非线性方程求解

1、实验7 非线性方程求解实验目的：1 1  掌握用MATLAB软件求解非线性方程和方程组的基本用法，并对结果作出初步的分析2 2  练习用非线性方程组建立实际问题的模型并进行求解实验内容：6-3（1）小张夫妇以按揭方式贷款买了一套价值20万的房子，首付了5万元，没有还款1000元，15年还清。问贷款利率是多少？（2）某人与贷款50万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还4500元，15年还清；第二家银行开出的条件是每年还45000元，20年还清。从利率方面看，那家银行较优惠（简单的假设年利率=月利率*12）？解：（1）问题的建模：假设需付的款为，每月付款b元，

2、经n年后还清，付款利率为r，于是对与按揭付款的方式不难列出以下的方程组：于是有：如果对于年利率则不用考虑第一次要付的钱，所以易得：按照上述的关系得到了本题的m文件：function y=rate(x,a0,n,b,opt)if opt>=0%如果是0则按照月利率算 y=a0*(1+x)(n*12)-b*(1+x)(n*12)-1)/x;%计算月利率， else y=a0*(1+x)n-b*(1+x)n-1)/x;%计算年利率end<rate.m>主文件：clear all;a0=150;b=1;n=15;a1=500;b1=4.5;n1=15;a2=500;b2=45;n2=

3、20;x0=1;x1,fv1,ef1,out1=fzero(rate,x0,a0,n,b,1);%对第一题小张夫妇买方月利率问题进行求解x2,fv2,ef2,out2=fzero(rate,x0,a1,n1,b1,1);%对二问第一家银行的利率求解x3,fv3,ef3,out3=fzero(rate,x0,a2,n2,b2,-1);%对二问第二家银行的利率求解format long;x1,x2,x3%输出其中x1匙小张夫妇买房的月利率，x2是第一家银行的月利率，x3市第二家银行的年利率x2=x2*12,x3%比较第一家与第二家银行的利率大小 <rate_run.m>运行M

4、ATLAB结果：ans =  0.00208116388946 0.00585079258284 0.06394877709239x2 =  0.07020951099414 x3 =  0.06394877709239结论：小张夫妇的贷款的银行的月利率是0.21%，第一家银行的年利率是7.02%，第二家银行的年利率是6.39%，所以第二家银行的利率较低。6-6给定4种物质对应的参数和相互作用矩阵如下：=18.607， =15.841， =20.443， =19.293;=2643.31，=2755.64， =4628.96，=4117.07;=239.

5、73， =219.16， =252.64， =227.44;Q=1.0 0.192 2.169 1.611 0.316 1.0 0.477 0.524 0.377 0.360 1.0 0.2960.524 0.282 2.065 1.0在压强=760mmHg下，为了形成均相共沸混合物，温度和组分分别是多少？请尽量找出所有可能的解。 解：均相共沸混合物的组分问题：模型：所谓的共沸混合物，使之有两种或以上物质组成的液体混合物，当在某种压力下背蒸馏后或局部气化时，在气体状态下和在液体状态下保持相同的组分。设该混合物由n个可能的祖坟组成，组分i所占的比例为，则：（1）均相共沸混合物一概满足问

6、题条件，即公沸混合物的每个组分在气体状态下和在液体状态下具有相同的化学势，在压强P不大的条件下，这个条件可以表示为：（2）（2）式中是组分的饱和汽相压强，与温度T有关，可以根据如下表达式确定：（3）其中为常数。（2）式中是组分i的液相活度系数，可以根据如下的表达式确定：（4）其中表示组分i和组分j的交互作用参数，构成交互作用的矩阵Q，Q不一定是对称阵。对（2）式两边取对数，并将（3），（4）式代入：（5）只有当组分i参与到该共沸混合物中时才需要满足（5），所以将（5）式改写为于是从上面的分析可以对本题进行解答，对于本题参数：a=18.607,15.841,20.443,19.293'b

7、=2643.31,2755.64,4628.96,4117.07'c=239.73,219.16,252.64,227.44'交互矩阵Q=1.0 0.192 2.169 1.6110.316 1.0 0.477 0.5240.377 0.36 1.0 0.2960.524 0.282 2.065 1.0;于是：便可以得到m文件：function f=azeofun(XT,n,P,a,b,c,Q)x(n)=1;for i=1:n-1 x(i)=XT(i); x(n)=x(n)-x(i);end T=XT(n);p=log(P);for i=1:n d(i) = x * Q(i,1

8、:n)' dd(i)=x(i)/d(i);endfor i=1:n f(i)=x(i)*(b(i)/(T+c(i) + log(x*Q(i,1:n)') + dd*Q(1:n,i) - a(i) - 1 + p);end<azerofun. m>主文件：n=4;P=760;a=18.607,15.841,20.443,19.293'b=2643.31,2755.64,4628.96,4117.07'c=239.73,219.16,252.64,227.44'Q=1.0 0.192 2.169 1.611 0.316 1.0 0.477 0.5

9、24 0.377 0.36 1.0 0.296 0.524 0.282 2.065 1.0;%本题的参数XT0=0.3,0.3,0.3,58;%给定的初值XT,Y=fsolve(azeofun,XT0,n,P,a,b,c,Q)%用fsolve求解结果：XT =  -0.0000 0.5858 0.4142 71.9657Y =  1.0e-010 * 0.0002 -0.0505 0.5047 -0.3945对于上述结果：我们对初值XT0的取法：4种物质第一种0.3，第二种0.3，第三种0.3，最后一种0.1，温度为50C。如果取其他的初值也可以得到其他的共沸混合

10、物，列表如下：初值解XTOX1X2X3X4T0.3，0.3，0.3，500.00000.58580.41420.000071.96570.0,0.8,0.1, 800.00000.78030.00000.219776.9613      结论：在给定的参数下，可以得到两个解答分别如上图所示；6-8，假设商品在t时刻的市场价格为p（t），需求函数为D(p(t)=c-dp(t)（c，d0）。而生产方的期望价格为q（t），供应函数为S（q（t）。当供销平衡时S(q(t)=D（q(t)）。若期望价格与市场价格不符，商品市场不均衡，生产方t+1

11、时期的期望价格将会调整，方式为，以带入：得到关q(t)的变化规律，是否有混沌现象产生？找出几个分叉点，观察分叉点是否极限趋势是否符合Feigenbaum常数揭示的规律。解：对于上述过程若S(x)=arctan(ux),u=4.8,r=0.3,d=0.25不难推导出q（t）的变化规律： 于是：可以得到本题的m文件function y=iter_pq(x,c)u=4.8;d=0.25;r=0.3;y=(1-r)*x-r*atan(u*x)/d+r*c/d;%函数<iter_pq.m>迭代函数：function chaos(iter_fun,x0,r,n) % 该函数没有返回值；iter

12、_fun是迭代函数（句柄）；x0是迭代初值；kr=0; for rr=r(1):r(3):r(2) % 输入中r(1),r(2)是参数变化的范围，r(3) 是步长 kr=kr+1; y(kr,1)=feval(iter_fun,x0,rr); for i=2:n(2) %输入中n(2)是迭代序列的长度，但画图时前n(1)个迭代值被舍弃 y(kr,i)=feval(iter_fun,y(kr,i-1),rr); endendplot(r(1):r(3):r(2),y(:,n(1)+1:n(2),'k.'); <chaos.m>主函数：chaos(iter_pq,0.5

13、,0.3,1.1,0.001,100,200)%c从0.3到1.1变化过程中，寻找分叉点输出结果：分析：从图上找到的几个分叉点的x坐标分别是：1.079，0.949，0.907，0.897，0.8948，于是可以利用极限表达式：可以分别的得到：=3.09=4.2=4.54从上面的求解可以看出，当n越大时比值越接近于4.6692，也就是Feigenbaum常数。结论：对于q（t）的变化，当c取一定的数，会使得出现分叉。验证如下：function y=yanzheng(c0)u=4.8;d=0.25;r=0.3;c=c0;%收敛点q(1)=0.5;for n=1:1:50 q(n+1)=(1-r)*q(n)-r*atan(u*q(n)/d+r*c/d;%函数endN=1:1:51;plot(N,q);<yanzheng.m>主文件：yanzheng(1.1);%收敛点pause;yanzheng(1);%二分叉点pause;yanzheng(0.92);%四分叉点pause;yanzheng(0.9);%八分叉点pause;yanzheng(0.7