种稀有事件的发生数X 来近似。 Poisson 分布的概率函数： !)(XeXPX 式中，n为 Poisson 分布的总体均数，X 为观察单位内某稀有事件的发生次数，e 为自然对数的底，为常数，约等于 2.71828。 Poisson 分布的特征 Poisson 分布当总体均数值小于 5 时为偏峰，愈小分布愈偏，随着增大，分布趋向对称。 Poisson 分布的总体均数与总体方差相等, 均为，且 Poisson 分布的观察结果具有可加性。 特点：凡个体有传染性、聚集性，均不能视为二项分布或Poisson 分布。 .第二节第二节

4、 Poisson分布分布二、Poisson 分布的应用 如果某稀有事件发生次数的总体均数为 ，那么发生次数至多为 k 次的概率为 !)()(00XeXPkXPXkXkX 发生次数至少为 k 次的概率为 ) 1(1)(kXPkXP .第三节第三节 正态分布正态分布一、正态分布的概念 基本概念：正态分布是自然界最常见的一种分布，正态分布的特点是中间频数最多，两边频数渐少且对称。 正态分布的概率密度函数： 222)(21)(XeXf 其中,为总体均数，为总体标准差 正态分布密度曲线的特点: （1）关于 x=对称。 （2）在 x= 处取得该概率密度函数的最大值，在x处有拐点，表现为钟形曲线。 （3）曲

5、线下面积为 1。 （4）决定曲线在横轴上的位置，增大，曲线沿横轴向右移；反之，减小，曲线沿横轴向左移。 （5）决定曲线的形状，当恒定时，越大，数据越分散，曲线越“矮胖”；越小, 数据越集中，曲线越瘦高。 .第三节第三节 正态分布正态分布二、 正态曲线下面积的分布规律 标准正态分布：总体均数为 0、总体标准差为 1 的正态分布称为标准正态分布，用) 1 . 0(N表示。 对任意一个服从正态分布),(2N的随机变量 X，经过如下的标准化变换 XZ 可以转变为标准正态分布。 正态曲线下面积的分布规律 由标准正态分布曲线下面积分布表给出。 标准正态分布的分布函数值等于标准正态曲线下 Z 值左侧的面积，

6、记作)(z。 按正态分布规律，标准正态曲线下面积分布规律为： 单侧：)(ZZP 或 )(ZZP 双侧：)(2/ZZP + )(2/ZZP .第三节第三节 正态分布正态分布三、正态分布的应用 （一）确定医学参考值范围 基本概念：医学参考值范围是指特定的“正常”人群（排除了对所研究指标有影响的疾病和有关因素的特定人群）的解剖、生理、生化指标及组织代谢产物含量等数据中大多数个体取值所在的范围。 人们习惯用该人群中 95%的个体某项医学指标的取值范围作为该指标的医学参考值范围。 计算方法：确定医学参考值范围的方法有两种： （1）百分位数法 双侧 95%医学参考值范围是),(97525PP，单侧范围是

7、P95以下（如血铅、发汞） ，或 P5以上（如肺活量） 。该法适用于任何分布类型的资料。 （2）正态分布法 若 X 服从正态分布，医学参考值范围还可以依正态分布规律计算。正态分布资料双侧医学参考值范围一般按下式作近似估计： SX96. 1 其中， X 和S 分别为样本的均数和标准差 .第三节第三节 正态分布正态分布（二）二项分布、泊松分布的正态分布近似 1二项分布的正态近似 随着 n 的增大，二项分布趋于对称。理论上可以证明:当 n 相当大时，只要 不太靠近 0 或 1， 特别是当 n 和 n(1)都大于 5时，二项分布近似于正态分布。 由于二项分布为离散型变量分布，为了借用连续型变量的分布函

8、数计算概率，要对概率函数作校正。 二项分布累计概率的正态近似计算公式为： kXXnXXnnnkqpCKXP0)1 (5 . 0()( nkXXnXXnnnkqpCkXP)1 (5 . 0(1)( .第三节第三节 正态分布正态分布2Poisson 分布的正态近似 随着总体均数的增大，Poisson 分布趋向对称。理论上可以证明, 随着，Poisson 分布也渐近正态分布。一般，当20时 Poisson 分布资料可按正态分布处理。 和二项分布相同，Poisson 分布也是离散型变量分布。为了借用连续型变量的分布函数计算概率，也要对概率函数作校正。校正后 Poisson 分布的正态近似计算方法为 k

9、ikkeikXP0)5 . 0(!)( )5 . 0(1)(1)(kkXPkXP 21)5 . 0()5 . 0(!)(1221kkikkkeikXkP .思考与练习思考与练习 一、简答题一、简答题 1 1简述二项分布、简述二项分布、PoissonPoisson分布、正态分布的分布、正态分布的区别与联系。区别与联系。 答：答：二项分布、Poisson 分布是离散型概率分布，用概率函数描述其分布状况，而正态分布是连续型概率分布，用密度函数和分布函数描述其分布状况。Poisson 分布可以视为是n很大而很小的二项分布。当n很大而和 1-都不是很小的时候二项分布渐近正态分布，当20的时候 Poiss

10、on 分布渐近正态分布。 .思考与练习思考与练习 2简述控制图的基本原理。 答：控制图的基本原理是：如果某一波动仅仅由个体差异或随机测量误差所致，那么观察结果服从正态分布；依据标准正态分布曲线下面积的分布规律性，确定出现概率非常小的若干情况作为异常标准，如果出现相应结果则判为异常。 3简述双侧正态分布资料的医学参考值范围为什么是均数1.96倍标准差。 答：因为医学参考值范围是指特定的人群（排除了对所研究指标有影响的疾病和有关因素的特定人群）的解剖、生理、生化指标及组织代谢产物含量等数据的取值范围。习惯用该人群95%的个体某项医学指标的取值范围作为医学参考值范围。对于过大、过小均属不正常的情形取

11、双侧。观察值出现在均数1.96倍标准差范围内的概率为95%，所以双侧正态分布资料的医学参考值范围定为均数1.96倍标准差。.思考与练习思考与练习 二、分析计算题二、分析计算题 4 4假定虚症患者中，气虚型占假定虚症患者中，气虚型占30%30%。现随机抽查。现随机抽查3030名虚症名虚症患者，求其中没有患者，求其中没有1 1名气虚型的概率；有名气虚型的概率；有4 4名气虚型的概率。名气虚型的概率。 答：计算二项分布的概率函数，没有1名气虚型的概率为0.00002，有4名气虚型的概率为0.021。 5 5假定某批出厂半年的中药潮解率为假定某批出厂半年的中药潮解率为6%6%。从中抽取。从中抽取202

12、0丸，丸，求恰有求恰有1 1丸潮解的概率、不超过丸潮解的概率、不超过1 1丸潮解的概率和有丸潮解的概率和有1 1至至3 3丸潮解的丸潮解的概率。概率。 答：计算二项分布的概率函数和累计概率，恰有1丸潮解的概率为0.370，不超过1丸潮解的概率为0.660，有1至3丸潮解的概率为0.681。 6 6某溶液平均某溶液平均1 1毫升中含有大肠杆菌毫升中含有大肠杆菌3 3个。摇匀后，随机抽个。摇匀后，随机抽取取1 1毫升该溶液，内含大肠杆菌毫升该溶液，内含大肠杆菌2 2个和低于个和低于2 2个的概率各是多少？个的概率各是多少？ 答：计算Poisson分布的概率函数和累计概率，取1毫升该溶液，内含大肠杆

13、菌2个的概率为0.224，低于2个的概率为0.199。 .思考与练习思考与练习 二、分析计算题二、分析计算题 7 7某人群中某人群中1212岁男孩身高的分布近似于正态分布，均数为岁男孩身高的分布近似于正态分布，均数为144.00cm144.00cm，标，标准差为准差为5.77cm5.77cm。 (1)(1)该人群中该人群中80%80%的的1212岁男孩身高集中在哪个范围？岁男孩身高集中在哪个范围？ (2)(2)求该人群中求该人群中1212岁男孩身高的岁男孩身高的95%95%和和99%99%参考值范围。参考值范围。 (3)(3)求该人群中求该人群中1212岁男孩身高低于岁男孩身高低于140cm1

14、40cm的概率。的概率。 (4)(4)求该人群中求该人群中1212岁男孩身高超过岁男孩身高超过160cm160cm的概率。的概率。 答：某人群中 12 岁男孩身高的分布近似于正态分布，均数为144.00cm，标准差为 5.77cm。 (1) 该人群中 80%的 12 岁男孩身高集中在 1441.285.77，即（136.6， 151.4） 。 (2) 该人群中 12 岁男孩身高的 95%参考值范围为 1441.965.77 即（132.7， 155.3） ，99%参考值范围为（129.1，158.9） 。 (3) 该人群中 12 岁男孩身高低于 140cm 的概率为140 144()5.0.7

15、44172。 (4) 该人群中 12 岁男孩身高超过 160cm 的概率为 160 1441()2()0.0028.75 77730. 。 .思考与练习思考与练习 二、分析计算题二、分析计算题 8某地白血病的发病率为某地白血病的发病率为0.00010.0001，现检查，现检查4 4万人，求没有发现白万人，求没有发现白血病患者的概率和发现白血病患者不超过血病患者的概率和发现白血病患者不超过3 3人的概率。人的概率。 答：答： 9 9某车间经检测每升空气中平均约有某车间经检测每升空气中平均约有3737颗粉尘，请估计该车间每颗粉尘，请估计该车间每升空气中有大于升空气中有大于5050颗粉尘的概率。颗粉

16、尘的概率。 答：答：计算 Poisson 分布的概率函数和累计概率，4400000001. 0，没有发现白血病患者的概率为 0.018，发现白血病患者不超过 3 人的概率 0.433。 Poisson 分布的正态近似计算 500.537(50)1(50)1()371(2.0550)( 2.0550)0.0199P XP X .思考与练习思考与练习-补充练习题补充练习题 一、选择题一、选择题（一）（一）A1A1型：每一道题下面有型：每一道题下面有A A、B B、C C、D D、E E五个备选答案，请从五个备选答案，请从中选择一个最佳答案。（中选择一个最佳答案。（C,A,C,A,B)C,A,C,A

17、,B) 1. 随机变量 X 服从正态分布),(211N，Y 服从正态分布),(222N，X 与 Y 独 立，则 X-Y 服从 。 A.),(222121N B.),(222121N C.),(222121N D.), 0(2221N E. 以上均不对 2. 标准正态分布的均数与标准差分别是 。 A. 0 ，1 B. 1 ，0 C. 0 ，0 D. 1 ，1 E. 0.5 ，1 3. 正态分布的两个参数 与 ， 对应的正态曲线愈趋扁平。 A. 愈大 B. 愈小 C. 愈大 D. 愈小 E. 愈小且 愈小 4. 正态分布的两个参数 与 ， 对应的正态曲线平行右移。 A. 增大 B. 减小 C. 增

18、大 D. 减小 E. 增大 同时增大 5二项分布的概率分布图在 条件下为对称图形。 A. 50n B. 5 . 0 C. 1n D. 1 E. 5n .思考与练习思考与练习-补充练习题补充练习题 （一）（一）A1A1型：每一道题下面有型：每一道题下面有A A、B B、C C、D D、E E五个备选答案，请从中选择一五个备选答案，请从中选择一个最佳答案。个最佳答案。(D,B,A,B,A)(D,B,A,B,A) 6 的均数等于方差。 A. 正态分布 B. 二项分布 C. 对称分布 D. Poisson 分布 E. 以上均不对 7设 X1，X2分别服从以21,为均数的 Poisson 分布，且 X1

19、与 X2独立，则 X1+X2服从以 为方差的 Poisson 分布。 A.2221 B.21 C. 221)( D.221)( E.2221 8满足 时，二项分布),(nB近似正态分布。 A.n和)1 (n均大于等于 5 B. n或)1 (n大于等于 5 C. n足够大 D. n50 E. 足够大 9满足 时，Poisson 分布)(近似正态分布。 A. 无限大 B. 20 C. =1 D. =0 E. =0.5 10满足 时，二项分布),(nB近似 Poisson 分布。 A. n 很大且 接近 0 B. n? ? C. n或)1 (n大于等于 5 D. n 很大且 接近 0.5 E. 接近

20、 0.5 .思考与练习思考与练习-补充练习题补充练习题 （二）（二）A2A2型：型： 该题以一个小案例出现，其下面都有该题以一个小案例出现，其下面都有A A、B B、C C、D D、E E五个备选答案，请从中选择一个最佳答案。五个备选答案，请从中选择一个最佳答案。 观察某地100名12岁男孩身高，均数为138.00cm，标准差为4.12cm， Z=（128.00138.00）/4.12 。（Z）是标准正态分布的分布函数，1（Z）=1（2.43）=0.9925 ，结论是 E 。 A理论上身高低于138.00cm的12岁男孩占99.25%。 B理论上身高高于138.00cm的12岁男孩占99.25

21、%。 C理论上身高在128.00cm至138.00cm的12岁男孩占99.25%。 D理论上身高低于128.00cm的12岁男孩占99.25%。 E理论上身高高于128.00cm的12岁男孩占99.25%。 .思考与练习思考与练习-补充练习题补充练习题 （三）（三）A3/A4A3/A4型：型： 以下提供若干案例，每个案例下设若干道题目。请根据题目所提供的以下提供若干案例，每个案例下设若干道题目。请根据题目所提供的信息，在每一道题下面的信息，在每一道题下面的A A、B B、C C、D D、E E五个备选答案中选择一个最佳答案。五个备选答案中选择一个最佳答案。 研究人员为了解某地居民发汞的基础水平

22、，为汞污染的环境监测积累资料，调查了留住该市一年以上，无明显肝、肾疾病，无汞作业接触史的居民230人的发汞含量如下表所示： 1.A 1.A 2.E 2.E 发汞值 （mo1/kg） 1.5- 3.5- 5.5- 7.5- 9.5- 11.5- 13.5- 15.5- 17.5- 19.5- 人 数 20 60 60 46 18 16 6 1 0 3 .思考与练习思考与练习-补充练习题补充练习题 1.据此确定该地居民发汞值的 95%医学参考值范围是 （P2.5，P97.5） 。 对于以上结论，你的看法是 。 A. 错误，应该计算单侧医学参考值范围 P95 B. 错误，应该计算单侧医学参考值范围

23、P5 C. 错误，应该计算SX95. 1 D. 错误，应该计算小于SX645. 1 E. 正确 2 该地居民发汞值的 95%医学参考值范围为(0, 13.5)。对于以上结论，你的看法是 。 A. 错误，95%医学参考值范围应该是双侧的 B. 错误，95%医学参考值范围应该是 13.5 C. 错误，应该计算SX95. 1 D. 错误，应该计算小于SX645. 1 E. 错误，应该是 95.7%医学参考值范围 .思考与练习思考与练习-补充练习题补充练习题 （三）（三）A3/A4型：型： 以下提供若干案例，每个案例下设若干道题目。请根据题目所提供的信以下提供若干案例，每个案例下设若干道题目。请根据题

24、目所提供的信息，在每一道题下面的息，在每一道题下面的A、B、C、D、E五个备选答案中选择一个最佳答案。五个备选答案中选择一个最佳答案。 为了解某城市为了解某城市7 7岁男童身高的发育情况岁男童身高的发育情况, , 随机抽查该市区随机抽查该市区110110名名7 7岁男童岁男童，平均身高为，平均身高为119.95cm, 119.95cm, 标准差为标准差为4.72cm4.72cm。 3 3用算式用算式119.95119.951.281.28 4.724.72计算得到的区间计算得到的区间, ,可以解释为：理论上可以解释为：理论上_B_B_的的7 7岁男童身高在此范围内。岁男童身高在此范围内。 A.

25、 95% A. 95% B. 80% B. 80% C. 90% C. 90% D. 10% D. 10% E. 20% E. 20% 4 4理论上理论上90%90%的的7 7岁男童身高集中在岁男童身高集中在 B B 。 A A119.95119.951.281.28 4.724.72 B B119.95119.951.641.64 4.724.72 C C119.95119.950.130.13 4.724.72 D D119.95119.951.961.96 4.724.72 E E119.95119.952.582.58 4.724.72 .思考与练习思考与练习-补充练习题补充练习题 ( (四）四）B1B1型：型： 以下提供若干组题目，每组题目共用题目前列出的以下提供若干组题目，每组题目共用题目前列出的A A、B B、C C、D D、E E五个五个备选答案。请从中选择一个与问题关系最密切的答案。某个备选答案可能被选择备选答案。请从中选择一个与问题关系最密切的答案。某个备选答案可能被选择一次、多次或不