随机变量及其分布

1、第二章 随机变量及其分布1（1）设随机变量的分布律为 （是常数），试确定常数。（2）设随机变量的分布律为 试确定常数2一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，令表示同时需要调整的部件数，试求的分布律和至少有一个部件需要调整的概率。3一个罐子装有个黑球和个白球，无放回地抽取个球，问：（1）抽到白球数的分布律是什么？（2）有放回呢？4一电话交换台每分钟接到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率；（2）每分钟呼唤次数大于10的概率。5随机变量的分布密度为 求：（1）常数；（2）。6设随机变

2、量的分布密度为 求：（1）常数；（2）落在区间（0,1）内的概率。7在电源电压不超过200V，在200V240V之间和超过240V三种情形下，某电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。假设电源压服从正态分布(220,252)，试求：（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子零件损坏时，电源电压在200240V之间的概率8对某一目标进行射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为，求：（1）射击次数的分律；（2）射击次数的分布函数。9袋中有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3只球，令表示取出的球的最大号码，求的分布律和分布函数。10设连续型随机变量的分布函数为：求：（

3、1）常系数及；（2）随机变量落在（-1,1）内的概率；（3）随机变量的分布密度。11接连不断地掷一枚均质的筛子，直到出现小于5点为止，记为最后一次掷出的点数，为掷筛子的次数，求：（1）的联合分布律； （2）的边缘分布律。12设二维随机变量的分布密度为求：（1）常数；（2）的联合分布函数；（3）关于，关于的边缘密度函数；（4）问与是否独立？为什么？（5）落入三角形区域：，内的概率。13一口袋中有四个球，它们依次标有数字1,2,2,3，从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球，设每次取球时每个球被抽取的可能性相同，以分别记第一次，第二次取得球上标有的数字，求（1）的联合分布律；（2）关于和

4、关于的边缘分布律。14设随机变量服从区域上的均匀分布，其中为轴，轴及直线围成的三角形区域，试求：（1）的联合密度函数；（2）求关于，关于的边缘密度；（3）求。15设随机变量在区域D: 内服从均匀分布：（1）求的联合密度函数和边缘密度函数；（2）问和是否相互独立；（3）求。16设的联合分布密度为：求：（1）系数；（2）落在以(0,0)；(0,1)；(1,0)；（1,1）为顶点的正方形内的概率；（3）问与是否独立？17由统计物理学知道分子运动的速度服从破克里威尔分布，其分布密度为其中参数，求分子运动的动能的分布密度。18已知随机变量的分布函数是严格单调的连续函数：（1）求证服从0,1上的均匀分布；

5、（2）求的密度函数。19设随机变量相互独立，且同分布（1）求行列式的概率分布；（2）求的概率分布；（3）求的概率分布。20设与独立，分布密度为试求的分布密度。21填空题（1）设随机变量的密度函数为令表示对的10次独立重复观察中事件出现的次数，则 。（2）一批产品共有100件，其中含有95件正品，5件次品，依次从这批产品中抽取10件产品检验，每次抽一件，抽后不放回，令表示10件产品中的次品数，则的分布律为 。（3）设随机变量，已知，则 。（4）设随机变量与同分布，的密度函数为设与相互独立，且，则 。（5）设和是两个随机变量，且，则 。（6）设随机变量X的分布律为 P（X=1）P（X1），P（X=

6、2）P（X3），令YlnX2 , 则Y的分布律为 （7）设随机变量X与Y相互独立且具有相同的分布，其分布律为：X12P1/43/4则随机变量 Z=|X-Y| 的分布律为 22选择题（1）设随机变量与独立同分布，则下列各式成立的是（ ）（A） （B）（C） （D）（2）设离散型随机变量的联合分布律为（1,1）（1,2）（1,3）（2,1）（2,2）（2,3）若与独立，则的值为（ ）（A） （B）（C） （D）（3）设随机变量与独立，且， 令 要使与独立，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）（4）设随机变量与独立，且分别服从正态分布和，则（A） （B）（C） （D）23设A，B为两个随机事

7、件，P(A)= P(A|B)=, P(B|A)= , 令随机变量 X= Y= (1). 求 (X,Y)的联合分布律. (2). X, Y是否相互独立，为什么？ (3). 求概率PX2 +Y2=124设X,Y相互独立，分布密度分别为 , 求 分布密度第四章 大数定律与中心极限定理1 设是独立的随机变量序列，试问对是否成立大数定律？为什么？2设为独立随机变量序列，证明：服从大数定律。3设为独立同分布随机变量序列，其共同分布为（0,1）上的均匀分布，令证明：，其中为常数，并求出。4在一家保险合同里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费。在一年中一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向

8、公司领得1000元，问：（1）保险公司亏本的概率多大？（2）保险公司一年的利润不少于40000元的概率是多少？5试问对下列独立随机变量序列，李雅普洛夫定理是否成立？为什么？（1）（2）6设是独立同分布的随机变量序列，试证明对随机变量序列成立大数定律及中心极限定理。7一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3°的概率，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有2950030500次纵摇角大于3°的概率是多少？8对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是个随机变量，设一个学生无家长，1名家长，2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15。若学校共有4

9、00名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。求: （1）参加会议的家长数超过450的概率。（2）有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。第六章 参数估计1填空题（1）设总体，未知，是来自总体的样本，则参数的矩估计量是 ；最大似然估计量是 。（2）设是来自均匀分布总体的一个样本，则的矩估计量是 ；的最大似然估计量是 。2设总体的概率密度为其中为未知参数，是从总体中抽取的一个样本，求的矩估计和最大似然估计。3设总体的分布密度为 是来自总体的样本，试求的矩估计和最大似然估计。4设总体的分布密度为为来自总体的样本，试求和的矩估计。5设总体服从对数正态分布，其分布密度为是来自总

10、体的一个样本，试求参数和的最大似然估计。6设总体的分布密度为 是来自总体的一个样本，试求参数的最大似然估计。7填空题（1）设总体，是它的一个样本，则当常数 时，为的无偏估计。（2）设总体，是它的一个样本，则的一个无偏估计量为 。8设和都是参数的两个独立的无偏估计量，且，试求常数和，使是的无偏估计，且在形如的无偏估计中方差最小。9设总体，是它的一个样本，试求的最大似然估计，是否为的无偏估计？10设总体的分布密度为 是它的一个样本，试求参数的矩估计量，是否是的相合估计？11设总体X服从正态分布N（），（X1, Xn ,X2n）为来自X的一个样本, （1）求常数C使统计量 为的无偏估计， （2）当

11、时，求与的协方差。12. 设总体的概率分布为 0 1 2 3 其中是未知参数，利用的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3 求的矩估计值和最大似然估计值。13设总体X服从均匀分布U (, >0, 是来自X的样本。 (1) 证明的一个最大似然估计量为 (2) 判断是否是的无偏估计，是否为的相合估计。14从大批彩色显像管中随机取100只，其平均寿命为10000小时，可以认为显像管的寿命服从正态分布，已知均方差=40小时，以置信度95%求出整批显像管平均寿命的置信区间。15一批钢件的20件样品屈服点（吨/厘米2）为：4.98；5.11；5.20；5.20；5.11；5.00；5.61；4.

12、88；5.27；5.385.46；5.27；5.23；4.96；5.35；5.15；5.35；4.77；5.38；5.54设屈服点服从正态分布。求：（1）屈服点总体均值的置信度为0.95的置信区间；（2）屈服点总体标准差的置信度为0.95的置信区间。16设为总体的样本，其中和为未知参数，设随机变量是关于的置信度为的置信区间的长度，求。17两种机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床生产的滚珠中抽取8个，从乙机床生产的滚珠中抽取9个，测得这些滚珠的直径（单位：mm）如下：甲机床：15.0，14.8，15.2，15.4，14.9，15.1，15.2，14.8乙机床：15.2，15.0，14.8，15.1，