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文档简介

1、3. 随机变量的独立性 随机变量的独立性是一个十分重要的概念。在这一节中，我们利用两个事件相互独立的概念引出两个随机变量的独立性，并推导到有限多个随机变量的独立性。1. 两个随机变量的独立性 定义3.6 若二维随机变量(X , Y )对任意实数均有成立，则称随机变量与是相互独立的。设随机变量(X , Y )的联合分布函数和边缘分布函数分别为和,则与相互独立等价于对任意实数有。若(X , Y ) 是离散型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件是即这里分别是(X , Y )，X，Y的分布律。若(X , Y )是连续性随机变量，则由分布函数与概率密度函数关系知，X与Y独立，即成立的充分必要条件是这

2、里分别是(X , Y )，X，Y 的密度函数.10. 已知随机变量的联合分布律为 12311/321/61/91/18试确定常数a，b，使X与Y相互独立解 先求出(X , Y )关于X和Y的边缘分布律XY123p. j11/31/3+a+b21/61/91/181/31/21/9+a1/18+b因要使与相互独立，故可用来确定常数a，b。由即解得 因此(X , Y )的联合分布律和边缘分布律为XY12312经检验，此时X与Y是相互独立的。例11 设随机变量(X , Y )在矩形区域上服从均匀分布，若试求(U, V)的联合分布律，并判断U与 V是否独立.解 区域G如图3-7所示，因(X , Y )

3、在G上服从均匀分布，其联合密度函数于是得(U, V)的联合分布律和边缘分布律:UV01010其中所以U与V是不相互独立的。例12 设随机变量的联合密度函数为试问X与Y 是否相互独立?解 因为（X，Y）关于X 的边缘密度函数所以，对任意实数x，y均有故X与Y 是相互独立的。 例13 若二维随机变量(X , Y )服从正态分布。试证X与Y 相互独立的充分必要条件是。证 因为(X , Y )的联合密度函数为边缘密度函数为所以易见：成立的充分必要条件是，而X与Y 相互独立的充分必要条件是(3.1)式对任意实数x,y成立。例 14 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时之间，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时之间，设他俩到达的时间是相互独立的，求他俩到达的时间相差不超过5分钟概率。解 设X , Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间，则X , Y的密度函数分别为因为X与Y相互独立，所以(X , Y)的联合密度函数为于是按题意，所求概率为区域如图3-8所示G的面积1. n个随机变量的独立性 设n维随机变量为,若任意实数有则称随机变量是相互独立的。若的联合分布函数及关于随机变量的边缘分布函数分别记为则随机变量相互独立可等价地表为若存在函数，使则称为连续型随机变量，此时相互独立的充分必要条件为其中是的联合密度函数，是关于的边缘密度函数，即例 15 已知随机变量的联合密

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