非线性多值算子扰动的映射定理

1、第19卷增刊1999年4月数学研究与评论JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITION王为民(浙江工业大学基础部,杭州310014)(东北大学数学系,沈阳110006)摘要:本文讨论非线性多值算子的非紧扰动的映射定理,并给出非线性泛函方程zT(x)+F(x)可解性的最新结果,其中T是多值算子且(T+聚.所得的结果改善了5,8,12中的主要结果.n2凝I)-1是12集压缩,而F是12集压缩或关键词:12集压缩算子,2凝聚算子,m2增生算子.分类号:AMS(1991)47H10 CLCO177.91文献标识码:A文章编号:10002341X(1999)增刊20

2、225205设是Kuratowski或球非紧度量,连续算子F:D(F)<XX称为2压缩的是指对所有有界集B<D(F),存在常数k(0k1)使得(FB)k(B).若k<1,则称F是严格2压缩的;若k=1,则称F是12集压缩的.连续算子F称为2凝聚的是指对任何有界集B<D(F)且(B)>0,都有不等式(FB)<(B)成立.X多值算子T:D(T)<X2叫做强增生的是指对任何x,yD(T),uT(x),vT(y),存在jJ(x-y)使得u-v,jC x-y ,其中C是与x,y无关的正数,J:X2X32(1)23是正规对偶映射32= x = y ,Jx=jX:x

3、,j , 表示X与X3之间的广义对偶对.如果不等式(1)对C=0的情形成立,那么T叫做增生算子.增生算子T称为m2增生的是指对所有>0,T+I是到X上的满射,即R(T+I)=.对于多值算子T,记 T(x) =inf y :yT(x).X,其中I是恒等算子以上概念参看文献3.最近,Kartsatos6-9,Hirano5,Morales12,Chen2,He4和Liu11等人研究了m2增生算子被紧算子或12集压缩算子扰动的值域问题.这一方向的研究是与半线性发展方程和积微分-1方程密切相联的.但是,必须指出:如果T是m2增生算子,对>0,(T+I)不一定是非扩张收稿日期:1995203

4、228作者简介:王为民(19602),男,江苏泰州人,硕士,浙江工业大学副教授.225© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.的.本文的目的是给出非线性泛函方程zT(x)+F(x)n(2)-1可解性的一些新结果,其中T是多值算子,(T+2凝I)是12集压缩,而F是12集压缩或聚.结果改善或推广了5,8,12中的一些结果.n12集压缩;F:D(T)X是12集压缩算子.假设存在正数a,b使得对任何xD(T)且 x b,-1X定理1设X是Banach空间,T:D(T)<X2是多值

5、算子且(T+I):XD(T)是有a x + F(x) T(x)+F(x) ,(3)则T+F的值域在X中稠密.证明设zX,选择n0N使得当nn0时,nn<a.定义算子An:XX,An(x)=z-(1-)F(T+nI)-1(x)(nn0).可以证明An有不动点,为此只需证明集合>1E(n)=xX:x=An(x),是有界的.对任意xE(n),有>1使得-1)F(T+x=z-(1-I)(x).nnn0b1,则存在uT(y)使得-1取b1b且(a-)b1> z .令y=(T+nnI)-1(x),则可得 y <b1.事实上,若不然,即 y z z = u+= u+F(y)+n

6、y+(1-n-1)F(y)y-1-(1-nn-1)F(y)-1) F(y) - u+F(y) -1-(1- yna y -ny (a-n)b1,矛盾.因为F是12集压缩,所以FB(0,b1)是有界的,设其界为M,则对所有xE(n),有) F(y) z +M. x x z +(1-n-1显然An(nn0)是2凝聚映射,于是An有不动点xn,即xn=Anxn.令yn=(T+I)(xn),unn)F(yn),则T(yn),z=un+yn+(1-nnun+F(yn)-z ( yn + F(yn) ),n由于 yn <b1, F(yn) M,故un+F(yn)-z 0(n).定理2设X,T和F如同

7、定理1所设.假设存在正数a,b使得对任何xD(T), x b,(0,b)D(T)是闭集,则B(0,ab)<R(T+F).条件(3)成立.又设(T+F)B)b> z .对于nn0,定义算子证明设zX且 z <ab,则选取n0N,使得(a-n0226© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.An(x)=z-(1-n)F(T+nI)-1(x),-1如同在定理1中的证明,可得An有不动点xn.令yn=(T+I)(xn),选择unT(yn).同样,n可证明对所有nn0, y

8、n <b.因此,un+F(yn)(T+F)B(0,b)D(T)un+F(yn)-z =n yn+F(yn) 0(n),即有zR(T+F).评注1与12中定理1和定理2比较,虽然结果中算子T的条件较强,但是,算子F被放松到12集压缩.还要指出:当T是m2增生且是强增生时,对所有nN,(T+nI)-1:XD(T)都是12集压缩的.下面考虑算子T和F都是奇的情形.X定理3设X是Banach空间,D(T)是X的关于原点对称的子集,T:D(T)2是奇的多-1值算子且对所有nN,(T+.设F:D(T)X是奇的2凝聚算I):XD(T)是12集压缩n子.假设存在正数a,b使得对所有xD(T)且 x b,

9、有a x T(x)+F(x) .(0,b)D(T)是闭集,则B(0,ab)<R(T+F).如果(T+F)B)b> z (nn0).定义算子Hn:证明设zX且 z <ab,取n0N使得<a,(a-nn0,1×XX,Hn(t,x)=tz-F(T+nI)-1(x).设E(n)=xX:x=Hn(t,x),0t1,则E(n)是有界的,事实上,对每个xE(n),存在某个0t1使得x=tz-F(T+nI)-1(x).令y=(T+nI)-1(x),可断言 y <b.若不然,存在uT(y)使得ny u+F(y) - z t z = u+F(y)+a y -nn y y (

10、a-n)b,矛盾.因为F是2凝聚,所以FB(0,b)是有界的,设M为其上界,则对所有xE(n),有x t z + F(y) z +M.这样,存在正数r使得对所有x5B(0,r)和0t1,有xHn(t,x).下面证明对所有有界集(1)(2)-1Hn(0,1×B)<(B).设Hn(t,x)=tz,Hn(t,x)=-F(T+B<X,I)(x),则nHn(0,1×B)<H(1)n(0,1×B)+H(2)n(0,1×B),()12(Hn(0,1×B)(Hn(0,1×B)+(Hn(0,1×B).(1)(2)显然,Hn(

11、0,1×B)=0,(Hn(0,1×B)<(B).因此,据拓扑度的同伦不变性得D(I-Hn(0, ),B(0,r),0)=D(I-Hn(1, ),B(0,r),0).()227© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.因为Hn(0, )是奇的,所以由Borsuks定理知D(I-Hn(1, ),B(0,r),0)0,于是对n-1n0,存在xn使得xn=Hn(1,xn),即xn=z-F(T+I)(xn).因此,如同定理2的证明,得到znR(T+F).评注2与5中

12、定理5比较,加强了算子T的条件,但是其它条件是相当弱的.X算子T:D(T)<X2叫做吸收的是指若xD(T),则对每一t(0,1),有txD(T).下面的定理4改善了8中的定理4.X定理4设X是Banach空间,T:D(T)<X2是吸收的m2增生算子且对所有nN,(T-1+.又设F:XX是2凝聚.假设存在正数b,r使得对每一xD(T), x I)是12集压缩nb存在jJ(x)满足(0,b)D(T)是闭集,则B(0,r)<R(T+F).其中uT(x).如果(T+F)(B-1证明设zX, z r,定义An:XX,An(x)=(T+I)(z-F(x).令nu+F(x),j,r x &

13、gt;1,E(n)=xX:x=An(x),-1则E(n)<B(0,b).若不然,则有xE(n), x b且存在>1使得x=(T+I)(z-Fn(x).进而有uT(x),vT(x)使得z=v-u+u+F(x)+nx.于是,存在jJ(x)满足v-u,j+u+F(x),j+r x +nn x 2 z x , x z x ,2r<r+n x z ,矛盾!显然,An是2凝聚.于是,An有不动点xn.进而存在unT(xn)使得un+F(xn)+xn=z.n假设 xn b,则存在jJ(xn)使得2un+F(xn)+xn,j=z,j,r xn + xn z xn ,nn矛盾!因此,xn<

14、;B(0,b),进而当n时 un+F(xn)-z = xn 0,即zR(T+F).n参考文献1BrowderFE.NonlinearoperatorsandnonlinearequationsofevolutioninBanachspaceJ.Proc.2ChenYZ.Thegeneralizeddegreeforcompactperturbationsofm2accretiveoperatorsandapplicationsJ.NonlinearAnal.,1989,13:393-403.3DeimlingK.NonlinearFunctionalAnalysisM.Springer2Ver

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